Актуарлық келтірілген құн - Actuarial present value

The актуарлық дисконтталған құн (APV) болып табылады күтілетін мән туралы келтірілген құн контингент ақша ағыны ағын (яғни төленуі мүмкін немесе жасалмайтын төлемдер қатары). Актуарлық дисконтталған құндылықтар, әдетте, төлемдер төлемдеріне немесе төлемдер қатарына байланысты есептеледі өмірді сақтандыру және өмірлік рента. Болашақ төлемнің ықтималдығы адамның болашақтағы өлімі туралы болжамдарға негізделеді, олар әдетте өмір кестесін қолдану арқылы бағаланады.

Өмірді сақтандыру

Өмірді толықтай сақтандыру сақтандырылған адам қайтыс болған кезде немесе одан көп ұзамай алдын ала белгіленген төлемді төлейді. Таңба (х) «қартайған өмірді» білдіру үшін қолданылады х«қайда х - нөлден үлкен деп қабылданған кездейсоқ емес параметр. Өмірді сақтандырудың бір бірлігінің актуарлық дисконтталған құны (х) белгісімен белгіленеді немесе жылы актуарлық нота. Келіңіздер G> 0 («қайтыс болған жас») болуы керек кездейсоқ шама сияқты жеке тұлғаның жасын модельдейді (х), өледі. Ал рұқсат етіңіз Т (болашақ өмірдің кездейсоқ шамасы) - бұл жас аралығындағы уақытх және кез келген жаста (х) жәрдемақы төленетін уақытта (дегенмен) (х) сол кезде өлген болуы ықтимал). Бастап Т - біз жазатын G және x функциялары T = T (G, x). Ақырында, рұқсат етіңіз З бір уақытта төленетін 1 өмірді сақтандыру төлемінің дисконтталған мәні Т. Содан кейін:

қайда мен тиімді жылдық пайыздық мөлшерлеме, ал δ - балама қызығушылық күші.

Сыйақының актуарлық дисконтталған құнын анықтау үшін біз оны есептеуіміз керек күтілетін мән Осы кездейсоқ шама З. Қайтыс болу үшін жәрдемақы қайтыс болған жылдың соңында төленеді делік. Содан кейін T (G, x): = төбе (G - x) - өмір сүрген «бүтін жылдардың» саны (жоғары қарай дөңгелектелген) (х) жастан тыс хсақтандырудың бір бірлігінің актуарлық дисконтталған құнын мыналар береді:

қайда ықтималдығы (х) жасына дейін тірі қалады x + t, және ықтималдығы (x + t) бір жыл ішінде қайтыс болады.

Егер жәрдемақы қайтыс болған сәтте төленетін болса, онда T (G, x): = G - x және бүкіл өмірді сақтандыру бірлігінің актуарлық дисконтталған құны келесідей есептеледі

қайда болып табылады ықтималдық тығыздығы функциясы туралы Т, бұл өмір жасының ықтималдығы қартайғанша тірі қалу және білдіреді өлім күші уақытта қартайған өмір үшін .

Бір бірліктің актуарлық дисконтталған құны n- қайтыс болған сәтте төленетін сақтандыру полисін 0-ден бастап интеграциялау арқылы табуға болады n.

Бір жылдағы актуарлық дисконтталған құн садақа егер тірі болса, n жылдан кейін төленетін 1 сақтандыру төлемі ретінде табуға болады

Іс жүзінде кездейсоқ шама туралы ақпарат бар G (және өз кезегінде Т) өмір сүру кестелерінен алынуы мүмкін, олар жыл бойына сандар береді. Мысалы, қайтыс болған жылдың соңында төленетін 100000 АҚШ долларын құрайтын үш жылдық өмірді сақтандырудың актуарлық дисконтталған құны бар

Мысалы, жеке тұлғаның кез келген жылы тірі қалуының 90% мүмкіндігі бар делік (яғни.) Т бар геометриялық үлестіру параметрімен p = 0,9 және жиынтық {1, 2, 3, ...} оны қолдағаны үшін). Содан кейін

және пайыздық мөлшерлеме бойынша үш жылдық сақтандырудың бір бірлігінің актуарлық дисконтталған құны 6% құрайды

сондықтан 100 000 доллар сақтандырудың актуарлық дисконтталған құны 24 244,85 долларды құрайды.

Іс жүзінде сыйақы формуланы түзетуді қажет ететін бір жылдан қысқа мерзімде төленуі мүмкін.

Өмірлік рента

А актуарлық дисконтталған құны өмірлік рента Үздіксіз төленетін жылына 1-ді екі жолмен табуға болады:

Жиынтық төлем техникасы (жиынтықтың күтілетін мәнін ескере отырып) келтірілген құн ):

Бұл өмірді сақтандыру полисінің әдісіне ұқсас. Бұл жолы кездейсоқ шама Y - аннуитеттің жылына келтірілген жалпы дисконтталған шама мәні, жасы бойынша өмірге беріледі х, адам тірі болғанша үздіксіз төленеді және оны мыналар береді:

қайда T = T (x) адам жасына арналған болашақ өмірлік кездейсоқ шама х. Күтілетін мәні Y бұл:

Ағымдағы төлем техникасы (төлемдердің күтілетін мәндерін білдіретін уақыт функциясының жалпы дисконтталған құнын алу):

қайда F(т) болып табылады жинақталған үлестіру функциясы кездейсоқ шаманың Т.

Эквиваленттілік бөліктер бойынша интегралдан да туындайды.

Іс жүзінде өмірлік рента үздіксіз төленбейді. Егер төлемдер әр кезеңнің соңында жүргізілсе, актуарлық дисконтталған құн келесі түрде беріледі

Жылына төлемнің жалпы мөлшерін 1-ге тең ұстау, кезең неғұрлым ұзақ болса, дисконтталған құн соғұрлым аз әсер етеді:

  • Төлемдер орта есеппен үздіксіз жағдайға қарағанда жарты кезеңнен кешірек жүзеге асырылады.
  • Қайтыс болу кезеңіндегі уақытқа пропорционалды төлем болмайды, яғни орта есеппен жарты кезең үшін төлемнің «жоғалуы».

Керісінше, құны бірдей люмсумға және келісімшартқа қатысты ішкі кірістілік деңгейі, төлемдер арасындағы кезең неғұрлым ұзақ болса, жылына жалпы төлем соғұрлым көп болады.

Өмірді қамтамасыз ету өмірлік аннуитеттің функциясы ретінде

Бүкіл өмірді кепілдендіретін АПВ-ны өмірлік рента төлеудің APV-тен алуға болады, осылайша:

Бұл, әдетте, келесідей жазылады:

Үздіксіз жағдайда

Егер аннуитет пен өмірді кепілдендіру бүкіл өмір болып табылмайтын болса, онда кепілдендіруді n-жылдық еншілес кепілдікпен ауыстыру керек (оны n-жылдық кепілдік пен n-жылдық таза қайырымдылықтың сомасы ретінде көрсетуге болады), және жылдық рента төленетін рента.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • Актуарлық математика (Екінші басылым), 1997 ж., Боуэрс, Н.Л., Гербер, Х.У., Хикман, Дж.К., Джонс, Д.А. және Несбитт, К.Ж., 4-5 тарау
  • Тәуекелді анықтауға арналған модельдер (Төртінші басылым), 2011 ж., Робин Дж. Каннингем, Томас Н. Херцог, Ричард Л. Лондон, 7-8 тарау.