Yeoh (гипер серпімді модель) - Yeoh (hyperelastic model)

Yeoh моделін табиғи каучукке арналған эксперименттік деректерге қарсы болжау. Модель параметрлері және эксперименттік мәліметтер PolymerFEM.com

The Еох гипереластикалық материал модель^[1] дерлік деформациясының феноменологиялық моделі болып табылады сығылмайтын, бейсызықтық серпімді сияқты материалдар резеңке. Модель негізделген Рональд Ривлиндікі каучуктың серпімді қасиеттерін а. көмегімен сипаттауға болатындығын байқау штамм энергиясының тығыздығы функциясы бұл қуаттылық сериясы штамм инварианттары ${displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}$ туралы Коши-Грин деформациясы тензорлары.^[2] Сығылмайтын резеңке үшін Yeoh моделі тек функция болып табылады ${displaystyle I_ {1}}$ . Сығылатын резеңкелер үшін тәуелділік ${displaystyle I_ {3}}$ қосылады. Штамм энергиясының тығыздығының полиномдық түрі қолданылғанымен, сол жақтағы Коши-Грин деформациясы тензорының барлық үш инварианттары бірдей емес болғандықтан, Yeoh моделі де аталады төмендетілді көпмүшелік модель.

Yeoh моделі сығылмайтын резеңкелерге арналған

Штамм энергиясының тығыздығы функциясы

Yeoh ұсынған түпнұсқа модель тек текше түрінде болды ${displaystyle I_ {1}}$ тәуелділік және таза сығылмайтын материалдарға қолданылады. Бұл модель үшін деформация энергиясының тығыздығы келесі түрде жазылады

{displaystyle W = қосынды _ {i = 1} ^ {3} C_ {i} ~ (I_ {1} -3) ^ {i}}

қайда ${displaystyle C_ {i}}$ материалдық тұрақтылар болып табылады. Саны ${displaystyle 2C_ {1}}$ бастапқы деп түсіндіруге болады ығысу модулі.

Бүгінгі таңда Yeoh моделінің сәл жалпыланған нұсқасы қолданылады.^[3] Бұл модельге кіреді ${displaystyle n}$ терминдер ретінде жазылады

{displaystyle W = sum _ {i = 1} ^ {n} C_ {i} ~ (I_ {1} -3) ^ {i} ~.}

Қашан ${displaystyle n = 1}$ Yeoh моделі төмендейді неокеандық модель сығылмайтын материалдар үшін.

-Мен келісу үшін сызықтық серпімділік Yeoh моделі шартты қанағаттандыруы керек

{displaystyle 2 {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} (3) = mu ~~ (ieq j)}

қайда ${displaystyle mu}$ болып табылады ығысу модулі материал, қазір ${displaystyle I_ {1} = 3 (лямбда _ {i} = лямбда _ {j} = 1)}$ ,

{displaystyle {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} = C_ {1}}

Сондықтан Yeoh моделінің консистенциясы шарты болып табылады

{displaystyle 2C_ {1} = mu,}

Стресс-деформациялық қатынастар

Сығылмайтын Yeoh моделі үшін Коши кернеуі келтірілген

{displaystyle {oldsymbol {sigma}} = - p ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + 2 ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} ~ {oldsymbol {B}} ~; ~~ { cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} = қосынды _ {i = 1} ^ {n} i ~ C_ {i} ~ (I_ {1} -3) ^ {i-1} ~.}

Бір оксиалды кеңейту

Бір оксиалды кеңейту үшін ${displaystyle mathbf {n} _ {1}}$ - бағыт, негізгі созылу болып табылады ${displaystyle лямбда _ {1} = лямбда, ~ лямбда _ {2} = лямбда _ {3}}$ . Сығымсыздықтан ${displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$ . Демек ${displaystyle lambda _ {2} ^ {2} = lambda _ {3} ^ {2} = 1 / lambda}$ . Сондықтан,

{displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = lambda ^ {2} + {cfrac {2} {lambda }} ~.}

