Өтірік теоремасы - Lies theorem - Wikipedia

Математикада, атап айтқанда теориясы Алгебралар, Өтірік теоремасы деп мәлімдейді,[1] сипаттамалық нөлдің алгебралық жабық өрісі бойынша, егер ақырлы өлшемді болып табылады өкілдік а шешілетін Ли алгебрасы, содан кейін тұрақтандырады жалау ; «тұрақтандырады» дегенді білдіреді әрқайсысы үшін және мен.

Басқаша айтқанда, теоремада негіз бар дейді V барлық сызықтық түрлендірулер жоғарғы үшбұрышты матрицалармен ұсынылған.[2] Бұл Фробениустың нәтижесін қорыту ауыстыру матрицалары бір уақытта жоғарғы үшбұрышты, өйткені маршруттық матрицалар абелиялық алгебра, бұл фортиори арқылы шешілетін болып табылады.

Ли теоремасының нәтижесі 0 сипаттамалық өрісі бойынша кез келген ақырлы шешілетін Ли алгебрасы нөлдік күшке ие алынған алгебра (қараңыз # Салдары ). Сондай-ақ, ақырлы-өлшемді векторлық кеңістіктегі әрбір жалаушаға V, а сәйкес келеді Борель субальгебрасы (жалаушаны тұрақтандыратын сызықтық түрлендірулерден тұрады); осылайша, теорема айтады ішіндегі кейбір Borel субальгебрасында бар .[1]

Қарсы мысал

Алгебралық жабық сипаттамалық өрістер үшін б> 0 Өтініштің өлшемінен кіші болған жағдайда, Lie теоремасы орындалады б (төмендегі дәлелдемені қараңыз), бірақ өлшемдер үшін сәтсіздікке ұшырауы мүмкін б. Мысал 1-ге созылған үшөлшемді Lie алгебрасы келтірілген, х, және г./dx бойынша әрекет ету б-өлшемді векторлық кеңістік к[х]/(хб), оның жеке векторлары жоқ. Осы 3 өлшемді Lie алгебрасының жартылай туындысын б-өлшемді ұсыну (абелиялық Ли алгебрасы ретінде қарастырылады) туындайтын алгебрасы нольпотентті емес, шешілетін Ли алгебрасын береді.

Дәлел

Дәлелі - өлшемі бойынша индукция және бірнеше кезеңнен тұрады. (Ескерту: дәлелдеу құрылымы дәл осындайға ұқсас Энгель теоремасы.) Негізгі жағдай тривиальды және біз өлшемін қабылдаймыз оң. Біз сондай-ақ болжаймыз V нөл емес Қарапайымдылық үшін біз жазамыз .

1-қадам: Теореманың тұжырымға баламалы екендігіне назар аударыңыз:[3]

  • Вектор бар V бұл әрбір векторлық түрлендіруге арналған өзіндік вектор .
Шынында да, теорема нөлдік векторды қамтитынын айтады - барлық сызықтық түрлендірулер үшін ортақ жеке вектор . Керісінше, егер v қарапайым вектор болып табылады, алыңыз дейін, содан кейін квотаға ортақ жеке векторды қабылдайды ; аргументті қайталаңыз.

2-қадам: Идеалды табыңыз бір өлшемділік .

Келіңіздер болуы алынған алгебра. Бастап шешілетін және оң өлшемі бар, және солай Нольдік емес абелиялық Ли алгебрасы, оның құрамында сөзсіз бір код өлшемі идеалы бар, ал идеал сәйкестігі бойынша ол бірде өлшем өлшемінің идеалына сәйкес келеді .

3-қадам: Кейбір сызықтық функционалдылық бар жылы осындай

нөл емес.

Бұл индуктивті гипотезадан туындайды (меншікті мәндердің сызықтық функционалдығын анықтайтындығын тексеру оңай).

4-қадам: Бұл -модуль.

(Бұл қадам жалпы фактіні дәлелдейді және төлем қабілеттілігін қамтымайды.)
Келіңіздер болу , және рекурсивті түрде орнатылады . Кез келген үшін , бері идеал,
.
Бұл айтады (Бұл ) шектелген диагоналы матрица арқылы ұсынылған қайталанды. Демек, . Бастап аударылатын, және жеке вектор болып табылады X.

5-қадам: Жалпы жеке векторды табу арқылы дәлелдеуді аяқтаңыз.

Жазыңыз қайда L - бұл бір өлшемді векторлық ішкі кеңістік. Негізгі өрістен бастап к алгебралық түрде жабық, меншікті вектор бар үшін кейбір (осылайша әрбір) нөлдік емес элементі үшін L. Бұл вектор сонымен қатар әрбір элемент үшін меншікті вектор болып табылады , дәлел толық.

