Винер алгебрасы - Wiener algebra

Математикада Винер алгебрасы, атындағы Норберт Винер және әдетте белгіленеді A(Т), кеңістігі мүлдем конвергентті Фурье сериясы.^[1] Мұнда Т дегенді білдіреді шеңбер тобы.

Банах алгебрасының құрылымы

Функцияның нормасы f ∈ A(Т) арқылы беріледі

${ displaystyle | f | = sum _ {n = - infty} ^ { infty} | { hat {f}} (n) |, ,}$

қайда

${ displaystyle { hat {f}} (n) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (t) e ^ {- int} , дт}$

болып табылады nФурье коэффициенті f. Винер алгебрасы A(Т) функцияларды нүктелік көбейту кезінде жабық. Әрине,

${ displaystyle { begin {aligned} f (t) g (t) & = sum _ {m in mathbb {Z}} { hat {f}} (m) e ^ {imt} , cdot , sum _ {n in mathbb {Z}} { hat {g}} (n) e ^ {int} & = sum _ {n, m in mathbb {Z}} { hat {f}} (m) { hat {g}} (n) e ^ {i (m + n) t} & = sum _ {n in mathbb {Z}} сол жақ { sum _ {m in mathbb {Z}} { hat {f}} (nm) { hat {g}} (m) right } e ^ {int}, qquad f, g in A ( mathbb {T}); end {aligned}}}$

сондықтан

${ displaystyle | fg | = sum _ {n in mathbb {Z}} left | sum _ {m in mathbb {Z}} { hat {f}} (nm) { бас киім {g}} (m) right | leq sum _ {m} | { hat {f}} (m) | sum _ {n} | { hat {g}} (n) | = | f | , | g |. ,}$

Осылайша, Винер алгебрасы - бұл коммутативті унитар Банах алгебрасы. Сондай-ақ, A(Т) Банах алгебрасына изоморфты болып табылады л₁(З), Фурье түрлендіруімен берілген изоморфизммен.

Қасиеттері

Абсолютті конвергентті Фурье қатарының қосындысы үздіксіз, сондықтан

${ displaystyle A ( mathbb {T}) subset C ( mathbb {T})}$

қайда C(Т) - бұл бірлік шеңберіндегі үздіксіз функциялар сақинасы.

Екінші жағынан бөліктер бойынша интеграциялау, бірге Коши-Шварц теңсіздігі және Парсеваль формуласы, мұны көрсетеді

${ displaystyle C ^ {1} ( mathbb {T}) ішкі жиын A ( mathbb {T}). ,}$

Жалпы,

${ displaystyle mathrm {Lip} _ { alpha} ( mathbb {T}) subset A ( mathbb {T}) subset C ( mathbb {T})}$

үшін ${ displaystyle alpha> 1/2}$ (қараңыз Катзнельсон (2004) ).

Wiener 1 /f теорема

Винер (1932, 1933 ) егер дәлелдеді f абсолютті конвергентті Фурье қатарына ие және ешқашан нөлге тең болмайды, содан кейін оның кері мәні болады 1/f сонымен қатар абсолютті конвергентті Фурье қатарына ие. Содан бері көптеген басқа дәлелдер пайда болды, соның ішінде қарапайым Ньюман  (1975 ).

Гельфанд (1941, 1941б ) Банах алгебраларының теориясын қолданып, оның максималды идеалдары екенін көрсетті A(Т) формада болады

${ displaystyle M_ {x} = left {f in A ( mathbb {T}) , mid , f (x) = 0 right }, quad x in mathbb {T} ~,}$

бұл Винер теоремасына тең.

Сондай-ақ қараңыз

• Винер-Леви теоремасы

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Арвесон, Уильям (2001) [1994], «Спектралды теорияның қысқаша курсы», Математика энциклопедиясы, EMS Press
• Гельфанд, И. (1941а), «Нормье Ринг», Rec. Математика. (Мат. Сборник) Н.С., 9 (51): 3–24, МЫРЗА  0004726
• Гельфанд, И. (1941б), «Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale», Rec. Математика. (Мат. Сборник) Н.С., 9 (51): 51–66, МЫРЗА  0004727
• Катцнелсон, Итжак (2004), Гармоникалық анализге кіріспе (Үшінші басылым), Нью-Йорк: Кембридж математикалық кітапханасы, ISBN  978-0-521-54359-0
• Ньюман, Дж. Дж. (1975), «Винердің қарапайым дәлелі 1 /f теорема », Американдық математикалық қоғамның еңбектері, 48: 264–265, дои:10.2307/2040730, ISSN  0002-9939, МЫРЗА  0365002
• Винер, Норберт (1932), «Тауберия теоремалары», Математика жылнамалары, 33 (1): 1–100, дои:10.2307/1968102
• Винер, Норберт (1933), Фурье интегралы және оның кейбір қолданбалары, Кембридж математикалық кітапханасы, Кембридж университетінің баспасы, дои:10.1017 / CBO9780511662492, ISBN  978-0-521-35884-2, МЫРЗА  0983891