Кейси теоремасы - Caseys theorem - Wikipedia

Жылы математика, Кейси теоремасы, жалпылама деп те аталады Птоломей теоремасы, - теорема Евклидтік геометрия ирландтардың атымен аталған математик Джон Кейси.

Теореманы тұжырымдау

Келіңіздер радиустың шеңбері болыңыз . Келіңіздер ішінде орналасқан төрт қиылыспайтын шеңбер болуы керек (сол тәртіпте) және оған жанама. Белгілеу сыртқы жалпы ұзындығы битангент үйірмелер . Содан кейін:[1]

Төрт шеңбердің барлығы нүктеге дейін азаятын деградация жағдайында дәл осы болатынын ескеріңіз Птоломей теоремасы.

Дәлел

Келесі дәлелдер келтірілген[2] Захарияға.[3] Шеңбердің радиусын белгілеңіз арқылы және оның шеңбермен түйісу нүктесі арқылы . Біз белгіні қолданамыз шеңбер орталықтары үшін. Ескерту Пифагор теоремасы,

Біз бұл ұзындығын ұпай тұрғысынан көрсетуге тырысамыз . Бойынша косинустар заңы үшбұрышта ,

Үйірмелерден бастап бір-біріне жанама:

Келіңіздер шеңбердің нүктесі болыңыз . Сәйкес синустар заңы үшбұрышта :

Сондықтан,

және оларды жоғарыдағы формуламен ауыстыру:

Сонымен, біз іздейтін ұзындық

Енді сол жақты түпнұсқаның көмегімен бағалай аламыз Птоломей теоремасы жазылғанға қолданылады төртбұрыш :

Бұдан әрі жалпылау

Төрт шеңбердің үлкен шеңбердің ішінде жатудың қажеті жоқ екендігі байқалады. Шын мәнінде, олар бұған сыртынан да әсер етуі мүмкін. Бұл жағдайда келесі өзгеріс енгізілуі керек:[4]

Егер екеуі де бір жағынан жанама (екеуі де, екеуі де), - сыртқы жалпы тангенстің ұзындығы.

Егер жан-жақтан жанама болып табылады (біреуі және біреуі), - ішкі тангенстің ұзындығы.

Кейси теоремасының кері бағыты да шындыққа сәйкес келеді.[4] Яғни, егер теңдік болса, шеңберлер жалпы шеңберге жанасады.

Қолданбалар

Кейси теоремасы мен оның керісіншедегі мәлімдемелерді дәлелдеу үшін қолдануға болады Евклидтік геометрия. Мысалы, ең қысқа дәлел[1]:411 туралы Фейербах теоремасы кері теореманы қолданады.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б Кейси, Дж. (1866). «Теңдеулер мен қасиеттер туралы: (1) жазықтықтағы үш шеңберге тиетін шеңберлер жүйесі; (2) кеңістіктегі төрт сфераға тиетін сфералар жүйесі; (3) сферадағы үш шеңберге тиетін шеңберлер жүйесі ; (4) коникке жазылған кониктер жүйесінің және жазықтықта жазылған үш кониканы түрту ». Ирландия корольдік академиясының материалдары. 9: 396–423. JSTOR  20488927.
  2. ^ Боттема, О. (1944). Elementaire Meetkunde-ге қатысты. (Reinie Erné аудармасы «Elementary Geometry in Topics», Springer 2008, Epsilon-Uitgaven 1987 баспасынан шыққан екінші кеңейтілген басылым).
  3. ^ Захария, М. (1942). «Der Caseysche Satz». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 52: 79–89.
  4. ^ а б Джонсон, Роджер А. (1929). Қазіргі заманғы геометрия. Хоутон Миффлин, Бостон (Довер 1960, 2007 ж. Қайта дамыған Евклид геометриясы ретінде факсимиле).

Сыртқы сілтемелер