Фолхабльдер формуласы - Faulhabers formula - Wikipedia

Жылы математика, Фолхабердің формуласы, атындағы Иоганн Фолхабер, -ның қосындысын білдіреді б-біріншінің күші n натурал сандар

сияқты (б + 1) үшінші дәреже көпмүшелік функциясыn, қатысатын коэффициенттер Бернулли сандары Bjұсынған нысанда Джейкоб Бернулли және 1713 жылы жарияланған:

қайда Бұл құлау факториалды.

Тарих

Фолхабердің формуласы деп те аталады Бернулли формуласы. Фолхабер Бернулли ашқан коэффициенттердің қасиеттерін білмеген. Керісінше, ол кем дегенде алғашқы 17 жағдайды, сондай-ақ төменде сипатталған тақ күштер үшін Фолхабер полиномдарының болуын білді.[1]

Осы формулалардың қатаң дәлелі және мұндай формулалар барлық тақ күштер үшін болады дегенге дейін созылды. Карл Якоби  (1834 ).

Фолхабердің көпмүшелері

Термин Фолхабердің көпмүшелері кейбір авторлар жоғарыда келтірілген полиномдық қатардан басқа нәрсеге сілтеме жасау үшін қолданылады. Фолхабер мұны байқады егер б тақ, содан кейін

-ның полиномдық функциясы болып табылады

Соның ішінде:

OEISA000537


OEISA000539


OEISA000541


OEISA007487


OEISA123095

Бұлардың біріншісі сәйкестілік (іс б = 3) ретінде белгілі Никомасус теоремасы.

Жалпы,[дәйексөз қажет ]

Кейбір авторлар көпмүшелерді in деп атайды а осы идентификацияның оң жағында Фолхабердің көпмүшелері. Бұл көпмүшелер келесіге бөлінеді а2 өйткені Бернулли нөмірі Bj 0 үшін j > 1 тақ.

Фолхабер, егер тақ қуат үшін қосындыны беретін болса, оны да білетін

онда төменде орналасқан жұп қуаттың қосындысы келтірілген

Жақшаның ішіндегі көпмүшелік жоғарыдағы көпмүшенің туындысы екеніне назар аударыңыз а.

Бастап а = n(n + 1) / 2, бұл формулалар тақ қуат үшін (1-ден үлкен) қосынды көпмүше болатындығын көрсетеді n факторларға ие n2 және (n + 1)2, біркелкі дәреже үшін көпмүшенің факторлары бар n, n + ½ және n + 1.

Summae Potestatum

Якоб Бернуллидікі Summae Potestatum, Ars Conjectandi, 1713

1713 жылы, Джейкоб Бернулли деген атпен жарық көрді Summae Potestatum қосындысының өрнегі б өкілеттіктері n а ретінде бүтін сандарб + 1) дәреже көпмүшелік функция туралыn, сандарды қамтитын коэффициенттермен Bj, қазір шақырылды Бернулли сандары:

Бернуллидің алғашқы екі нөмірін (Бернулли жоқ) енгізе отырып, алдыңғы формула болады

ол үшін екінші типтегі Бернулли нөмірін қолдану , немесе

бірінші типтегі Бернулли нөмірін қолдану

Мысалы, ретінде

біреуі үшін б = 4,

Фолхабердің өзі бұл формуланы білмеген, тек алғашқы он жеті көпмүшені есептеген; ашылуымен жалпы нысаны орнатылды Бернулли сандары (қараңыз Тарих бөлімі ). Фолхабер формуласын шығаруға болады Сандар кітабы арқылы Джон Хортон Конвей және Ричард К. Гай.[2]

Сондай-ақ ұқсас (бірақ қандай-да бір қарапайым) өрнек бар: идеясын қолдану телескоптық және биномдық теорема, біреу алады Паскаль жеке тұлға:[3]

Бұл, атап айтқанда, төмендегі мысалдарды береді - мысалы, алыңыз к = 1 бірінші мысалды алу. Осыған ұқсас түрде біз де табамыз

Мысалдар

( үшбұрышты сандар )
( шаршы пирамидалық сандар )
( үшбұрышты сандар шаршы)

Матрицалық теоремаға мысалдардан

Алдыңғы мысалдардан біз мынаны аламыз:

Осы көпмүшелерді көбейтінді ретінде матрицалар арасында жазу арқылы алады

Таң қаларлық, матрицаны төңкеру көпмүшелік коэффициенттері таныс нәрсені береді:

Төңкерілген матрицада Паскаль үшбұрышы әр жолдың соңғы элементінсіз және балама белгілерімен тануға болады. Дәлірек айтсақ төменгі үшбұрыш Паскаль матрицасы:

Келіңіздер алынған матрица болыңыз тақ диагональдағы жазбалардың белгілерін өзгерту арқылы, яғни ауыстыру арқылы арқылы . Содан кейін

Бұл әр тапсырысқа қатысты,[4] яғни әрбір оң сан үшін м, біреуінде бар Сонымен, Бернулли сандарына жүгінбей, Паскаль үшбұрышынан оңай алынған матрицаны төңкеріп, тізбектелген бүтін сандардың дәрежелерінің қосындыларының көпмүшелерінің коэффициенттерін алуға болады.

Біреуі де бар[5]

қайда алынған минус белгілерін алып тастау арқылы.

Экспоненциалды генерациялау функциясы бар дәлелдеу

Келіңіздер

бүтін сан үшін қарастырылатын соманы белгілеңіз

Келесі экспоненциалды анықтаңыз генерациялық функция (бастапқыда) анықталмаған

Біз табамыз

Бұл барлық функция сондай-ақ кез келген күрделі сан деп қабылдауға болады.

Келесі үшін экспоненциалды генерациялау функциясын еске түсіреміз Бернулли көпмүшелері

қайда Бернулли санын білдіреді (шартпен бірге) Біз Faulhaber формуласын генерациялау функциясын келесідей кеңейту арқылы аламыз:

Ескертіп қой барлық тақ үшін . Сондықтан кейбір авторлар анықтайды сондықтан ауыспалы фактор жоқ.

Балама өрнектер

Қайта жазу арқылы біз балама өрнекті табамыз

Біз сондай-ақ кеңейтуіміз мүмкін Бернулли көпмүшелері тұрғысынан табу керек

бұл білдіреді

Бастап қашан болса да тақ, фактор қашан жойылуы мүмкін .

Riemann zeta функциясымен байланыс

Қолдану , біреу жаза алады

Егер генерациялау функциясын қарастыратын болсақ үлкен шегі , содан кейін біз табамыз

Эвристикалық тұрғыдан бұл осыны білдіреді

Бұл нәтиже мәнімен сәйкес келеді Riemann zeta функциясы теріс бүтін сандар үшін тиісті талдаумен жалғастыру туралы .

Омбралық нысаны

Классикалық умбальды есептеу біреу индекстерді ресми түрде қарастырады j ретімен Bj егер олар экспоненттер болса, бұл жағдайда біз қолдануға болады биномдық теорема және айтыңыз


Ішінде заманауи умбральды есептеу, біреуін қарастырады сызықтық функционалды Т үстінде векторлық кеңістік айнымалыдағы көпмүшеліктер б берілген

Сонда біреу айтуға болады


Ескертулер

  1. ^ Дональд Э. Кнут (1993). «Иоганн Фолхабер және өкілеттіктер жиынтығы». Есептеу математикасы. 61 (203): 277–294. arXiv:math.CA/9207222. дои:10.2307/2152953. JSTOR  2152953.CS1 maint: ref = harv (сілтеме) Arxiv.org қағазында 11-дәреженің қосындысының формуласында қате басылған, ол басылған нұсқада түзетілген. Дұрыс нұсқасы.
  2. ^ Джон Х.Конвей, Ричард Гай (1996). Сандар кітабы. Спрингер. б.107. ISBN  0-387-97993-X.
  3. ^ Кирен Макмиллан, Джонатан Сондоу (2011). «Паскальдың сәйкестігі арқылы қуат қосындысының және биномдық коэффициенттердің дәлелі». Американдық математикалық айлық. 118 (6): 549–551. arXiv:1011.0076. дои:10.4169 / amer.math.monthly.118.06.549.
  4. ^ Пьетрокола, Джорджио (2017), Паскаль үшбұрышынан алынған дәйекті бүтін сандар мен Бернулли сандарының дәрежелерінің қосындысын есептеу үшін көпмүшеліктер туралы (PDF).
  5. ^ Дерби, Найджел (2015), «Қуат сомаларын іздеу», Математикалық газет, 99 (546): 416–421, дои:10.1017 / mag.2015.77.

Сыртқы сілтемелер