Ли-Колчин теоремасы - Lie–Kolchin theorem

Жылы математика, Ли-Колчин теоремасы теоремасы ұсыну теориясы туралы сызықтық алгебралық топтар; Өтірік теоремасы үшін аналог болып табылады сызықтық Lie алгебралары.

Онда егер G Бұл байланысты және шешілетін сызықтық алгебралық топ арқылы анықталды алгебралық жабық өріс және

а өкілдік нөлдік емес ақырлы өлшемде векторлық кеңістік V, содан кейін бір өлшемді сызықтық ішкі кеңістік бар L туралы V осындай

Яғни, ρ (G) инвариантты сызығы бар L, оған G сондықтан бір өлшемді ұсыну арқылы әрекет етеді. Бұл деген тұжырымға балама V нөлдік емес вектордан тұрады v бұл бәріне ортақ (бір мезгілде) өзіндік вектор .

Бұл тікелей әрқайсысы қысқартылмайтын байланысты және шешілетін сызықтық алгебралық топтың ақырлы-өлшемді көрінісі G өлшемі бар. Бұл, шын мәнінде, Ли-Колчин теоремасын тұжырымдаудың тағы бір тәсілі.

Лий теоремасы 0 сипатталатын алгебралық жабық өрістің үстіндегі ақырлы өлшемді векторлық кеңістіктегі шешілетін Ли алгебрасының кез-келген нөлдік емес көрінісі бір өлшемді инвариантты ішкі кеңістікке ие болады.

Lie алгебрасының нәтижесі дәлелденді Софус өтірік  (1876 ) және алгебралық топтар үшін дәлелденді Эллис Колчин  (1948, б.19).

The Борельдің бекітілген нүктелік теоремасы Ли-Колчин теоремасын жалпылайды.

Үшбұрыштау

Кейде теореманы те деп те атайды Ли-Колчин үшбұрыштау теоремасы өйткені индукция бұл қолайлы негізге қатысты екенін білдіреді V кескін бар үшбұрышты пішін; басқаша айтқанда, сурет тобы GL-де конъюгат болып табылады (n,Қ) (қайда n = күңгірт V) тобының кіші тобына жоғарғы үшбұрыш матрицалар, стандарт Borel кіші тобы GL (n,Қ): сурет бір уақытта үшбұрышты.

Теорема, әсіресе, а-ға қатысты Borel кіші тобы а жартылай қарапайым сызықтық алгебралық топ G.

Қарсы мысал

Егер өріс Қ алгебралық түрде жабық емес, теорема орындалмауы мүмкін. Стандарт бірлік шеңбер жиынтығы ретінде қарастырылды күрделі сандар абсолюттік мәні - бір өлшемді коммутативті (демек, шешілетін) сызықтық алгебралық топ ішінде екі өлшемді көрінісі бар нақты сандардың үстінен арнайы ортогоналды топ SO (2) инвариантты (нақты) сызықсыз. Мұнда сурет туралы болып табылады ортогональ матрица

Әдебиеттер тізімі

  • Горбатцевич, В.В. (2001) [1994], «Өтірік-Колчин теоремасы», Математика энциклопедиясы, EMS Press
  • Колчин, Э.Р (1948), «Алгебралық матрицалық топтар және біртекті сызықтық қарапайым дифференциалдық теңдеулердің Пикард-Вессиот теориясы», Математика жылнамалары, Екінші серия, 49: 1–42, дои:10.2307/1969111, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969111, МЫРЗА  0024884, Zbl  0037.18701
  • Өтірік, Софус (1876), «Theorie der Transformationsgruppen. Abhandlung II», Mathematik og Naturvidenskab арналған мұрағат, 1: 152–193
  • Уотерхаус, Уильям С. (2012) [1979], «10. Нилпотентті және шешілетін топтар §10.2 Ли-Колчин үшбұрыштау теоремасы», Аффин тобының схемаларына кіріспе, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 66, Springer, 74-75 б., ISBN  978-1-4612-6217-6