Салдары

Теорема әсіресе қатысты бірлескен өкілдік (ақырлы өлшемді) шешілетін Ли алгебрасы ; осылайша негізді таңдауға болады оған қатысты жоғарғы үшбұрышты матрицалардан тұрады. Әрқайсысы үшін бұл оңай , нөлдерден тұратын диагональды; яғни, матрица. Авторы Энгель теоремасы, бұл дегеніміз Бұл өтірік алгебра; керісінше, сонымен қатар шындыққа сәйкес келетіні анық. Сонымен қатар, сызықтық түрлендіру нольпотентті немесе маңызды емес екенін базалық өрісті алгебралық жабуға дейін созғаннан кейін анықтауға болады. Демек, біреу тұжырым жасайды:[4]

Шекті өлшемді Ли алгебрасы сипаттық нөл өрісі бойынша, егер алгебра алынған жағдайда ғана шешіледі нөлдік күшке ие.

Өтірік теоремасы бір бағытты белгілейді Картаның төлем қабілеттілігі критерийі: егер V және нөлдік өрістің үстіндегі ақырлы вектор өтірік субальгебра, содан кейін және егер болса ғана шешіледі әрқайсысы үшін және .[5]

Шынында да, жоғарыдағыдай, негізгі өрісті кеңейткеннен кейін, импликация оңай көрінеді. (Мұны дәлелдеу қиынырақ).

Өтірік теоремасы (әр түрлі үшін) V) тұжырымға балама:[6]

Шешілетін Ли алгебрасы үшін , әрқайсысы ақырлы-қарапайым -модульдің өлшемі бар (яғни, көрініс ретінде төмендетілмейді).

Шынында да, Лидің теоремасы бұл тұжырымды анық білдіреді. Керісінше, тұжырым шындыққа сәйкес келеді. Шекті өлшемді берілген -модуль V, рұқсат етіңіз максималды болу -модуль (өлшемнің ақырлылығымен болады). Содан кейін, максимум бойынша қарапайым; осылайша, бір өлшемді болып табылады. Енді индукция дәлелдеуді аяқтайды.

Мәлімдемеде, атап айтқанда, ақырлы өлшемді қарапайым модульдің үстінен абелиялық алгебра бір өлшемді; бұл факт өрістің сипаттамалық нөлге ие екендігі туралы болжамсыз шындық болып қала береді.[7]

Міне, тағы бір пайдалы бағдарлама:[8]

Келіңіздер -мен сипатталатын нөлдік алгебралық жабық өрістің үстіндегі ақырлы Lie алгебрасы болыңыз радикалды . Содан кейін әрбір ақырлы өлшемді қарапайым көрініс болып табылады тензор өнімі қарапайым ұсынудың бір өлшемді көрінісімен (яғни, Lone жақшаларында сызықтық функционалды жоғалу).

Ли теоремасы бойынша біз сызықтық функционалды таба аламыз туралы салмақ кеңістігі болатындай етіп туралы . Lie теоремасының 4-қадамы бойынша, сонымен қатар -модуль; сондықтан . Атап айтқанда, әрқайсысы үшін , . Ұзарту сызықтық функционалдыға дейін ол жоғалады ; содан кейін-нің бір өлшемді көрінісі болып табылады . Енді, . Бастап сәйкес келеді қосулы , бізде сол бар маңызды емес және (және) ұсынудың шектелуі .

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б Серре, Теорема 3
  2. ^ Хамфрилер, Ч. II, § 4.1., Қорытынды А.
  3. ^ Серре, Теорема 3 ″
  4. ^ Хамфрилер, Ч. II, § 4.1., Қорытынды С.
  5. ^ Серре, Теорема 4
  6. ^ Серре, Теорема 3 '
  7. ^ Джейкобсон, Ч. II, § 6, Лемма 5.
  8. ^ Фултон және Харрис, Ұсыныс 9.17.

Дереккөздер

  • Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Өкілдік теориясы. Бірінші курс. Математика бойынша магистратура мәтіндері, Математика оқулары. 129. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МЫРЗА  1153249. OCLC  246650103.
  • Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Өтірік алгебралар және өкілдік теориясымен таныстыру, Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-0-387-90053-7.
  • Джейкобсон, Натан, Алгебралар1962 ж. Түпнұсқасы. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979 ж. ISBN  0-486-63832-4
  • Жан-Пьер Серре: Кешенді жартылай алгебралар, Спрингер, Берлин, 2001 ж. ISBN  3-5406-7827-1