Киршбраун теоремасы - Kirszbraun theorem

Жылы математика, нақты нақты талдау және функционалдық талдау, Киршбраун теоремасы егер болса U Бұл ішкі жиын кейбірінің Гильберт кеңістігі H1, және H2 бұл тағы бір Гильберт кеңістігі, және

f : UH2

Бұл Липшиц-үздіксіз карта, содан кейін Липшиц-үздіксіз картасы бар

F: H1H2

ол созылады f және сол сияқты Липшицтің тұрақтысы бар f.

Бұл нәтиже әсіресе қолданылатындығына назар аударыңыз Евклид кеңістігі En және Eмжәне дәл осы формада Киршбраун бастапқыда теореманы тұжырымдап, дәлелдеді.[1] Мысалы, Гильберт кеңістігінің нұсқасын (Шварц 1969, 21-бет) табуға болады.[2] Егер H1 Бұл бөлінетін кеңістік (атап айтқанда, егер бұл эвклид кеңістігі болса) нәтиже шынайы Цермело-Фраенкель жиынтығы теориясы; толық жалпы жағдай үшін оған таңдау аксиомасының қандай да бір түрі қажет сияқты; The Бульдік идеал теоремасы жеткілікті екендігі белгілі.[3]

Теореманың дәлелі Гильберт кеңістігінің геометриялық ерекшеліктерін қолданады; сәйкес мәлімдеме Банах кеңістігі жалпы, тіпті ақырлы өлшемді Банах кеңістігі үшін де дұрыс емес. Мысалы, доменнің ішкі жиыны болатын қарсы мысалдарды құруға болады Rn бірге максималды норма және Rм евклидтік норманы орындайды.[4] Жалпы, теорема орындалмайды кез-келгенімен жабдықталған норма () (Шварц 1969, 20 бет).[2]

Үшін R-қосымшаның функционалды мәні қайда $ f $ -дың U-дағы Lipschitz тұрақтысы.

Тарих

Теорема дәлелденді Можес Дэвид Киршбраун, ал кейінірек оны сөгіп тастады Фредерик Валентин,[5] Евклид жазықтығы үшін оны кім дәлелдеді.[6] Кейде бұл теорема да аталады Киршбраун - Валентин теоремасы.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Кирсзбраун, М.Д (1934). «Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen». Қор. Математика. 22: 77–108.
  2. ^ а б Шварц, Дж. Т. (1969). Сызықтық емес функционалдық талдау. Нью-Йорк: Гордон және ғылымды бұзу.
  3. ^ Fremlin, D. H. (2011). «Киршбраун теоремасы» (PDF). Алдын ала басып шығару.
  4. ^ Федерер, Х. (1969). Геометриялық өлшемдер теориясы. Берлин: Шпрингер. б.202.
  5. ^ Валентин, Ф.А. (1945). «Векторлық функцияның кеңеюін сақтайтын липшиттік жағдай». Американдық математика журналы. 67 (1): 83–93. дои:10.2307/2371917.
  6. ^ Валентин, Ф.А. (1943). «Липшиц күйін сақтау үшін векторлық функцияны кеңейту туралы». Американдық математикалық қоғамның хабаршысы. 49: 100–108. дои:10.1090 / s0002-9904-1943-07859-7. МЫРЗА  0008251.

Сыртқы сілтемелер