Жылы математика , атап айтқанда алгебралық геометрия және дифференциалды геометрия , Dolbeault когомологиясы (атымен Пьер Дольбо ) аналогы болып табылады де Рам когомологиясы үшін күрделі коллекторлар . Келіңіздер М күрделі көпжақты болу. Содан кейін Dolbeault когомология топтары H б , q ( М , C ) { displaystyle H ^ {p, q} (M, mathbb {C})} б және q және кеңістігінің субкотиті ретінде жүзеге асырылады күрделі дифференциалды формалар дәрежесі (б ,q ).
Когомологиялық топтардың құрылысы
Let рұқсат етіңізб ,q векторлық шоғыр дәреженің күрделі дифференциалды формаларының (б ,q ). Туралы мақалада күрделі формалар , Dolbeault операторы тегіс учаскелердегі дифференциалды оператор ретінде анықталады
∂ ¯ : Γ ( Ω б , q ) → Γ ( Ω б , q + 1 ) { displaystyle { bar { жарым-жартылай}}: Gamma ( Omega ^ {p, q}) to Gamma ( Omega ^ {p, q + 1})} Бастап
∂ ¯ 2 = 0 { displaystyle { bar { жарымжан}} ^ {2} = 0} бұл оператордың кейбіреулері бар когомология . Когомологияны нақты етіп анықтаңыз кеңістік
H б , q ( М , C ) = кер ( ∂ ¯ : Γ ( Ω б , q , М ) → Γ ( Ω б , q + 1 , М ) ) ∂ ¯ Γ ( Ω б , q − 1 ) . { displaystyle H ^ {p, q} (M, mathbb {C}) = { frac { ker left ({ bar { жарым-жартылай}}: Gamma ( Omega ^ {p, q}, M) to Gamma ( Omega ^ {p, q + 1}, M) right)} {{ bar { part}}} Gamma ( Omega ^ {p, q-1})}}. } Векторлық шоқтардың Dolbeault когомологиясы
Егер E Бұл голоморфты векторлық шоқ күрделі коллекторда X Сонымен, айыппұлды да анықтауға болады рұқсат шөптің O ( E ) { displaystyle { mathcal {O}} (E)} E , пайдаланып Dolbeault операторы туралы E . Сондықтан бұл шоқ когомологиясы туралы O ( E ) { displaystyle { mathcal {O}} (E)}
Dolbeault – Grothendieck lemma
Dolbeault изоморфизмін орнату үшін Dolbeault-Grothendieck леммасын (немесе ∂ ¯ { displaystyle { bar { жарымжан}}} ∂ ¯ { displaystyle { bar { жарымжан}}} Тегіс функциялар үшін Кошидің интегралды көрінісі :
Ұсыныс : Рұқсат етіңіз B ε ( 0 ) := { з ∈ C ∣ | з | < ε } { displaystyle B _ { varepsilon} (0): = lbrace z in mathbb {C} mid | z | < varepsilon rbrace} 0 { displaystyle 0} ε ∈ R > 0 , { displaystyle varepsilon in mathbb {R} _ {> 0},} B ε ( 0 ) ¯ ⊆ U { displaystyle { overline {B _ { varepsilon} (0)}} subseteq U} f ∈ C ∞ ( U ) { displaystyle f in { mathcal {C}} ^ { infty} (U)}
∀ з ∈ B ε ( 0 ) : f ( з ) = 1 2 π мен ∫ ∂ B ε ( 0 ) f ( ξ ) ξ − з г. ξ + 1 2 π мен ∬ B ε ( 0 ) ∂ f ∂ ξ ¯ г. ξ ∧ г. ξ ¯ ξ − з . { displaystyle forall z in B _ { varepsilon} (0): quad f (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ { partial B _ { varepsilon} (0) )} { frac {f ( xi)} { xi -z}} d xi + { frac {1} {2 pi i}} iint _ {B _ { varepsilon} (0)} { frac { жарым-жартылай f} { жартылай { бар { xi}}}} { frac {d xi сына d { бар { xi}}} { xi -z}}.} Лемма ( ∂ ¯ { displaystyle { bar { жарымжан}}} B ε ( 0 ) , U { displaystyle B _ { varepsilon} (0), U} α ∈ A C 0 , 1 ( U ) { displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C}} ^ {0,1} (U)}