The Коши-Грин деформация тензоры кейін білдіруге болады

{displaystyle {oldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + {cfrac {1} {lambda}} ~ (mathbf {n} _ {) 2} otimes mathbf {n} _ {2} + mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3}) ~.}

Егер негізгі созылу бағыттары координаталық базалық векторларға бағытталған болса, бізде бар

{displaystyle sigma _ {11} = - p + 2 ~ lambda ^ {2} ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} ~; ~~ sigma _ {22} = - p + {cfrac {2} {lambda}} ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} = sigma _ {33} ~.}

Бастап ${displaystyle sigma _ {22} = sigma _ {33} = 0}$ , Бізде бар

{displaystyle p = {cfrac {2} {lambda}} ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} ~.}

Сондықтан,

{displaystyle sigma _ {11} = 2 ~ қалды (lambda ^ {2} - {cfrac {1} {lambda}} ight) ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} ~.}

The инженерлік штамм болып табылады ${displaystyle lambda -1,}$ . The инженерлік стресс болып табылады

{displaystyle T_ {11} = sigma _ {11} / lambda = 2 ~ сол жақта (lambda - {cfrac {1} {lambda ^ {2}}} ight) ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}} } ~.}

Эквиаксиалды кеңейту

Эквивальді кеңейту үшін ${displaystyle mathbf {n} _ {1}}$ және ${displaystyle mathbf {n} _ {2}}$ бағыттар, негізгі созылу болып табылады ${displaystyle лямбда _ {1} = лямбда _ {2} = лямбда,}$ . Сығымсыздықтан ${displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$ . Демек ${displaystyle lambda _ {3} = 1 / lambda ^ {2},}$ . Сондықтан,

{displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = 2 ~ lambda ^ {2} + {cfrac {1} {лямбда ^ {4}}} ~.}

The Коши-Грин деформация тензоры кейін білдіруге болады

{displaystyle {oldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {2} otimes mathbf { n} _ {2} + {cfrac {1} {lambda ^ {4}}} ~ mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3} ~.}

Егер негізгі созылу бағыттары координаталық базалық векторларға бағытталған болса, бізде бар

{displaystyle sigma _ {11} = - p + 2 ~ lambda ^ {2} ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} = sigma _ {22} ~; ~~ sigma _ {33} = - p + {cfrac {2} {lambda ^ {4}}} ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} ~.}

Бастап ${displaystyle sigma _ {33} = 0}$ , Бізде бар

{displaystyle p = {cfrac {2} {lambda ^ {4}}} ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} ~.}

Сондықтан,

{displaystyle sigma _ {11} = 2 ~ қалды (lambda ^ {2} - {cfrac {1} {lambda ^ {4}}} ight) ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} = sigma _ {22} ~.}

The инженерлік штамм болып табылады ${displaystyle lambda -1,}$ . The инженерлік стресс болып табылады

{displaystyle T_ {11} = {cfrac {sigma _ {11}} {lambda}} = 2 ~ left (lambda - {cfrac {1} {lambda ^ {5}}} ight) ~ {cfrac {ішінара W} { ішінара I_ {1}}} = T_ {22} ~.}

Жазықтық кеңейту

Жазықтық кеңейту сынақтары бір бағытта деформациялануға тыйым салынған жұқа үлгілерде жүргізіледі. Ішіндегі жазықтық кеңейту үшін ${displaystyle mathbf {n} _ {1}}$ бағыттары ${displaystyle mathbf {n} _ {3}}$ бағыт шектеулі, негізгі созылу болып табылады ${displaystyle lambda _ {1} = лямбда, ~ лямбда _ {3} = 1}$ . Сығымсыздықтан ${displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$ . Демек ${displaystyle лямбда _ {2} = 1 / лямбда,}$ . Сондықтан,

{displaystyle I_ {1} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} = lambda ^ {2} + {cfrac {1} {lambda ^ {2}}} + 1 ~.}

The Коши-Грин деформация тензоры кейін білдіруге болады

{displaystyle {oldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + {cfrac {1} {lambda ^ {2}}} ~ mathbf {n } _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3} ~.}

