ZX-есептеу - ZX-calculus

The ZX-есептеу қатаң болып табылады графикалық тіл арасындағы сызықтық карталар туралы ой қозғау үшін кубиттер ретінде ұсынылған ZX-диаграммалар. ZX-диаграммасы генераторлар жиынтығынан тұрады өрмекшілер нақты сипаттайтын тензорлар. Бұлар бір-бірімен байланысып а түзеді тензорлық желі ұқсас Пенроуздық графикалық жазба. Өрмекшілердің симметриялары мен астарының қасиеттеріне байланысты санат, ZX-диаграммасын топологиялық деформациялау (яғни, олардың байланысын өзгертпестен генераторларды жылжыту) ол ұсынатын сызықтық картаға әсер етпейді. Топологиялық деформациялар нәтижесінде пайда болатын ZX-диаграммалар арасындағы теңдіктерден басқа, ZX-есептеуде де жиынтығы бар графикалық қайта жазу ережелері ZX-диаграммаларды бір-біріне айналдыру үшін. ZX-есептеу болып табылады әмбебап кубиттер арасындағы кез-келген сызықтық картаны ZX-диаграмма түрінде көрсетуге болатындығы және графикалық қайта жазу ережелерінің әр түрлі жиынтығы толық сызықтық карталардың әр түрлі отбасыларына арналған. ZX-диаграммаларын жалпылама ретінде қарастыруға болады кванттық тізбектің жазбасы.

Тарих

ZX-есептеуді алғаш енгізген Боб Кокк және Росс Данкан 2008 жылы кеңейту ретінде Категориялық кванттық механика пайымдау мектебі. Олар паукалардың негізгі ұғымдарын, күшті толықтырушылық және стандартты қайта жазу ережелерінің көпшілігі.[1][2]

2009 жылы Дункан мен Пердрикс қосымша тапты Эйлердің ыдырауы ережесі Хадамард қақпасы[3]оны 2013 жылы Бэкенс ZX-есептеу үшін алғашқы толықтық нәтижесін құру үшін қолданды[4]. Атап айтқанда, барлық теңдіктерді дәлелдеуге жеткілікті болатын қайта жазу ережелерінің жиынтығы бар тұрақтандырғыш ZX-диаграммалар, мұндағы фазалар бірнеше есеге тең , ғаламдық скалярға дейін. Кейіннен бұл нәтиже скалярлық факторларды қосқанда толықтығына қарай жетілдірілді[5].

2017 жылы шамамен әмбебап үшін ZX-есептеуді аяқтау фрагмент табылды[6], әмбебап ZX-есептеу үшін екі түрлі толықтығы бар нәтижелерден басқа (мұнда фазалар кез-келген нақты мән алуға мүмкіндік береді)[7][8].

Сондай-ақ 2017 жылы кітап Кванттық процестерді бейнелеу шығарылды, ол кванттық теорияны ZX-калькулясын қолдана отырып негіздейді[9]. Сондай-ақ, 2019 жылғы кітапты қараңыз Кванттық теорияға арналған категориялар[10].

Ресми емес кіріспе

ZX-диаграмма мысалы. Оның екі кірісі бар (сымдар сол жақтан келеді), және үш шығысы (сымдар оңға қарай шығады), демек, ол сызықтық картаны білдіреді дейін .

ZX-диаграммалар деп аталатын жасыл және қызыл түйіндерден тұрады өрмекшілерсымдар арқылы қосылады. Сымдар қисаюы және қиылысуы мүмкін, көптеген сымдар бір өрмекшеге қосылуы мүмкін, ал бірнеше сымдар бірдей жұп түйіндер арасында жүруі мүмкін. Сондай-ақ, әрдайым дәл екі сымға қосылатын сары қораппен белгіленетін Хадамард түйіндері бар.

