Төмен өлшемді нақты Ли алгебраларының жіктелуі - Classification of low-dimensional real Lie algebras - Wikipedia

Бұл математика қатысты тізім Мубаракзяновтың тізімін ұсынады төмен өлшемді нақты Ли алгебраларының жіктелуі, 1963 жылы орыс тілінде шыққан.^[1] Бұл мақаланы толықтырады Алгебра аймағында абстрактілі алгебра.

Бұл классификацияның ағылшын нұсқасы мен шолуын Попович және басқалар жариялады.^[2] 2003 жылы.

Мубаракзяновтың жіктемесі

Келіңіздер ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {n}}$ болуы ${ displaystyle n}$-өлшемді Алгебра үстінен өріс туралы нақты сандар генераторлармен ${ displaystyle e_ {1}, нүкте, e_ {n}}$, ${ displaystyle n leq 4}$.^{[түсіндіру қажет ]} Әрбір алгебра үшін ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ біз базалық элементтер арасында тек нөлге тең емес коммутаторларды қосамыз.

Бір өлшемді

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$, абель.

Екі өлшемді

• ${ displaystyle 2 { mathfrak {g}} _ {1}}$, абель ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$;
• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2.1}}$, шешілетін ${ displaystyle { mathfrak {af}} (1) = {{ begin {pmatrix} a & b 0 & 0 end {pmatrix}} ,: , a, b in mathbb {R} }}$,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}.}$

Үшөлшемді

• ${ displaystyle 3 { mathfrak {g}} _ {1}}$, абелия, Бианки I;
• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2.1} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ыдырайтын еритін, Bianchi III;
• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.1}}$, Гейзенберг-Вейл алгебрасы, нилпотент, Бианки II,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.2}}$, шешілетін, Бианки IV,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.3}}$, шешілетін, Бианки V,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4}}$, шешілетін, Бианки VI, Пуанкаре алгебрасы ${ displaystyle { mathfrak {p}} (1,1)}$ қашан ${ displaystyle alpha = -1}$,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = alpha e_ {2}, quad -1 leq alpha < 1, quad alpha neq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5}}$, шешілетін, Bianchi VII,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = beta e_ {1} -e_ {2}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + beta e_ { 2}, quad beta geq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6}}$, қарапайым, Bianchi VIII, ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {R}),}$

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {3}, quad [e_ {1}, e_ {3 }] = 2e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7}}$, қарапайым, Bianchi VIII, ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3),}$

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {1}] = e_ {2}, quad [e_ {1}, e_ {2 }] = e_ {3}.}$

Алгебра ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.3}}$ төтенше жағдай ретінде қарастыруға болады ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5}}$, қашан ${ displaystyle beta rightarrow infty}$, Ли алгебрасының жиырылуын қалыптастыру.

Алаң үстінде ${ displaystyle { mathbb {C}}}$ алгебралар ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7}}$ изоморфты болып табылады ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4}}$ және ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6}}$сәйкесінше.

Төрт өлшемді

• ${ displaystyle 4 { mathfrak {g}} _ {1}}$, абелия;
• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2.1} oplus 2 { mathfrak {g}} _ {1}}$, ыдырайтын еритін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1};}$

• ${ displaystyle 2 { mathfrak {g}} _ {2.1}}$, ыдырайтын еритін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1} quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {3};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.1} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ыдырайтын нилпотентті,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.2} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ыдырайтын еритін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.3} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ыдырайтын еритін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ыдырайтын еритін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = alpha e_ {2}, quad -1 leq alpha < 1, quad alpha neq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ыдырайтын еритін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = beta e_ {1} -e_ {2} quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + beta e_ {2 }, quad beta geq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, шешілмейтін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {3}, quad [e_ {1}, e_ {3 }] = 2e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, шешілмейтін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {3}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {1 }] = e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.1}}$, ажырамас нілпотент,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.2}}$, шешілмейтін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = beta e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {2}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + e_ {3}, quad beta neq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.3}}$, шешілмейтін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.4}}$, шешілмейтін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {1} + e_ {2}, quad [e_ {3 }, e_ {4}] = e_ {2} + e_ {3};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.5}}$, шешілмейтін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = альфа e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = beta e_ {2}, quad [e_ {3} , e_ {4}] = гамма e_ {3}, quad alpha beta gamma neq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.6}}$, шешілмейтін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = альфа e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = бета e_ {2} -e_ {3}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + beta e_ {3}, quad alpha> 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.7}}$, шешілмейтін,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {1}, e_ {4}] = 2e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4 }] = e_ {2}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + e_ {3};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.8}}$, шешілмейтін,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {1}, e_ {4}] = (1+ beta) e_ {1}, quad [e_ { 2}, e_ {4}] = e_ {2}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = beta e_ {3}, quad -1 leq beta leq 1;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.9}}$, шешілмейтін,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {1}, e_ {4}] = 2 alfa e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = alfa e_ {2} -e_ {3}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + alfa e_ {3}, quad alpha geq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.10}}$, шешілмейтін,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2}, quad [e_ {1}, e_ {4 }] = - e_ {2}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {1}.}$

Алгебра ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.3}}$ төтенше жағдай ретінде қарастыруға болады ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.2}}$, қашан ${ displaystyle beta rightarrow 0}$, Ли алгебрасының жиырылуын қалыптастыру.

Алаң үстінде ${ displaystyle { mathbb {C}}}$ алгебралар ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.6}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.9}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.10}}$ изоморфты болып табылады ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.5}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.8}}$, ${ displaystyle {2 { mathfrak {g}}} _ {2.1}}$сәйкесінше.

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Мубаракзянов, Г.М. (1963). «Шешілетін өтірік алгебралары туралы». Изв. Vys. Учеб. Завед. Математика (орыс тілінде). 1 (32): 114–123. МЫРЗА  0153714. Zbl  0166.04104.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
• Попович, Р.О .; Бойко, В.М .; Нестеренко, М.О .; Лутфуллин, М.В .; т.б. (2003). «Нақты төмен өлшемді алгебралардың іске асырылуы». J. физ. Ж: математика. Ген. 36 (26): 7337–7360. arXiv:math-ph / 0301029. Бибкод:2003JPhA ... 36.7337P. дои:10.1088/0305-4470/36/26/309.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)