Егер негізгі созылу бағыттары координаталық базалық векторларға бағытталған болса, бізде бар

{displaystyle sigma _ {11} = - p + 2 ~ lambda ^ {2} ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} ~; ~~ sigma _ {22} = - p + {cfrac {2} {lambda ^ {2}}} ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} ~; ~~ sigma _ {33} = - p + 2 ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1} }} ~.}

Бастап ${displaystyle sigma _ {22} = 0}$ , Бізде бар

{displaystyle p = {cfrac {2} {lambda ^ {2}}} ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} ~.}

Сондықтан,

{displaystyle sigma _ {11} = 2 ~ қалды (lambda ^ {2} - {cfrac {1} {lambda ^ {2}}} ight) ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} ~ ~; ~~ sigma _ {22} = 0 ~; ~~ sigma _ {33} = 2 ~ сол (1- {cfrac {1} {lambda ^ {2}}} ight) ~ {cfrac {ішінара W} {ішінара I_ {1}}} ~.}

The инженерлік штамм болып табылады ${displaystyle lambda -1,}$ . The инженерлік стресс болып табылады

{displaystyle T_ {11} = {cfrac {sigma _ {11}} {lambda}} = 2 ~ left (lambda - {cfrac {1} {lambda ^ {3}}} ight) ~ {cfrac {ішінара W} { жартылай I_ {1}}} ~.}

Yeoh моделі сығылатын резеңкелерге арналған

Қамтитын Yeoh моделінің нұсқасы ${displaystyle I_ {3} = J ^ {2}}$ тәуелділік сығылатын резеңкелер үшін қолданылады. Бұл модель үшін деформация энергиясының тығыздығы келесі түрде жазылады

{displaystyle W = sum _ {i = 1} ^ {n} C_ {i0} ~ ({ar {I}} _ {1} -3) ^ {i} + sum _ {k = 1} ^ {n} C_ {k1} ~ (J-1) ^ {2k}}

қайда ${displaystyle {ar {I}} _ {1} = J ^ {- 2/3} ~ I_ {1}}$ , және ${displaystyle C_ {i0}, C_ {k1}}$ материалдық тұрақтылар болып табылады. Саны ${displaystyle C_ {10}}$ бастапқы ығысу модулінің жартысы ретінде түсіндіріледі, ал ${displaystyle C_ {11}}$ бастапқы көлемді модульдің жартысы ретінде түсіндіріледі.

Қашан ${displaystyle n = 1}$ сығылатын Yeoh моделі төмендейді неокеандық модель сығылмайтын материалдар үшін.

Әдебиеттер тізімі

^ Йох, О. Х., 1993 ж., «Резеңке үшін деформация энергиясының кейбір түрлері» Резеңке химия және технология, 66 том, 5 басылым, 1993 ж. Қараша, 754-771 беттер.
^ Rivlin, R. S., 1948, «Резеңке инженериясына икемділік теориясының кейбір қосымшалары», in Р.С. Ривлиннің жинағындағы құжаттар 1 және 2, Springer, 1997 ж.
^ Селвадурай, A. P. S., 2006, «Резеңке мембрананың ауытқуы», Қатты денелер механикасы және физикасы журналы, т. 54, жоқ. 6, 1093-1119 бб.

Сондай-ақ қараңыз

[Yeoh93-1] Йох, О. Х., 1993 ж., «Резеңке үшін деформация энергиясының кейбір түрлері» Резеңке химия және технология, 66 том, 5 басылым, 1993 ж. Қараша, 754-771 беттер.

[2] Rivlin, R. S., 1948, «Резеңке инженериясына икемділік теориясының кейбір қосымшалары», in Р.С. Ривлиннің жинағындағы құжаттар 1 және 2, Springer, 1997 ж.

[Selva06-3] Селвадурай, A. P. S., 2006, «Резеңке мембрананың ауытқуы», Қатты денелер механикасы және физикасы журналы, т. 54, жоқ. 6, 1093-1119 бб.

[1]

[2]

[3]