ZX-диаграммалар арасындағы сызықтық карталарды бейнелейді кубиттер, тәсіліне ұқсас кванттық тізбектер ұсыну унитарлы кубиттер арасындағы карталар. ZX-диаграммалары кванттық тізбектерден екі негізгі жолмен ерекшеленеді. Біріншісі - ZX-диаграммалар тізбектердің қатаң топологиялық құрылымына сәйкес келмейді, демек, деформациялануы мүмкін. Екіншісі - ZX-диаграммалар жиынтықта деп аталатын қайта жазу ережелерімен жабдықталған ZX-есептеу. Осы ережелерді қолдана отырып, есептеулерді графикалық тілдің өзінде жүргізуге болады.

Генераторлар

Құрылыс блоктары немесе генераторлар ZX-есептеулерінің ерекшелігінің графикалық көріністері болып табылады мемлекеттер, біртұтас операторлар, сызықтық изометрия, және проекциялар есептеу негізінде және Хадамар-түрлендірілген негіз және . Есептеу негізін білдіру үшін жасыл түс (немесе кейде ақ), ал қызыл түс (немесе кейде сұр) Хадамар-трансформацияланған негізді бейнелеу үшін қолданылады. Осы генераторлардың әрқайсысы фаза арқылы белгіленуі мүмкін, бұл интервалдан алынған нақты сан . Егер фаза нөлге тең болса, ол әдетте жазылмайды.

Генераторлар:

ZX-есептеу генераторлары, бейресми
ТүріГенераторСәйкес сызықтық картаЕскертулер
мемлекетҮшін және , бұл карта Хадамар-түрлендірілген базалық күйлердің нормаланбаған нұсқаларына сәйкес келеді және сәйкесінше. Үшін , бұл нормаланбаған нұсқасы T сиқырлы күй[11] .
мемлекетҮшін және , бұл карта есептеу негіздерінің қалыпқа келтірілмеген нұсқаларына сәйкес келеді және сәйкесінше.
унитарлық картаБұл карта - Z осі бойынша айналу Блох сферасы бұрышпен . Үшін , бұл Z Паули матрицасы.
унитарлық картаБұл карта - Блох сферасының X осі бойынша бұрышпен айналу . Үшін , бұл X Паули матрицасы.
унитарлық карта
Бұл карта Хадамард қақпасы кванттық тізбектерде жиі қолданылады.
изометрияҮшін , бұл карта есептеу негізінде көшіру операциясын ұсынады. Бірдей мәні үшін , ол сонымен бірге сәйкес келеді тегіс сплит жұмыс торлы операция.[12]
изометрияҮшін , бұл карта Хадамард түрлендірілген негізде көшіру операциясын ұсынады. Бірдей мәні үшін , ол сонымен бірге сәйкес келеді өрескел сплит жұмыс торлы операция.[12]
ішінара изометрияҮшін , бұл карта бақыланатын-ЕМЕС операциясын, содан кейін мақсатты кубитте Z жойғышын көрсетеді кейінгі таңдалған мемлекетке . Бірдей мәні үшін , ол сонымен бірге сәйкес келеді тегіс біріктіру (жанама операторларсыз) of торлы операция.[12]
ішінара изометрияҮшін , бұл карта бақыланатын-ЕМЕС операцияны, содан кейін күйге кейін таңдалған бақылау кубитіндегі жойғыш X өлшемін білдіреді . Бірдей мәні үшін , ол сонымен бірге сәйкес келеді өрескел біріктіру (жанама операторларсыз) of торлы операция.[12]
болжамҮшін немесе , бұл карта деструктивті X өлшеміне сәйкес келеді кейінгі таңдалған мемлекетке немесе сәйкесінше.
болжамҮшін немесе , бұл карта Z жойғыш өлшеміне сәйкес келеді кейінгі таңдалған мемлекетке немесе сәйкесінше.

Композиция

Генераторлар екі жолмен жасалуы мүмкін:

  • бір генератордың шығыс сымдарын екіншісінің кіріс сымдарына қосу арқылы дәйекті түрде;
  • параллель, екі генераторды тігінен қабаттастыру арқылы.

