Ауыспалы көпмүше - Alternating polynomial

Алгебрада ан ауыспалы көпмүше Бұл көпмүшелік егер біреу айнымалының кез келген екеуін ауыстыратын болса, көпмүшелік белгісі өзгереді:

Эквивалентті, егер ол болса пермуттар айнымалылар, көпмүшелік мәні бойынша өзгереді ауыстыру белгісі:

Жалпы көпмүше деп айтылады кезектесіп егер ол белгісін өзгертсе, біреуінің кез келген екеуін ауыстырса , қалдырып тұрақты.[1]

Симметриялық көпмүшеліктерге қатысы

Өнімдері симметриялы және ауыспалы көпмүшелер (бірдей айнымалыларда) ) келесідей әрекет ету керек:

  • екі симметриялы көпмүшенің көбейтіндісі симметриялы,
  • симметриялы көпмүшенің және айнымалы көпмүшенің көбейтіндісі ауыспалы, және
  • екі ауыспалы көпмүшенің көбейтіндісі симметриялы болады.

Бұл дәл осы үшін қосу кестесі паритет, «жұп» -ке сәйкес «симметриялы» және «тақ» -ке сәйкес келетін «ауыспалы». Сонымен, симметриялы және ауыспалы көпмүшелер кеңістігінің тікелей қосындысы а-ны құрайды супералгебра-деңгейлі алгебра ), мұндағы симметриялы көпмүшелер жұп бөлік, ал ауыспалы көпмүшелер тақ бөлік болып табылады. Бұл дәреже көпмүшелердің дәрежеленуімен байланысты емес дәрежесі.

Атап айтқанда, ауыспалы көпмүшелер а құрайды модуль симметриялы көпмүшеліктер алгебрасының үстінен (супералгебраның тақ бөлігі жұп бөліктің үстіндегі модуль); іс жүзінде бұл 1 дәрежелі ақысыз модуль Вандермондалық полином жылы n генератор ретінде айнымалылар.

Егер сипаттамалық коэффициент сақина 2-ге тең, екі ұғымның арасында ешқандай айырмашылық жоқ: ауыспалы көпмүшелер дәл симметриялық көпмүшеліктер.

Вандермондалық полином

Негізгі ауыспалы көпмүше - болып табылады Вандермондалық полином:

Бұл анық ауыспалы, өйткені екі айнымалыны ауыстыру бір мүшенің таңбасын өзгертеді, ал басқаларын өзгертпейді.[2]

Айнымалы көпмүшелер дәл Вандермонд полиномы ретіндегі симметриялық көпмүшелік болып табылады: қайда симметриялы, себебі:

  • кез келген ауыспалы көпмүшенің коэффициенті: сияқты кез-келген ауыспалы көпмүшенің факторы болып табылады , көпмүше нөлге тең (оларды ауыстыру көпмүшені өзгертпейтіндіктен, аламыз
сондықтан фактор болып табылады), және, осылайша фактор болып табылады.
  • ауыспалы көпмүшелік рет, симметриялы көпмүше - айнымалы көпмүшелік; осылайша барлық ауыспалы көпмүшелер

Керісінше, ауыспалы екі көпмүшенің қатынасы симметриялы функция, мүмкін рационалды (міндетті түрде көпмүшелік емес), бірақ айнымалы көпмүшенің Вандермонда көпмүшесіне қатынасы көпмүшелік болып табылады.Шур көпмүшелері вандермондалық көпмүшеге бөлінетін ауыспалы көпмүше ретінде осылайша анықталады.

Сақинаның құрылымы

Сонымен, симметриялы көпмүшелердің сақинасын Λ деп белгілеуn, симметриялы және ауыспалы көпмүшелердің сақинасы , дәлірек айтсақ , қайда симметриялы көпмүше, дискриминантты.

Яғни, симметриялы және ауыспалы көпмүшелердің сақинасы - а квадраттық кеңейту дискриминанттың квадрат түбірімен жалғасқан симметриялы көпмүшеліктердің сақинасы.

Сонымен қатар, бұл:

Егер 2 қайтарылмайтын болса, жағдай біршама өзгеше, сондықтан басқа көпмүшені қолдану керек , және басқа қатынасты алады; Романьяны қараңыз.

Өкілдік теориясы

Тұрғысынан ұсыну теориясы, симметриялы және ауыспалы көпмүшелер кіші ұсыныстар болып табылады симметриялы топтың әрекеті қосулы n көпмүшелік сақинадағы әріптер n айнымалылар. (Формальды түрде симметриялық топ әрекет етеді n әріптер, және, осылайша, туынды объектілерге әсер етеді еркін нысандар қосулы n әріптер, мысалы, көпмүшелердің сақинасы.)

Симметриялық топта 1 өлшемді екі көрініс бар: тривиальды бейнелеу және белгіні көрсету. Симметриялы көпмүшелер тривиальды, ал ауыспалы көпмүшеліктер белгілерді бейнелеу болып табылады. Формальды түрде кез-келген симметриялы (респ., Ауыспалы) көпмүшенің скалярлық аралығы симметриялы топтың тривиальды (респ., Белгі) көрінісі болып табылады және көпмүшелерді көбейту кескіндерді тензорлайды.

2-сипаттамада бұл нақты көріністер емес, талдау күрделі.

Егер , симметриялы топтың полиномдар сақинасына әсер етуі туралы басқа да кішігірім ұсыныстар бар. симметриялық топтың ұсыну теориясы.

Тұрақсыз

Айнымалы көпмүшелер - тұрақсыз құбылыс (тілінде тұрақты гомотопия теориясы ): симметриялы көпмүшелердің сақинасы n айнымалыларды жоғарыдағы барлық айнымалыларды бағалау арқылы ерікті түрде көп айнымалылардағы симметриялық көпмүшеліктер шеңберінен алуға болады. нөлге: симметриялы көпмүшелер осылай болады тұрақты немесе үйлесімді анықталған. Алайда, бұл ауыспалы көпмүшеліктерге қатысты емес, атап айтқанда Вандермондалық полином.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Көпмүшелік идентификация және асимптотикалық әдістер, б. 12
  2. ^ Керісінше, ол тек басқа терминдерді өзгертеді: үшін , ауыстыру және өзгерістер дейін және алмасу бірге , бірақ олардың белгісін өзгертпейді.

Әдебиеттер тізімі

  • А. Джамбруно, Михаил Зайцев, Көпмүшелік идентификация және асимптотикалық әдістер, AMS кітап дүкені, 2005 ж ISBN  978-0-8218-3829-7, 352 бет
  • Айнымалы функциялардың негізгі теоремасы, Матти Ромагни, 2005 жылғы 15 қыркүйек