C ∞ ( U ) ∋ ж ( з ) := 1 2 π мен ∫ B ε ( 0 ) f ( ξ ) ξ − з г. ξ ∧ г. ξ ¯ { displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty} (U) ni g (z): = { frac {1} {2 pi i}} int _ {B _ { varepsilon} (0 )} { frac {f ( xi)} { xi -z}} d xi wedge d { bar { xi}}} қанағаттандырады α = ∂ ¯ ж { displaystyle alpha = { bar { жарымжан}} g} B ε ( 0 ) . { displaystyle B _ { varepsilon} (0).}
Дәлел. Біздің талабымыз сол ж { displaystyle g} f { displaystyle f} ∂ ¯ { displaystyle { bar { жарымжан}}} w ∈ B ε ( 0 ) { displaystyle w in B _ { varepsilon} (0)} w ∈ V ⊆ B ε ( 0 ) { displaystyle w in V subseteq B _ { varepsilon} (0)} ρ : B ε ( 0 ) → R { displaystyle rho: B _ { varepsilon} (0) to mathbb {R}} B ε ( 0 ) { displaystyle B _ { varepsilon} (0)} ρ | V ≡ 1. { displaystyle rho | _ {V} equiv 1.}
f = f 1 + f 2 := ρ f + ( 1 − ρ ) f { displaystyle f = f_ {1} + f_ {2}: = rho f + (1- rho) f} және анықтаңыз
ж мен := 1 2 π мен ∫ B ε ( 0 ) f мен ( ξ ) ξ − з г. ξ ∧ г. ξ ¯ . { displaystyle g_ {i}: = { frac {1} {2 pi i}} int _ {B _ { varepsilon} (0)} { frac {f_ {i} ( xi)} { xi -z}} d xi wedge d { bar { xi}}.} Бастап f 2 ≡ 0 { displaystyle f_ {2} equiv 0} V { displaystyle V} ж 2 { displaystyle g_ {2}}
ж 1 = ∫ B ε ( 0 ) f 1 ( ξ ) ξ − з г. ξ ∧ г. ξ ¯ = 1 2 π мен ∫ C f 1 ( ξ ) ξ − з г. ξ ∧ г. ξ ¯ = π − 1 ∫ 0 ∞ ∫ 0 2 π f 1 ( з + р e мен θ ) e − мен θ г. θ г. р , { displaystyle { begin {aligned} g_ {1} & = int _ {B _ { varepsilon} (0)} { frac {f_ {1} ( xi)} { xi -z}} d xi wedge d { bar { xi}} & = { frac {1} {2 pi i}} int _ { mathbb {C}} { frac {f_ {1} ( xi )} { xi -z}} d xi wedge d { bar { xi}} & = pi ^ {- 1} int _ {0} ^ { infty} int _ {0 } ^ {2 pi} f_ {1} (z + re ^ {i theta}) e ^ {- i theta} d theta dr, end {aligned}}} ол шынымен жақсы анықталған және тегіс, сондықтан да сол үшін қолданылады ж { displaystyle g} ∂ ¯ ж = α { displaystyle { bar { жарымжан}} g = альфа} B ε ( 0 ) { displaystyle B _ { varepsilon} (0)}
∂ ж 2 ∂ з ¯ = 1 2 π мен ∫ B ε ( 0 ) f 2 ( ξ ) ∂ ∂ з ¯ ( 1 ξ − з ) г. ξ ∧ г. ξ ¯ = 0 { displaystyle { frac { жарым-жартылай g_ {2}} { жартылай { бар {z}}}} = { frac {1} {2 pi i}} int _ {B _ { varepsilon} ( 0)} f_ {2} ( xi) { frac { partial} { partional { bar {z}}}} { Big (} { frac {1} { xi -z}} { Үлкен)} d xi сына d { бар { xi}} = 0} бері ( ξ − з ) − 1 { displaystyle ( xi -z) ^ {- 1}} B ε ( 0 ) ∖ V { displaystyle B _ { varepsilon} (0) setminus V}