Бұл заңдар сызықтық карталардың құрамы мен тензор көбейтіндісіне сәйкес келеді.

Генераторларды осылай жазған кез-келген диаграмма ZX-диаграмма деп аталады. ZX-диаграммалар екі композициялық заң бойынша да жабық: бір ZX-диаграмманың шығуын екіншісінің кірісіне қосу жарамды ZX-диаграмма жасайды, ал екі ZX-диаграмманы тігінен қабаттастыру жарамды ZX-диаграмма жасайды.

Тек топология маңызды

Екі схема бірдей сызықты операторды білдіреді, егер олар бірдей тәсілдермен байланысқан генераторлардан тұрса. Басқаша айтқанда, ZX-диаграммаларын топологиялық деформациялау арқылы бір-біріне айналдыруға болатын кезде, олар бірдей сызықтық картаны білдіреді. Осылайша, басқарылатын ЕМЕС қақпа келесі түрде ұсынылуы мүмкін:

ZX-calculus cNOT-example.svg

Диаграмманы қайта жазу

Кванттық тізбектің келесі мысалы а құрайды GHZ-мемлекет. Оны ZX-диаграммаға айналдырып, «бір түсті іргелес өрмекшілер біріктіріледі», «Хадамар өрмекшілердің түсін өзгертеді», және «арит-2 өрмекшілер - сәйкестік» ережелерін қолдана отырып, оны GHZ-ге графикалық түрде келтіруге болады. -мемлекет:

GHZ circuit as ZX-diagram.svg

Кубиттер арасындағы кез-келген сызықтық картаны ZX-диаграмма түрінде көрсетуге болады, яғни ZX-диаграммалар әмбебап. Берілген ZX-диаграмманы ZX-есептеу ережелерін қайта жазу арқылы басқа ZX-диаграммаға айналдыруға болады, егер екі диаграмма бірдей сызықтық картаны көрсетсе ғана, яғни ZX-есептеу дыбыс және толық.

Ресми анықтама

The санат ZX-диаграммалардың а жинақы санат, бұл оның бар екенін білдіреді симметриялық моноидты құрылымы (тензор өнімі), болып табылады ықшам жабық (онда бар кесе және қақпақтар) жабдықталған және а қанжар, барлық осы құрылымдар өзара әрекеттесуі үшін. Санат объектілері - бұл натурал сандар, олардың тензор көбейтіндісі қосымша арқылы беріледі (санат а PROP ). Бұл санаттағы морфизмдер - ZX-диаграммалар. Екі ZX-диаграмма оларды көлденең қойып, сол жақтағы диаграмманың шығуын оң жақтағы диаграмманың кірістерімен байланыстыру арқылы құрылады. Екі диаграмманың моноидтық көбейтіндісі бір диаграмманы екіншісінен жоғары қою арқылы ұсынылады.

Шынында да, барлық ZX-диаграммалар құрастырылған еркін генераторлар жиынтығынан композиция және моноидты өнім арқылы, ықшам құрылыммен келтірілген теңдіктер модулі бойынша және төменде келтірілген ZX-есептеу ережелері. Мысалы, объектінің сәйкестілігі ретінде бейнеленген сол жақтан оңға қарай параллель сымдар, арнайы корпуспен бос диаграмма.

Келесі кестеде генераторлар сызықтық карталар түрінде стандартты түсіндірмелерімен бірге келтірілген Дирак жазбасы. Есептеу негіздері күйлерімен белгіленеді және Хадамард - өзгертілген негіз күйлер . The -вектордың тензор-көбейтіндісі деп белгіленеді .

