Шекті нүкте ықшам - Limit point compact

Математикада а топологиялық кеңістік X деп айтылады шектік нүкте ықшам^[1]^[2] немесе әлсіз ықшам^[3] егер әрбір шексіз жиынтығы болса X бар шектеу нүктесі жылы X. Бұл қасиет ықшам кеңістіктер. Ішінде метрикалық кеңістік, шектік нүктенің ықшамдылығы, ықшамдылығы және бірізділік барлығы тең. Жалпы топологиялық кеңістіктер үшін бұл үш ықшамдылық ұғымы эквивалентті емес.

Қасиеттері мен мысалдары

Топологиялық кеңістікте шектік нүктесі жоқ ішкі жиындар деп ішкі кеңістіктегі топологияда тұйық және дискретті болады. Сонымен, егер оның барлық жабық дискретті ішкі жиындары ақырлы болса ғана кеңістік шектік нүкте болады.
Бос орын X болып табылады емес шектік нүкте, егер ол шексіз жабық дискретті ішкі кеңістікке ие болса ғана. Жабық дискретті ішкі жиынының кез-келген жиынтығы болғандықтан X өзі жабық X және дискретті, бұл мұны талап етуге тең X айтарлықтай шексіз жабық дискретті ішкі кеңістікке ие.
Шекті нүкте емес кеңістіктің кейбір мысалдары: (1) жиынтық ${ displaystyle { mathbb {R}}}$ барлық нақты сандардың әдеттегі топологиясымен, өйткені бүтін сандар шексіз жиын, бірақ шегі жоқ ${ displaystyle { mathbb {R}}}$ ; (2) дискретті топологиясы бар шексіз жиынтық; (3) есептелетін комплемент топологиясы есептеусіз жиынтықта.
Әрқайсысы ықшам кеңістік (демек, әрбір ықшам кеңістік) - бұл шекті нүкте.
Үшін Т₁ кеңістіктер, шекті нүктенің ықшамдылығы есептелетін ықшамдылыққа тең.
Шектік нүктенің ықшам емес кеңістігінің мысалы «бүтін сандарды екі есе көбейту» арқылы, яғни көбейтінді алу арқылы алынады ${ displaystyle X = { mathbb {Z}} есе Y}$ қайда ${ displaystyle { mathbb {Z}}}$ - бар барлық бүтін сандардың жиыны дискретті топология және ${ displaystyle Y = {0,1 }}$ бар анықталмаған топология. Кеңістік ${ displaystyle X}$ геомоморфты болып табылады тақ-топология.^[4] Бұл орын жоқ Т₀. Бұл шектеулі нүкте, өйткені әрбір бос емес ішкі жиында шекті нүкте болады.
Т мысал₀ шектік нүкте болатын және айтарлықтай ықшам емес кеңістік ${ displaystyle X = { mathbb {R}}}$ , барлық нақты сандардың жиынтығы, оң ретті топология, яғни барлық интервалдар тудыратын топология ${ displaystyle (x, infty)}$ .^[5] Кеңістік шектеулі нүкте, өйткені кез-келген нүкте берілген ${ displaystyle a in X}$ , әрқайсысы ${ displaystyle x$ нүктесінің шегі болып табылады ${ displaystyle {a }}$ .
Метризацияланатын кеңістіктер үшін ықшамдылық, есептелетін ықшамдылық, шектік нүктенің ықшамдылығы және бірізділік барлығы тең.
Шекті нүктелік ықшам кеңістіктің үздіксіз кескіні шекті нүкте болмауы керек. Мысалы, егер ${ displaystyle X = { mathbb {Z}} есе Y}$ бірге ${ displaystyle { mathbb {Z}}}$ дискретті және ${ displaystyle Y}$ жоғарыдағы мысалдағыдай дискретті емес, карта ${ displaystyle f = pi _ { mathbb {Z}}}$ бірінші координатаға проекция арқылы берілген үздіксіз, бірақ ${ displaystyle f (X) = { mathbb {Z}}}$ шекті нүкте емес.
Шекті нүкте болмауы керек жалған компакт. Мысал дәл осымен келтірілген ${ displaystyle X = { mathbb {Z}} есе Y}$ бірге ${ displaystyle Y}$ екі нүктелі кеңістік және карта ${ displaystyle f = pi _ { mathbb {Z}}}$ , оның бейнесі шектелмеген ${ displaystyle { mathbb {R}}}$ .
Псевдокомпакт кеңістігі шекті нүкте болмауы керек. Мысал жиынтық топология.
Кез келген қалыпты псевдокомпакт кеңістігі шекті нүкте болып табылады.^[6]
Дәлел: Айталық ${ displaystyle X}$ бұл шекті нүкте болып табылмайтын қалыпты кеңістік. Шексіз жабық дискретті ішкі жиын бар ${ displaystyle A = {x_ {n}: n = 1,2, ldots }}$ туралы ${ displaystyle X}$ . Бойынша Tietze кеңейту теоремасы үздіксіз функция ${ displaystyle f}$ қосулы ${ displaystyle A}$ арқылы анықталады ${ displaystyle f (x_ {n}) = n}$ барлығына (шексіз) нақты бағаланатын үздіксіз функцияға дейін кеңейтілуі мүмкін ${ displaystyle X}$ . Сонымен ${ displaystyle X}$ жалған компакт емес.
Шекті нүктенің ықшам кеңістігі есептелінеді дәрежесі.
Егер (X, Т) және (X, T *) топологиялық кеңістіктер болып табылады T * қарағанда жақсы Т және (X, T *) нүкте ықшам болса, (X, Т).