∂ ж 2 ∂ з ¯ = π − 1 ∫ C ∂ f 1 ( з + р e мен θ ) ∂ з ¯ e − мен θ г. θ ∧ г. р = π − 1 ∫ C ( ∂ f 1 ∂ з ¯ ) ( з + р e мен θ ) e − мен θ г. θ ∧ г. р = 1 2 π мен ∬ B ε ( 0 ) ∂ f 1 ∂ ξ ¯ г. ξ ∧ г. ξ ¯ ξ − з { displaystyle { begin {aligned} { frac { жарым-жартылай g_ {2}} { жартылай { бар {z}}}} = & pi ^ {- 1} int _ { mathbb {C} } { frac { жарым-жартылай f_ {1} (z + re ^ {i theta})} { ішінара { бар {z}}}} e ^ {- i theta} d theta wedge dr = & pi ^ {- 1} int _ { mathbb {C}} { Үлкен (} { frac { жартылай f_ {1}} { жартылай { бар {z}}}} { Үлкен)} (z + re ^ {i theta}) e ^ {- i theta} d theta wedge dr = & { frac {1} {2 pi i}} iint _ {B_ { varepsilon} (0)} { frac { жарым-жартылай f_ {1}} { жартылай { бар { xi}}}} { frac {d xi сына d { бар { xi}} } { xi -z}} end {aligned}}} жалпыланған Коши формуласын қолдану f 1 { displaystyle f_ {1}}
f 1 ( з ) = 1 2 π мен ∫ ∂ B ε ( 0 ) f 1 ( ξ ) ξ − з г. ξ + 1 2 π мен ∬ B ε ( 0 ) ∂ f ∂ ξ ¯ г. ξ ∧ г. ξ ¯ ξ − з = 1 2 π мен ∬ B ε ( 0 ) ∂ f ∂ ξ ¯ г. ξ ∧ г. ξ ¯ ξ − з { displaystyle f_ {1} (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ { ішінара B _ { varepsilon} (0)} { frac {f_ {1} ( xi) )} { xi -z}} d xi + { frac {1} {2 pi i}} iint _ {B _ { varepsilon} (0)} { frac { ішінара f} { ішінара { bar { xi}}}} { frac {d xi wedge d { bar { xi}}} { xi -z}} = { frac {1} {2 pi i}} iint _ {B _ { varepsilon} (0)} { frac { ішінара f} { жартылай { бар { xi}}}} { frac {d xi сына d { бар { xi }}} { xi -z}}} бері f 1 | ∂ B ε ( 0 ) = 0 { displaystyle f_ {1} | _ { ішінара B _ { varepsilon} (0)} = 0} f = f 1 = ∂ ж 1 ∂ з ¯ = ∂ ж ∂ з ¯ { displaystyle f = f_ {1} = { frac { ішінара g_ {1}} { жартылай { бар {z}}}} = { frac { жартылай g} { жартылай { бар {z }}}}} B ε ( 0 ) { displaystyle B _ { varepsilon} (0)}
Dolbeault – Grothendieck леммасының дәлелі Енді Dolbeault-Grothendieck леммасын дәлелдеуге дайынбыз; мұнда келтірілген дәлелдеудің арқасында Гротендиек .[1] Δ ε n ( 0 ) { displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)} полидиск ортасында 0 ∈ C n { displaystyle 0 in mathbb {C} ^ {n}} ε ∈ R > 0 { displaystyle varepsilon in mathbb {R} _ {> 0}}
Лемма (Dolbeault – Grothendieck): рұқсат етіңіз α ∈ A C n б , q ( U ) { displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, q} (U)} Δ ε n ( 0 ) ¯ ⊆ U { displaystyle { overline { Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)}} subseteq U} q > 0 { displaystyle q> 0} ∂ ¯ α = 0 { displaystyle { bar { жарымжан}} альфа = 0} β ∈ A C n б , q − 1 ( U ) { displaystyle beta in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, q-1} (U)} α = ∂ ¯ β { displaystyle alpha = { bar { жарымжан}} бета} Δ ε n ( 0 ) . { displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0).}