ZX-диаграммалардың генераторлары[13]
Аты-жөніДиаграммаТүріОл бейнелейтін сызықтық карта
бос диаграмма
This is the common representation for an empty diagram in categorical quantum mechanics
1
сым / жеке куәлік
Қоңырау күйі
This is the common representation for a cup diagram in categorical quantum mechanics
Қоңырау эффектісі
This is the common representation for a cap in categorical quantum mechanics
айырбастау
This is the common representation of the swap morphism in the graphical language of symmetric monoidal categories
Өрмекші Z
This is the green Z-spider from the ZX-calculus, with a phase alpha and n inputs and m outputs
X өрмекші
This is the red X-spider from the ZX-calculus, with a phase alpha and n inputs and m outputs
Хадамард

Аксиома ретінде қайта жазу ережелерінің әртүрлі жүйелерін қолдана отырып, ZX-есептеудің әртүрлі нұсқалары бар. Барлығы мета ережені «тек топология маңызды» деп бөліседі, яғни екі генератор диаграммада қалай орналастырылғанына қарамастан, бірдей генераторлардан тұратын болса, екі диаграмма тең болады. қайта жазу ережелерінің жиынтығы, мұнда «скалярлық коэффициентке дейін» берілген: яғни екі сызба тең деп саналады, егер олардың сызықтық карталар ретінде түсіндірілуі нөлдік емес күрделі фактормен ерекшеленсе.

ZX-есептеу ережелері[14]
Ереженің атауыЕрежеСипаттама
Өрмекші Z-өрмекшесіZX-calculus green spider fusion rule.svgКез-келген екі Z-өрмекші бір-біріне тиіп кетсе, олар біріктіріліп, олардың фазалары қосылады. Бұл ереже Z-өрмекшінің ортонормальды негізді - есептеу негізін білдіретіндігіне сәйкес келеді.
Өрмекшінің қосылуыZX-calculus red spider fusion rule.svgZ-өрмекшенің бірігуін қараңыз.
Жеке куәлік
ZX-calculus red and green identity rules.svg
Фазасыз арий 2 Z- немесе X-паук идентификацияға тең. Бұл ереже Қоңырау күйі есептеу базасында немесе Хадамар-түрлендірілген негізде көрсетілгенімен бірдей. Санат-теориялық терминдерде Z- және X-паук тудыратын ықшам құрылым сәйкес келеді дейді.
Түс өзгеруі
ZX-calculus colour change rule.svg
Хадамард қақпасы өрмекшілердің түсін өзгертеді. Бұл Hadamard қақпасының есептеу негізі мен Hadamard-түрлендірілген негіз арасындағы салыстыратын қасиетін білдіреді.
Ережені көшіру
ZX-calculus 2 output red-green copy rule.svg
Z-паук arity-1 X-паукаларын көшіреді. Бұл arity-1 X-өрмекшісінің есептеу негізінің күйіне пропорционалды екендігін білдіреді (бұл жағдайда ).
Биалгебра ережесіZX-calculus 2 input 2 output bialgebra rule.svgZ- және X-өрмекшілерінің 2 циклы жеңілдейді. Бұл есептеу негізі және Хадамар-түрлендірілген негіз болатын қасиетті білдіреді қатты толықтырушы.
-көшіру ережесіZX-calculus red pi trough green phase spider copy rule.svgЕМЕС қақпа (arity-2 X-өрмекші фаза) Z-пауканың науасын көшіреді және осы паук фазасын айналдырады. Бұл ереже бірден екі қасиетті көрсетеді. Біріншіден, бұл ЕМЕС функция картасы есептеу негізінің (ол күйлерді базалық күйлерге дейін бейнелейді), ал екіншіден, NOT айналу қақпасы арқылы NOT айналдырылған кезде, бұл айналу бұрылады.
Эйлердің ыдырауыZX-calculus Hadamard scalar-free Euler decomposition rule.svgХадамард қақпасын Блох сферасының айналасында үш айналдыруға болады (оған сәйкес келеді) Эйлер бұрыштары ). Кейде бұл ереже Hadamard генераторының анықтамасы ретінде қабылданады, бұл жағдайда ZX-диаграммалардың жалғыз генераторлары Z- және X-паук болады.

