Эйленберг – Ганеа теоремасы - Eilenberg–Ganea theorem

Жылы математика, әсіресе гомологиялық алгебра және алгебралық топология, Эйленберг – Ганеа теоремасы әрбір соңғы құрылған топқа арналған мемлекеттер G белгілі бір шарттармен когомологиялық өлшем (атап айтқанда ${ displaystyle 3 leq operatorname {cd} (G) leq n}$) құруға болады асфералық CW кешені X өлшем n кімдікі іргелі топ болып табыладыG. Теорема поляк математигінің есімімен аталады Сэмюэль Эйленберг және румын математигі Тюдор Ганеа. Теорема алғаш рет 1957 жылы қысқа мақалада жарияланған Математика жылнамалары.^[1]

Анықтамалар

Топтық когомология: Келіңіздер ${ displaystyle G}$ топ болып, рұқсат етіңіз ${ displaystyle X = K (G, 1)}$ сәйкес келеді Эйленберг − MacLane кеңістігі. Сонда бізде келесі сингуляр бар тізбекті кешен бұл а тегін рұқсат туралы ${ displaystyle mathbb {Z}}$ үстінен топтық сақина ${ displaystyle mathbb {Z} [G]}$ (қайда ${ displaystyle mathbb {Z}}$ маңызды емес ${ displaystyle mathbb {Z} [G]}$-модуль):

${ displaystyle cdots { xrightarrow { delta _ {n} +1}} C_ {n} (E) { xrightarrow { delta _ {n}}} C_ {n-1} (E) rightarrow cdots rightarrow C_ {1} (E) { xrightarrow { delta _ {1}}} C_ {0} (E) { xrightarrow { varepsilon}} Z rightarrow 0,}$

қайда ${ displaystyle E}$ әмбебап қақпағы болып табылады ${ displaystyle X}$ және ${ displaystyle C_ {k} (E)}$ болып табылады тегін абель тобы сингуляр арқылы жасалады ${ displaystyle k}$- тізбектер қосулы ${ displaystyle E}$. The топтық когомология топтың ${ displaystyle G}$ а коэффициентімен ${ displaystyle mathbb {Z} [G]}$-модуль ${ displaystyle M}$ мұның когомологиясы болып табылады тізбекті кешен коэффициенттерімен ${ displaystyle M}$, және арқылы белгіленеді ${ displaystyle H ^ {*} (G, M)}$.

Когомологиялық өлшем: Топ ${ displaystyle G}$ когомологиялық өлшемі бар ${ displaystyle n}$ коэффициенттерімен ${ displaystyle Z}$ (деп белгіленеді ${ displaystyle operatorname {cd} _ {Z} (G)}$) егер

${ displaystyle n = sup {k: { text {}} H ^ {k} (G, M) бар}} Z [G] { text {модуль}} M { text {бар} мән 0 }.}$

Факт: Егер ${ displaystyle G}$ бар проективті рұқсат ұзындығы ${ displaystyle n}$, яғни, ${ displaystyle Z}$ болмашы сияқты ${ displaystyle Z [G]}$ модуль ұзындығы бойынша проективті ажыратымдылыққа ие ${ displaystyle n}$ егер және егер болса ${ displaystyle H_ {Z} ^ {i} (G, M) = 0}$ барлығына ${ displaystyle Z}$-модульдер ${ displaystyle M}$ және бәріне ${ displaystyle i> n}$.^{[дәйексөз қажет ]}

Сондықтан бізде когомологиялық өлшемнің келесі балама анықтамасы бар,

In коэффициентімен G-нің когомологиялық өлшемі З $ G $ проективті ажыратымдылығына ие болатын ең кіші n (мүмкін шексіздік) n, яғни, З проективті ажыратымдылыққа ие n тривиальды ретінде З[G] модуль.

Эйленберг − Ганеа теоремасы

Келіңіздер ${ displaystyle G}$ түпкілікті ұсынылған топ болу және ${ displaystyle n geq 3}$ бүтін сан Делік когомологиялық өлшем туралы ${ displaystyle G}$ коэффициенттерімен ${ displaystyle Z}$ ең көп дегенде ${ displaystyle n}$, яғни, ${ displaystyle operatorname {cd} _ {Z} (G) leq n}$. Сонда бар ${ displaystyle n}$-өлшемді асфералық CW кешені ${ displaystyle X}$ сияқты іргелі топ туралы ${ displaystyle X}$ болып табылады ${ displaystyle G}$, яғни, ${ displaystyle pi _ {1} (X) = G}$.

Керісінше

Бұл теореманың керісінше нәтижесі болып табылады жасушалық гомология және әрбір ақысыз модульдің проективті екендігі.

Теорема: Келіңіздер X асфералық болу n- өлшемді CW кешені π₁(X) = G, содан кейін CD_З(G) ≤ n.

Ұқсас нәтижелер мен болжамдар

Үшін n = 1 нәтиже - салдарының бірі Топтардың аяқталуы туралы сталлингтер теоремасы.^[2]

Теорема: Когомологиялық өлшемдердің кез келген ақырғы құрылған тобы ақысыз.

Үшін ${ displaystyle n = 2}$ мәлімдеме ретінде белгілі Эйленберг - Ганеа болжамдары.

Эйленберг ane Ганея болжамы: Егер топ болса G когомологиялық өлшемі 2 болса, онда екі өлшемді асфералық CW кешені бар X бірге ${ displaystyle pi _ {1} (X) = G}$.

Бір топ бергені белгілі G CD-мен_З(G) = 2 3 өлшемді асфералық CW кешені бар X бірге π₁(X) = G.

Сондай-ақ қараңыз

• Эйленберг - Ганеа болжамдары
• Топтық когомология
• Когомологиялық өлшем
• Топтардың аяқталуы туралы сталлингтер теоремасы

Әдебиеттер тізімі

• Бествина, Младен; Брэди, Ноэль (1997). «Морзе теориясы және топтардың ақырлық қасиеттері». Mathematicae өнертабыстары. 129 (3): 445–470. дои:10.1007 / s002220050168. МЫРЗА  1465330..
• Браун Кеннет С., Топтардың когомологиясы, 1982 жылғы түпнұсқаның түзетілген қайта басылуы, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 87, Шпрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1994 ж. МЫРЗА1324339. ISBN  0-387-90688-6