Дәлелдеуді бастамас бұрын біз кез келген екенін ескереміз ( б , q ) { displaystyle (p, q)}
α = ∑ Мен Дж α Мен Дж г. з Мен ∧ г. з ¯ Дж = ∑ Дж ( ∑ Мен α Мен Дж г. з Мен ) Дж ∧ г. з ¯ Дж { displaystyle alpha = sum _ {IJ} alpha _ {IJ} dz_ {I} wedge d { bar {z}} _ {J} = sum _ {J} left ( sum _ { I} alpha _ {IJ} dz_ {I} right) _ {J} wedge d { bar {z}} _ {J}} көп индекстер үшін Мен , Дж , | Мен | = б , | Дж | = q { displaystyle I, J, | I | = p, | J | = q} α ∈ A C n 0 , q ( U ) { displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {0, q} (U)}
Дәлел. Келіңіздер к > 0 { displaystyle k> 0} α ∈ ( г. з ¯ 1 , … , г. з ¯ к ) { displaystyle alpha in (d { bar {z}} _ {1}, dots, d { bar {z}} _ {k})} C ∞ { displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty}} к { displaystyle k} к = 0 { displaystyle k = 0} α ≡ 0 { displaystyle alpha equiv 0} q > 0 { displaystyle q> 0} α ∈ ( г. з ¯ 1 , … , г. з ¯ к ) { displaystyle alpha in (d { bar {z}} _ {1}, dots, d { bar {z}} _ {k})} β ∈ A C n 0 , q − 1 ( U ) { displaystyle beta in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {0, q-1} (U)} α = ∂ ¯ β { displaystyle alpha = { bar { жарымжан}} бета} Δ ε n ( 0 ) { displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)} ω ∈ ( г. з ¯ 1 , … , г. з ¯ к + 1 ) { displaystyle omega in (d { bar {z}} _ {1}, dots, d { bar {z}} _ {k + 1})}
ω = г. з ¯ к + 1 ∧ ψ + μ , ψ , μ ∈ ( г. з ¯ 1 , … , г. з ¯ к ) . { displaystyle omega = d { bar {z}} _ {k + 1} wedge psi + mu, qquad psi, mu in (d { bar {z}} _ {1} , dots, d { bar {z}} _ {k}).} Бастап ω { displaystyle omega} ∂ ¯ { displaystyle { bar { жарымжан}}} ψ , μ { displaystyle psi, mu} з к + 2 , … , з n { displaystyle z_ {k + 2}, dots, z_ {n}} Δ ε n ( 0 ) { displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)} ∂ ¯ { displaystyle { bar { жарымжан}}} з к + 1 ↦ ψ Дж ( з 1 , … , з к + 1 , … , з n ) { displaystyle z_ {k + 1} mapsto psi _ {J} (z_ {1}, dots, z_ {k + 1}, dots, z_ {n})} B ε к + 1 ( 0 ) { displaystyle B _ { varepsilon _ {k + 1}} (0)} ж Дж { displaystyle g_ {J}}
ψ Дж = ∂ ж Дж ∂ з ¯ к + 1 қосулы B ε к + 1 ( 0 ) . { displaystyle psi _ {J} = { frac { жарым-жартылай g_ {J}} { жартылай { бар {z}} _ {k + 1}}} quad { text {on}} quad B _ { varepsilon _ {k + 1}} (0).} ж Дж { displaystyle g_ {J}} з к + 2 , … , з n { displaystyle z_ {k + 2}, dots, z_ {n}}
ψ ~ := ∑ Дж ж Дж г. з ¯ Дж { displaystyle { tilde { psi}}: = sum _ {J} g_ {J} d { bar {z}} _ {J}} содан кейін