Қолданбалар

ZX-есептеу әр түрлі қолданылған кванттық ақпарат және есептеу тапсырмалар.

Құралдар

ZX-есептеу ережелерін қайта жазу формуласы ретінде ресми түрде жүзеге асырылуы мүмкін екі рет басу арқылы қайта жазу. Бұл бағдарламалық жасақтамада қолданылған Квантоматикалық ZX-диаграммаларды автоматты түрде қайта жазуға мүмкіндік беру (немесе жалпы) сызбалар )[23]. Өрістерді біріктіру ережесінде қолданылатын кез келген сымдарды белгілеу үшін «нүктелерді» қолдануды рәсімдеу үшін бұл бағдарламалық жасақтама қолданады жарылыс қорабы белгілеу[24] өрмекшілерде кез-келген кіріс немесе шығыс саны болуы мүмкін ережелерді қайта жазу.

ZX-диаграммаларын өңдеуге арналған соңғы жоба PyZX, бұл бірінші кезекте тізбекті оңтайландыруға бағытталған[14].

Өзара байланысты графикалық тілдер

ZX-есептеу - кубиттер арасындағы сызықтық карталарды сипаттауға арналған бірнеше графикалық тілдердің бірі ғана. The ZW-есептеу ZX-калькуляциясымен бірге жасалған және оны табиғи түрде сипаттай алады W күйі және фермиондық кванттық есептеу[25][26]. Бұл кубиттер арасындағы сызықтық карталардың әмбебап жиынтығы үшін толық ережелер жиынтығы бар алғашқы графикалық тіл болды[7], және ZX-есептеудің ерте толықтығы нәтижелері ZW-калькуляцияға дейін төмендетуді қолданады.

Жақын тіл - ZH-есептеу. Бұл қосады H-қорап генератор ретінде, ол ZX-калькуляциясынан Хадамар қақпасын жалпылайды. Бұл Toffoli қақпалары қатысатын кванттық тізбектерді табиғи түрде сипаттай алады[27].

Байланысты алгебралық ұғымдар

ZX есебіндегі фазасыз өрмекшілер а аксиомаларын қанағаттандырады Хопф алгебрасы тривиальды картамен антипод ретінде. Мұны оның тобының алгебрасына изоморфты екенін байқау арқылы тексеруге болады .