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

^ «Шектік нүкте ықшам» терминологиясы топология оқулығында келесіге дейін кездеседі Джеймс Мункрес онда ол мұндай кеңістіктер тек «ықшам» деп аталды, ал біз қазір шағын кеңістіктер деп атайтындар «екі компакт» деп аталды. Содан кейін терминологияда екі компактты кеңістік жай «ықшам» деп аталатын өзгеріс болды, ал бірінші тұжырымдаманың жалпы қабылданған атауы жоқ, кейбіреулері оны «Фрешет ықшамдық «, басқалары» Больцано-Вейерштрасс қасиеті «. Ол» шектеулі нүкте ықшам «терминін, ең болмағанда, сипаттайтын нәрсе болу үшін ойлап тапқан дейді. Мункрес, 178-179 б.
^ Steen & Seebach, б. 19
^ Steen & Seebach, б. 19
^ Steen & Seebach, 6-мысал
^ Steen & Seebach, 50-мысал
^ Steen & Seebach, б. 20. Олар «қалыпты» деп атайтын нәрсе - Т₄ Уикипедия терминологиясында, бірақ бұл дәл осында дәлелдеуге болады.

Әдебиеттер тізімі

Джеймс Мункрес (1999). Топология (2-ші басылым). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Линн Артур Стин және Дж. Артур Сибах, кіші, Топологиядағы қарсы мысалдар. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Dover Publications қайта бастырған, Нью-Йорк, 1995 ж. ISBN 0-486-68735-X (Dover басылымы).
Бұл мақалада әлсіз мөлшерде жинақталған материалдар бар PlanetMath бойынша лицензияланған Creative Commons Attribution / Share-Alike лицензиясы.

[1] «Шектік нүкте ықшам» терминологиясы топология оқулығында келесіге дейін кездеседі Джеймс Мункрес онда ол мұндай кеңістіктер тек «ықшам» деп аталды, ал біз қазір шағын кеңістіктер деп атайтындар «екі компакт» деп аталды. Содан кейін терминологияда екі компактты кеңістік жай «ықшам» деп аталатын өзгеріс болды, ал бірінші тұжырымдаманың жалпы қабылданған атауы жоқ, кейбіреулері оны «Фрешет ықшамдық «, басқалары» Больцано-Вейерштрасс қасиеті «. Ол» шектеулі нүкте ықшам «терминін, ең болмағанда, сипаттайтын нәрсе болу үшін ойлап тапқан дейді. Мункрес, 178-179 б.

[2] Steen & Seebach, б. 19

[3] Steen & Seebach, б. 19

[4] Steen & Seebach, 6-мысал

[5] Steen & Seebach, 50-мысал

[6] Steen & Seebach, б. 20. Олар «қалыпты» деп атайтын нәрсе - Т₄ Уикипедия терминологиясында, бірақ бұл дәл осында дәлелдеуге болады.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]