ω − ∂ ¯ ψ ~ = г. з ¯ к + 1 ∧ ψ + μ − ∑ Дж ∂ ж Дж ∂ з ¯ к + 1 г. з ¯ к + 1 ∧ г. з ¯ Дж + ∑ j = 1 к ∑ Дж ∂ ж Дж ∂ з ¯ j г. з ¯ j ∧ г. з ¯ Дж ∖ { j } = г. з ¯ к + 1 ∧ ψ + μ − г. з ¯ к + 1 ∧ ψ + ∑ j = 1 к ∑ Дж ∂ ж Дж ∂ з ¯ j г. з ¯ j ∧ г. з ¯ Дж ∖ { j } = μ + ∑ j = 1 к ∑ Дж ∂ ж Дж ∂ з ¯ j г. з ¯ j ∧ г. з ¯ Дж ∖ { j } ∈ ( г. з ¯ 1 , … , г. з ¯ к ) , { displaystyle { begin {aligned} omega - { bar { partial}} { tilde { psi}} & = d { bar {z}} _ {k + 1} wedge psi + mu - sum _ {J} { frac { ішінара g_ {J}} { жартылай { бар {z}} _ {k + 1}}} d { бар {z}} _ {k + 1 } wedge d { bar {z}} _ {J} + sum _ {j = 1} ^ {k} sum _ {J} { frac { ішінара g_ {J}} { жартылай { бар {z}} _ {j}}} d { bar {z}} _ {j} wedge d { bar {z}} _ {J setminus lbrace j rbrace} & = d { bar {z}} _ {k + 1} wedge psi + mu -d { bar {z}} _ {k + 1} wedge psi + sum _ {j = 1} ^ {k } sum _ {J} { frac { ішінара g_ {J}} { жартылай { бар {z}} _ {j}}} d { бар {z}} _ {j} сына d { bar {z}} _ {J setminus lbrace j rbrace} & = mu + sum _ {j = 1} ^ {k} sum _ {J} { frac { ішінара g_ { J}} { ішіндегі { бар {z}} _ {j}}} d { бар {z}} _ {j} сына d { бар {z}} _ {J setminus lbrace j rbrace} in (d { bar {z}} _ {1}, dots, d { bar {z}} _ {k}), end {aligned}}} сондықтан біз оған индукциялық гипотезаны қолдана аламыз, бар η ∈ A C n 0 , q − 1 ( U ) { displaystyle eta in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {0, q-1} (U)}
ω − ∂ ¯ ψ ~ = ∂ ¯ η қосулы Δ ε n ( 0 ) { displaystyle omega - { bar { жарымжан}} { тильда { psi}} = { бар { жартылай}} eta quad { text {on}} quad Delta _ { varepsilon } ^ {n} (0)} және ζ := η + ψ ~ { displaystyle zeta: = eta + { tilde { psi}}}
Алдыңғы лемманы полидискілерді қабылдау арқылы жалпылауға болады ε к = + ∞ { displaystyle varepsilon _ {k} = + infty} Лемма (ұзартылған Dolbeault-Grothendieck). Егер Δ ε n ( 0 ) { displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)} ε к ∈ R ∪ { + ∞ } { displaystyle varepsilon _ {k} in mathbb {R} cup lbrace + infty rbrace} q > 0 { displaystyle q> 0} H ∂ ¯ б , q ( Δ ε n ( 0 ) ) = 0. { displaystyle H _ { bar { жарым-жартылай}} ^ {p, q} ( Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)) = 0.}
Дәлел. Біз екі жағдайды қарастырамыз: α ∈ A C n б , q + 1 ( U ) , q > 0 { displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, q + 1} (U), q> 0} α ∈ A C n б , 1 ( U ) { displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, 1} (U)}
1-жағдай. Келіңіздер α ∈ A C n б , q + 1 ( U ) , q > 0 { displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, q + 1} (U), q> 0} Δ ε n ( 0 ) { displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)} Δ мен ¯ ⊂ Δ мен + 1 { displaystyle { overline { Delta _ {i}}} subset Delta _ {i + 1}} β мен { displaystyle beta _ {i}} ( б , q − 1 ) { displaystyle (p, q-1)} Δ мен ¯ ⊆ U мен { displaystyle { overline { Delta _ {i}}} subeteq U_ {i}} α | Δ мен = ∂ ¯ β мен { displaystyle alpha | _ { Delta _ {i}} = { bar { partial}} beta _ {i}}