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Coecke, Bob; Дункан, Росс (2008), «Өзара әрекеттесетін кванттық бақылаушылар», Автоматтар, тілдер және бағдарламалау, Информатикадағы дәрістер, 5126, Springer Berlin Heidelberg, 298–310 бет, CiteSeerX  10.1.1.381.2573, дои:10.1007/978-3-540-70583-3_25, ISBN  9783540705826
  2. ^ Coecke, Bob; Дункан, Росс (2011-04-14). «Өзара әрекеттесетін кванттық бақылаушылар: категориялық алгебра және диаграмма». Жаңа физика журналы. 13 (4): 043016. arXiv:0906.4725. Бибкод:2011NJPh ... 13d3016C. дои:10.1088/1367-2630/13/4/043016. ISSN  1367-2630.
  3. ^ а б Дункан, Росс; Пердрикс, Саймон (2009), «Графикалық күйлер және Эйлердің ыдырауының қажеттілігі», Математикалық теория және есептеу практикасы, Springer Berlin Heidelberg, 167–177 бет, дои:10.1007/978-3-642-03073-4_18, ISBN  9783642030727
  4. ^ Хакенс, Мириам (2014-09-17). «ZX-есептеу стабилизатор кванттық механикасы үшін толық». Жаңа физика журналы. 16 (9): 093021. arXiv:1307.7025. Бибкод:2014NJPh ... 16i3021B. дои:10.1088/1367-2630/16/9/093021. ISSN  1367-2630.
  5. ^ Хакенс, Мириам (2015-11-04). «Скалярлар үшін тұрақтандырғыш ZX-калькуляциясын толықтыру». Теориялық информатикадағы электрондық материалдар. 195: 17–32. arXiv:1507.03854. Бибкод:2015arXiv150703854B. дои:10.4204 / eptcs.195.2. ISSN  2075-2180.
  6. ^ Джандель, Эммануил; Пердрикс, Саймон; Вилмарт, Рено (2018). «Клиффорд + Т кванттық механикаға арналған ZX-есептеулерінің толық аксиоматизациясы». Информатикадағы логика бойынша 33-ші ACM / IEEE симпозиумының материалдары - LICS '18. Нью-Йорк, Нью-Йорк, АҚШ: ACM Press: 559–568. arXiv:1705.11151. дои:10.1145/3209108.3209131. ISBN  9781450355834.
  7. ^ а б Хадзихасанович, Амар; Нг, Кан Фенг; Ванг, Куанлун (2018). «Таза күйдегі кубиттік кванттық есептеудің екі толық аксиоматизациясы». Информатикадағы логика бойынша 33-ші ACM / IEEE симпозиумының материалдары. ACM: 502-511. дои:10.1145/3209108.3209128. ISBN  9781450355834. Алынған 21 мамыр 2019.
  8. ^ Джандель, Эммануил; Пердрикс, Саймон; Вилмарт, Рено (2018). «Клиффорд + Т кванттық механикасынан тыс диаграммалық пайымдау». Информатикадағы логика бойынша 33-ші ACM / IEEE симпозиумының материалдары - LICS '18. Нью-Йорк, Нью-Йорк, АҚШ: ACM Press: 569–578. arXiv:1801.10142. Бибкод:2018arXiv180110142J. дои:10.1145/3209108.3209139. ISBN  9781450355834.
  9. ^ Coecke, Bob; Киссинджер, Алекс (2017). Кванттық процестерді бейнелеу. Кембридж: Кембридж университетінің баспасы. дои:10.1017/9781316219317. ISBN  9781316219317.
  10. ^ Хенен, Крис; Вискар, Джейми (2019). Кванттық теорияға арналған категориялар. Оксфорд университетінің баспасы. дои:10.1093 / oso / 9780198739623.001.0001. ISBN  9780198739616.
  11. ^ Бравый, Сергей; Хах, Чжонван (2012-11-27). «Сиқырлы күйде айдау, төмен үстеме шығындармен». Физикалық шолу A. 86 (5): 052329. arXiv:1209.2426. Бибкод:2012PhRvA..86e2329B. дои:10.1103 / physreva.86.052329. ISSN  1050-2947.
  12. ^ а б c г. Хорсман, Доминик; де Бодрап, Ниэль (2017-04-27). «ZX калькуляциясы - бұл беттік кодтық торға операция жасау тілі». arXiv:1704.08670v2 [квант-ph ].
  13. ^ Хакенс, Мириам; Пердрикс, Саймон; Ван, Куанлун (2017-01-01). «Жеңілдетілген тұрақтандырғыш ZX-калькуляциясы». Теориялық информатикадағы электрондық материалдар. 236: 1–20. дои:10.4204 / eptcs.236.1. ISSN  2075-2180.
