Алгебралық элемент - Algebraic element
 | Бұл мақалада а қолданылған әдебиеттер тізімі, байланысты оқу немесе сыртқы сілтемелер, бірақ оның көздері түсініксіз болып қалады, өйткені ол жетіспейді кірістірілген дәйексөздер. (Наурыз 2013) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) |
Жылы математика, егер L Бұл өрісті кеңейту туралы Қ, содан кейін элемент а туралы L деп аталады алгебралық элемент аяқталды Қ, немесе жай алгебралық Қ, егер бар болса, нөлге тең емес көпмүшелік ж(х) бірге коэффициенттер жылы Қ осындай ж(а) = 0. Элементтері L алгебралық емес Қ деп аталады трансцендентальды аяқталды Қ.
Бұл ұғымдар алгебралық сандар және трансценденттік сандар (өрістің кеңейтілуі орналасқан жерде C/Q, C өрісі болу күрделі сандар және Q өрісі болу рационал сандар ).
Мысалдар
- The квадрат түбірі 2 алгебралық болып табылады Q, өйткені бұл көпмүшенің түбірі ж(х) = х2 − 2 оның коэффициенттері рационалды.
- Pi трансценденталды Q өрісі бойынша алгебралық нақты сандар R: бұл түбір ж(х) = х - πкоэффициенттері (1 және -π) екеуі де нақты, бірақ рационалды коэффициенттері бар кез келген көпмүшелік емес. (Терминнің анықтамасы трансценденттік нөмір қолданады C/Q, емес C/R.)
Қасиеттері
Келесі шарттар элемент үшін эквивалентті а туралы L:
- а алгебралық болып табылады Қ,
- өрісті кеңейту Қ(а)/Қ ақырғы дәрежесі бар, яғни өлшем туралы Қ(а) сияқты Қ-векторлық кеңістік ақырлы (мұнда Қ(а) ішіндегі ең кіші кіші өрісті білдіреді L құрамында Қ және а),
- Қ[а] = Қ(а), қайда Қ[а] барлық элементтерінің жиынтығы болып табылады L түрінде жазуға болады ж(а) көпмүшемен ж коэффициенттері Қ.
Бұл сипаттаманы алгебралық элементтердің қосындысының, айырымының, көбейтіндісі мен үлесінің аяқталғанын көрсету үшін қолдануға болады Қ қайтадан алгебралық болып табылады Қ. Барлық элементтерінің жиынтығы L алгебралық болып табылады Қ арасында орналасқан өріс L және Қ.
Егер а алгебралық болып табылады Қ, онда нөлден тыс көпмүшелер көп ж(х) коэффициенттерімен Қ осындай ж(а) = 0. Алайда ең кіші дәрежелі және жетекші коэффициенті бар 1 бар. Бұл минималды көпмүшелік туралы а және ол көптеген маңызды қасиеттерін кодтайды а.
Олардың үстінен ешқандай алгебралық элементтерге жол бермейтін өрістер деп аталады (өз элементтерінен басқа) алгебралық жабық. Комплексті сандардың өрісі мысал бола алады.
Сондай-ақ қараңыз
Әдебиеттер тізімі
- Ланг, Серж (2002), Алгебра, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 211 (Үшінші ред. Қайта қаралды), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, МЫРЗА 1878556, Zbl 0984.00001