β мен + 1 | Δ мен = β мен . { displaystyle beta _ {i + 1} | _ { Delta _ {i}} = beta _ {i}.} Біз индукция бойынша жүреміз мен { displaystyle i} мен = 1 { displaystyle i = 1} к > 1 { displaystyle k> 1} Δ к + 1 { displaystyle Delta _ {k + 1}}
Δ ε n ( 0 ) = ⋃ мен = 1 к + 1 Δ мен және Δ к ¯ ⊂ Δ к + 1 . { displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0) = bigcup _ {i = 1} ^ {k + 1} Delta _ {i} quad { text {and}} quad { overline { Delta _ {k}}} subset Delta _ {k + 1}.} Содан кейін біз а табамыз ( б , q − 1 ) { displaystyle (p, q-1)} β к + 1 ′ { displaystyle beta '_ {k + 1}} Δ к + 1 ¯ { displaystyle { overline { Delta _ {k + 1}}}} α | Δ к + 1 = ∂ ¯ β к + 1 { displaystyle alpha | _ { Delta _ {k + 1}} = { bar { жарым-жартылай}} бета _ {k + 1}} U к { displaystyle U_ {k}} Δ к ¯ { displaystyle { overline { Delta _ {k}}}} ∂ ¯ ( β к − β к + 1 ′ ) = 0 { displaystyle { bar { жарымжан}} ( бета _ {k} - бета '_ {k + 1}) = 0} U к { displaystyle U_ {k}} ( б , q − 2 ) { displaystyle (p, q-2)} γ к { displaystyle gamma _ {k}} β к − β к + 1 ′ = ∂ ¯ γ к { displaystyle beta _ {k} - beta '_ {k + 1} = { bar { жарым-жартылай}} гамма _ {к}} Δ к { displaystyle Delta _ {k}} V к { displaystyle V_ {k}} Δ к ¯ ⊂ V к ⊊ U к { displaystyle { overline { Delta _ {k}}} ішкі жиын V_ {k} subsetneq U_ {k}} ρ к : Δ ε n ( 0 ) → R { displaystyle rho _ {k}: Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0) to mathbb {R}}
суп ( ρ к ) ⊂ U к , ρ | V к = 1 , ρ к | Δ ε n ( 0 ) ∖ U к = 0. { displaystyle operatorname {supp} ( rho _ {k}) ішкі жиын U_ {k}, qquad rho | _ {V_ {k}} = 1, qquad rho _ {k} | _ { Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0) setminus U_ {k}} = 0.} Содан кейін ρ к γ к { displaystyle rho _ {k} gamma _ {k}} Δ ε n ( 0 ) { displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)}
β к = β к + 1 ′ + ∂ ¯ ( γ к ρ к ) қосулы Δ к , { displaystyle beta _ {k} = beta '_ {k + 1} + { bar { жарым-жартылай}} ( gamma _ {k} rho _ {k}) quad { text {on} } quad Delta _ {k},} форма
β к + 1 := β к + 1 ′ + ∂ ¯ ( γ к ρ к ) { displaystyle beta _ {k + 1}: = beta '_ {k + 1} + { bar { жарым-жартылай}} ( гамма _ {k} rho _ {k})} қанағаттандырады
β к + 1 | Δ к = β к + 1 ′ + ∂ ¯ γ к = β к ∂ ¯ β к + 1 = ∂ ¯ β к + 1 ′ = α | Δ к + 1 { displaystyle { begin {aligned} beta _ {k + 1} | _ { Delta _ {k}} & = beta '_ {k + 1} + { bar { жарым-жартылай}} гамма _ {k} = бета _ {k} { бар { жартылай}} бета _ {k + 1} & = { бар { жартылай}} бета '_ {к + 1} = альфа | _ { Delta _ {k + 1}} end {aligned}}} 2-жағдай. Егер оның орнына α ∈ A C n б , 1 ( U ) , { displaystyle alpha in { mathcal {A}} _ { mathbb {C} ^ {n}} ^ {p, 1} (U),} β мен { displaystyle beta _ {i}} Δ мен { displaystyle Delta _ {i}}