  14. ^ а б ван де Ветеринг, Джон; Киссинджер, Алекс (2019-04-09). «PyZX: ауқымды автоматтандырылған диаграммалық пайымдау». arXiv:1904.04735v1 [квант-ph ].
  15. ^ Дункан, Росс; Пердрикс, Саймон (2010), «Өлшеуге негізделген кванттық есептеулерді жалпыланған ағынмен қайта жазу», Автоматтар, тілдер және бағдарламалау, Springer Berlin Heidelberg, 285–296 бет, дои:10.1007/978-3-642-14162-1_24, ISBN  9783642141614, S2CID  34644953
  16. ^ Киссинджер, Алекс; ван де Ветеринг, Джон (2019-04-26). «Жалпы париттік фазалық өзара әрекеттесу және Паули өлшемдері бар әмбебап MBQC». Квант. 3: 134. дои:10.22331 / q-2019-04-26-134. ISSN  2521-327X.
  17. ^ Хорсман, Доминик; де Бодрап, Ниэль (2017-04-27). «ZX калькуляциясы - бұл беттік кодтық торға операция жасау тілі». arXiv:1704.08670v1 [квант-ph ].
  18. ^ Пердрикс, Саймон; Хорсман, Доминик; Дункан, Росс; де Бодрап, Ниель (2019-04-29). «Паули Фьюжн: ZX терминдерінен кванттық қайта құруды жүзеге асыратын есептеу моделі». arXiv:1904.12817v1 [квант-ph ].
  19. ^ Хорсман, Доминик; Зорен, Стефан; Рофф, Йошка; Киссинджер, Алекс; Канцлер, Николай (2016-11-23). «Кванттық қателіктерді түзету және жобалауға арналған графикалық құрылымдар». arXiv:1611.08012v3 [квант-ph ].
  20. ^ Дункан, Росс; Лукас, Максим (2014-12-27). «Steane кодын Quantomatic көмегімен тексеру». Теориялық информатикадағы электрондық материалдар. 171: 33–49. дои:10.4204 / eptcs.171.4. ISSN  2075-2180.
  21. ^ Гарви, Лиам; Дункан, Росс (2018-02-27). «Ең кішкентай қызықты түстер кодын квантоматпен тексеру». Теориялық информатикадағы электрондық материалдар. 266: 147–163. дои:10.4204 / eptcs.266.10. ISSN  2075-2180.
  22. ^ Фаган, Эндрю; Дункан, Росс (2019-01-31). «Клиффорд схемаларын квантоматпен оңтайландыру». Теориялық информатикадағы электрондық материалдар. 287: 85–105. arXiv:1901.10114. Бибкод:2019arXiv190110114F. дои:10.4204 / eptcs.287.5. ISSN  2075-2180.
  23. ^ Киссинджер, Алекс; Замджиев, Владимир (2015), «Квантоматикалық: Диаграммалық пайымдаудың дәлелді көмекшісі», Автоматтандырылған шегерім - CADE-25, Springer International Publishing, 326–336 бет, arXiv:1503.01034, Бибкод:2015arXiv150301034K, дои:10.1007/978-3-319-21401-6_22, ISBN  9783319214009
  24. ^ Дэвид; Киссинджер, Алекс (2015-05-02). «Жолдық диаграммаға арналған бірінші ретті логика». arXiv:1505.00343v1 [math.CT ].
  25. ^ Coecke, Bob; Киссинджер, Алекс (2010), «Көпбөлшекті кванттық шатасудың композициялық құрылымы», Автоматтар, тілдер және бағдарламалау, Springer Berlin Heidelberg, 297–308 б., arXiv:1002.2540, Бибкод:2010arXiv1002.2540C, дои:10.1007/978-3-642-14162-1_25, ISBN  9783642141614
  26. ^ Хадзихасанович, Амар; Дункан, Росс (2015). «Кубит орамалына арналған диаграммалық аксиоматизация». 2015 ж. 30-жылдық ACM / IEEE информатика логикасы бойынша симпозиумы. 573–584 беттер. arXiv:1501.07082. дои:10.1109 / lics.2015.59. ISBN  9781479988754.
  27. ^ Хакенс, Мириам; Киссинджер, Алекс (2019-01-31). «ZH: классикалық сызықтық еместі қамтитын кванттық есептеулердің толық графикалық есебі». Теориялық информатикадағы электрондық материалдар. 287: 23–42. дои:10.4204 / eptcs.287.2. ISSN  2075-2180.

Сыртқы сілтемелер