Ли-Колчин теоремасы - Lie–Kolchin theorem

Жылы математика, Ли-Колчин теоремасы теоремасы ұсыну теориясы туралы сызықтық алгебралық топтар; Өтірік теоремасы үшін аналог болып табылады сызықтық Lie алгебралары.

Онда егер G Бұл байланысты және шешілетін сызықтық алгебралық топ арқылы анықталды алгебралық жабық өріс және

${ displaystyle rho қос нүкте G - GL (V)}$

а өкілдік нөлдік емес ақырлы өлшемде векторлық кеңістік V, содан кейін бір өлшемді сызықтық ішкі кеңістік бар L туралы V осындай

${ displaystyle rho (G) (L) = L.}$

Яғни, ρ (G) инвариантты сызығы бар L, оған G сондықтан бір өлшемді ұсыну арқылы әрекет етеді. Бұл деген тұжырымға балама V нөлдік емес вектордан тұрады v бұл бәріне ортақ (бір мезгілде) өзіндік вектор ${ displaystyle rho (g), , , g in G}$.

Бұл тікелей әрқайсысы қысқартылмайтын байланысты және шешілетін сызықтық алгебралық топтың ақырлы-өлшемді көрінісі G өлшемі бар. Бұл, шын мәнінде, Ли-Колчин теоремасын тұжырымдаудың тағы бір тәсілі.

Лий теоремасы 0 сипатталатын алгебралық жабық өрістің үстіндегі ақырлы өлшемді векторлық кеңістіктегі шешілетін Ли алгебрасының кез-келген нөлдік емес көрінісі бір өлшемді инвариантты ішкі кеңістікке ие болады.

Lie алгебрасының нәтижесі дәлелденді Софус өтірік  (1876 ) және алгебралық топтар үшін дәлелденді Эллис Колчин  (1948, б.19).

The Борельдің бекітілген нүктелік теоремасы Ли-Колчин теоремасын жалпылайды.

Үшбұрыштау

Кейде теореманы те деп те атайды Ли-Колчин үшбұрыштау теоремасы өйткені индукция бұл қолайлы негізге қатысты екенін білдіреді V кескін ${ displaystyle rho (G)}$ бар үшбұрышты пішін; басқаша айтқанда, сурет тобы ${ displaystyle rho (G)}$ GL-де конъюгат болып табылады (n,Қ) (қайда n = күңгірт V) тобының кіші тобына жоғарғы үшбұрыш матрицалар, стандарт Borel кіші тобы GL (n,Қ): сурет бір уақытта үшбұрышты.

Теорема, әсіресе, а-ға қатысты Borel кіші тобы а жартылай қарапайым сызықтық алгебралық топ G.

Қарсы мысал

Егер өріс Қ алгебралық түрде жабық емес, теорема орындалмауы мүмкін. Стандарт бірлік шеңбер жиынтығы ретінде қарастырылды күрделі сандар ${ displaystyle {x + iy in mathbb {C} mid x ^ {2} + y ^ {2} = 1 }}$ абсолюттік мәні - бір өлшемді коммутативті (демек, шешілетін) сызықтық алгебралық топ ішінде екі өлшемді көрінісі бар нақты сандардың үстінен арнайы ортогоналды топ SO (2) инвариантты (нақты) сызықсыз. Мұнда сурет ${ displaystyle rho (z)}$ туралы ${ displaystyle z = x + iy}$ болып табылады ортогональ матрица

${ displaystyle { begin {pmatrix} x & y - y & x end {pmatrix}}.}$

Әдебиеттер тізімі