‖ ( β мен Мен − β мен + 1 Мен ) | Δ к − 1 ‖ ∞ < 2 − мен . { displaystyle left | left. сол ({ бета _ {i}} _ {I} - { бета _ {i + 1}} _ {I} оң) оң | _ { Delta _ {k-1}} right | _ { infty} <2 ^ {- i}.} Тағы да, біз индукция бойынша жүреміз мен { displaystyle i} мен = 1 { displaystyle i = 1} к > 1 { displaystyle k> 1} Δ к + 1 ⊃ Δ к ¯ { displaystyle Delta _ {k + 1} supset { overline { Delta _ {k}}}} Δ к + 1 ∪ { Δ мен } мен = 1 к { displaystyle Delta _ {k + 1} cup lbrace Delta _ {i} rbrace _ {i = 1} ^ {k}} Δ ε n ( 0 ) { displaystyle Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)} ( б , 0 ) { displaystyle (p, 0)} β к + 1 ′ { displaystyle beta '_ {k + 1}}
α | Δ к + 1 = ∂ ¯ β к + 1 ′ , { displaystyle alpha | _ { Delta _ {k + 1}} = { bar { partial}} beta '_ {k + 1},} бұл да қанағаттандырады ∂ ¯ ( β к − β к + 1 ′ ) = 0 { displaystyle { bar { жарымжан}} ( бета _ {k} - бета '_ {k + 1}) = 0} Δ к { displaystyle Delta _ {k}} β к − β к + 1 ′ { displaystyle beta _ {k} - beta '_ {k + 1}} ( б , 0 ) { displaystyle (p, 0)} Стоун-Вейерштрасс теоремасы біз оны қалай жаза аламыз
β к − β к + 1 ′ = ∑ | Мен | = б ( P Мен + р Мен ) г. з Мен { displaystyle beta _ {k} - beta '_ {k + 1} = sum _ {| I | = p} (P_ {I} + r_ {I}) dz_ {I}} қайда P Мен { displaystyle P_ {I}}
‖ р Мен | Δ к − 1 ‖ ∞ < 2 − к , { displaystyle left | r_ {I} | _ { Delta _ {k-1}} right | _ { infty} <2 ^ {- k},} бірақ содан кейін форма
β к + 1 := β к + 1 ′ + ∑ | Мен | = б P Мен г. з Мен { displaystyle beta _ {k + 1}: = beta '_ {k + 1} + sum _ {| I | = p} P_ {I} dz_ {I}} қанағаттандырады
∂ ¯ β к + 1 = ∂ ¯ β к + 1 ′ = α | Δ к + 1 ‖ ( β к Мен − β к + 1 Мен ) | Δ к − 1 ‖ ∞ = ‖ р Мен ‖ ∞ < 2 − к { displaystyle { begin {aligned} { bar { жарымжан}} бета _ {k + 1} & = { бар { жарым-жартылай}} бета '_ {k + 1} = альфа | _ { Delta _ {k + 1}} left | ({ beta _ {k}} _ {I} - { beta _ {k + 1}} _ {I}) | _ { Delta _ {k-1}} right | _ { infty} & = | r_ {I} | _ { infty} <2 ^ {- k} end {aligned}}} индукциялық қадамды аяқтайтын; сондықтан біз бірізділік құрдық { β мен } мен ∈ N { displaystyle lbrace beta _ {i} rbrace _ {i in mathbb {N}}} ( б , 0 ) { displaystyle (p, 0)} β { displaystyle beta} α | Δ ε n ( 0 ) = ∂ ¯ β { displaystyle alpha | _ { Delta _ { varepsilon} ^ {n} (0)} = { bar { жарым-жартылай}} бета}
Долбо теоремасы
Долбо теоремасы күрделі аналог болып табылады[2] де Рам теоремасы . Ол Dolbeault когомологиясының изоморфты екендігі туралы айтады шоқ когомологиясы туралы шоқ голоморфты дифференциалды формалардың Нақтырақ айтқанда,
H б , q ( М ) ≅ H q ( М , Ω б ) { displaystyle H ^ {p, q} (M) cong H ^ {q} (M, Omega ^ {p})} қайда Ω б { displaystyle Omega ^ {p}} б нысандары М .
Арналған нұсқасы логарифмдік формалар сонымен қатар құрылды.[3]
Дәлел Келіңіздер F б , q { displaystyle { mathcal {F}} ^ {p, q}} жақсы шоқ туралы C ∞ { displaystyle C ^ { infty}} ( б , q ) { displaystyle (p, q)} ∂ ¯ { displaystyle { overline { қисми}}}
Ω б , q → ∂ ¯ F б , q + 1 → ∂ ¯ F б , q + 2 → ∂ ¯ ⋯ { displaystyle Omega ^ {p, q} { xrightarrow { үстіңгі сызық { жартылай}}} { mathcal {F}} ^ {p, q + 1} { xrightarrow { үстіңгі сызық { ішінара}}} { mathcal {F}} ^ {p, q + 2} { xrightarrow { overline { partial}}} cdots} дәл. Кез-келген ұзақ нақты дәйектілік сияқты, бұл реттілік қысқа дәл тізбектерге бөлінеді. Бұларға сәйкес келетін ұзақ дәл когомологияның дәйектілігі нәтиже береді, бір рет қолданған кезде жіңішке жіптің жоғары когомологиясы жоғалады.
Есептеудің айқын мысалы
Dolbeault когомологиясы n { displaystyle n} күрделі проекциялық кеңістік болып табылады
H ∂ ¯ б , q ( P C n ) = { C б = q 0 басқаша { displaystyle H _ { bar { жарым-жартылай}} ^ {p, q} (P _ { mathbb {C}} ^ {n}) = { begin {case}} mathbb {C} & p = q 0 & { text {әйтпесе}} end {жағдайлар}}} Біз келесі белгілі фактіні қолданамыз Қожа теориясы :
H г. R к ( P C n , C ) = ⨁ б + q = к H ∂ ¯ б , q ( P C n ) { displaystyle H _ { rm {dR}} ^ {k} сол жаққа (P _ { mathbb {C}} ^ {n}, mathbb {C} right) = bigoplus _ {p + q = k} H _ { bar { жарым-жартылай}} ^ {p, q} (P _ { mathbb {C}} ^ {n})} өйткені P C n { displaystyle P _ { mathbb {C}} ^ {n}} Kähler күрделі коллекторы . Содан кейін б 2 к + 1 = 0 { displaystyle b_ {2k + 1} = 0}
б 2 к = сағ к , к + ∑ б + q = 2 к , б ≠ q сағ б , q = 1. { displaystyle b_ {2k} = h ^ {k, k} + sum _ {p + q = 2k, p neq q} h ^ {p, q} = 1.} Сонымен қатар, біз мұны білеміз P C n { displaystyle P _ { mathbb {C}} ^ {n}} 0 ≠ [ ω к ] ∈ H ∂ ¯ к , к ( P C n ) , { displaystyle 0 neq [ omega ^ {k}] in H _ { bar { partial}} ^ {k, k} (P _ { mathbb {C}} ^ {n}),} ω { displaystyle omega} Фубини - метрикалық көрсеткіш (бұл шын мәнінде Кәхлер), сондықтан сағ к , к = 1 { displaystyle h ^ {k, k} = 1} сағ б , q = 0 { displaystyle h ^ {p, q} = 0} б ≠ q , { displaystyle p neq q,}
Сондай-ақ қараңыз
^ Серре, Жан-Пьер (1953–1954), «Faisceaux analytiques sur l'espace projectif» , Семинер Анри Картан , 6 (№18 сөйлесу): 1–10^ Де Рам когомологиясынан айырмашылығы, Dolbeault когомологиясы енді топологиялық инвариант емес, өйткені ол күрделі құрылымға тығыз байланысты. ^ Наварро Азнар, Висенте (1987), «Sur la théorie de Hodge-Deligne», Mathematicae өнертабыстары 90 (1): 11–76, дои :10.1007 / bf01389031 Әдебиеттер тізімі
![{ displaystyle 0 neq [ omega ^ {k}] in H _ { bar { partial}} ^ {k, k} (P _ { mathbb {C}} ^ {n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b11bcc29d7b13cab96fe9e1966cb9a1f9730c18)
