Виртуалды түйін - Virtual knot

Сұрақ, Web Fundamentals.svgМатематикадағы шешілмеген мәселе:
[Джонс көпмүшесінің жалпы 3-коллекторға дейін кеңеюі.] Түпнұсқа бола алады Джонс көпмүшесі, ол 3-сферадағы 1-звенолар үшін анықталған (3-шар, 3-кеңістік R3), кез-келген 3-коллектордағы 1-звеноларға кеңейтіле ме?
(математикадағы шешілмеген мәселелер)

Жылы түйіндер теориясы, а виртуалды түйін - бұл 3 өлшемді түйіндерді жалпылау Евклид кеңістігі, R3, қалыңдатылған беттердегі түйіндерге дейін тұрақтандыру / тұрақсыздандыру деп аталатын эквиваленттік қатынас модулі. Мұнда жабық және бағдарланған болуы қажет. Виртуалды түйіндер алғаш рет енгізілген Кауфман (1999).

Шолу

Классикалық түйіндер теориясында түйіндерді астындағы түйін диаграммаларының эквиваленттік кластары деп санауға болады Рейдемейстер қозғалады. Сол сияқты виртуалды түйінді жалпылама Reidemeister қозғалысы кезінде эквивалентті виртуалды түйін диаграммаларының эквиваленттілігі деп санауға болады. Виртуалды түйіндер, мысалы, Гаусс кодтары 3 өлшемді бола алмайтын түйіндердің болуына мүмкіндік береді Евклид кеңістігі. Виртуалды түйін диаграммасы - бұл 4 валентті жазықтық график, бірақ енді әрбір шыңға классикалық қиылысу немесе виртуалды деп аталатын жаңа түр рұқсат етілген. Жалпыланған қозғалыстар балама диаграмма алу үшін осындай сызбаларды қалай басқаруға болатындығын көрсетеді; жартылай виртуалды жүріс деп аталатын бір жүріс классикалық және виртуалды қиылыстарды да қамтиды, ал қалған барлық қозғалыстар тек бір ғана қиылысуды қамтиды.

Виртуалды түйіндер маңызды және арасында қатты байланыс бар Кванттық өріс теориясы және виртуалды түйіндер.

Виртуалды түйіндердің өзі - таңғажайып нысандар және математиканың басқа салаларымен көптеген байланыстары бар. Виртуалды түйіндер тораптар теориясының басқа салаларымен көптеген қызықты байланыстарға ие. Көрсетілген шешілмеген мәселе виртуалды түйіндерді зерттеудің маңызды мотивациясы болып табылады.

Осы жұмыстың 1.1 бөлімін қараңыз [KOS][1]бұл мәселенің өңі мен тарихы үшін. Кауфман виртуалды 1-түйінді енгізу арқылы жабық бағдарланған беттің өнімі және жабық интервал жағдайында шешім ұсынды.[2]Ол басқа жағдайларда ашық. Джонстың полиномына арналған Виттеннің интегралды жолы кез келген ықшам 3-коллекторлы сілтемелер үшін формальды түрде жазылады, бірақ есептеу физикалық деңгейде 3-сферадан (3-шар, 3-кеңістіктен, 3-тен) басқа жағдайда да орындалмайды. Бұл мәселе физика деңгейінде де ашық. Александр көпмүшесі жағдайында бұл мәселе шешілді.

Классикалық түйінді сонымен қатар эквиваленттік класы деп санауға болады Гаусс диаграммалары Рейдемистер қозғалыстарынан шыққан белгілі бір қозғалыстардың астында. Гаусстың барлық диаграммалары түйін диаграммасы ретінде жүзеге асырыла бермейді, бірақ қарастыру арқылы барлық Гаусс диаграммаларының эквиваленттік кластары, біз виртуалды түйіндер аламыз.

Классикалық түйінді шеңбердің қалыңдатылған 2-сфераға ендірудің қоршаған ортадағы изотопиялық класы деп санауға болады. Мұны қалыңдығы жоғары гендік беттерге енудің осындай кластарын қарастыру арқылы жалпылауға болады. Бұл біз қалаған нәрсе емес, өйткені тұтқаны (қалың) бетке қосу түпнұсқалық түйіннің жоғары деңгейлі енуін тудырады. Тұтқаны қосу тұрақтандыру және кері процесті тұрақсыздандыру деп аталады. Осылайша виртуалды түйінді қоршаған орта деп санауға болады изотопия (de) тұрақтандырумен берілген эквиваленттілікпен қалыңдатылған беттерге шеңбердің ену класы.

Классикалық және виртуалды түйіндерге қатысты кейбір негізгі теоремалар:

  • Егер екі классикалық түйіндер виртуалды түйіндерге тең болса, олар классикалық түйіндерге тең.
  • Виртуалды түйіннің классикалық екенін анықтайтын алгоритм бар.
  • Екі виртуалды түйіннің баламалы екендігін анықтайтын алгоритм бар.

Төмендегілердің арасында қатынастың болуы маңызды. Жоғарыда және төменде келтірілген қағазды [KOS] қараңыз.

  • Виртуалды 1-түйін жиынтығы болып табылатын виртуалды 1-түйінді диаграммалардың виртуалды эквиваленттілігі.
  • Виртуалды 1-түйінді диаграммалардың дәнекерленген эквиваленттілігі
  • Виртуалды 1 түйінді диаграммалардың айналмалы дәнекерленген эквиваленттілігі
  • Виртуалды 1-түйінді диаграммалардың талшықты эквиваленттілігі

Виртуалды 2 түйін де анықталған. Жоғарыда келтірілген қағазды қараңыз.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Кауфман, Л.Х; Огаса, Е; Шнайдер, Дж (2018), Виртуалды 1-түйінге және 2-түйінге және виртуалды 1-түйіннің талшық тәрізді және дәнекерленген эквивалентіне арналған иіру конструкциясы, arXiv:1808.03023
  2. ^ Кауфман, Л.Е. (1998), 1997 жылғы қаңтарда MSRI кездесуіндегі келіссөздер, Мэриленд университетіндегі AMS жиналысы, 1997 жылғы наурыздағы колледж паркі, Исаак Ньютон институтының 1997 жылғы қарашадағы дәрісі, 1998 жылғы шілдеде Дельфи, Грекиядағы Элладағы түйіндер кездесуі, Yang-Baxter жүйелері бойынша APCTP-NANKAI симпозиумы. , 1998 ж. Қазанында Кореяның Сеул қаласындағы сызықтық емес модельдер мен қосымшалар және төменде келтірілген Кауфманның 1999 ж., arXiv:математика / 9811028
  • Боден, Ганс; Нагель, Матиас (2017). «Виртуалды түйіндердің келісім тобы». Proc. Amer. Математика. Soc. 145 (12): 5451–5461. дои:10.1090 / proc / 13667. S2CID  119139769.
  • Картер, Дж. Скотт; Камада, Сейичи; Сайто, Масахико (2002). «Беттердегі түйіндердің тұрақты эквиваленттілігі және виртуалды түйін кобординизмдері. Түйіндер 2000 Корея, 1-том (Ёнпён)». Дж. Түйін теориясы. 11 (3): 311–322.
  • Картер, Дж. Скотт; Күміс, Даниэль; Уильямс, Сюзан (2014). «Қалыңдатылған беттердегі сілтемелердің инварианттары». Алг. Геом. Топология. 14 (3): 1377–1394. дои:10.2140 / agt.2014.14.1377. S2CID  53137201.
  • Бояу, Хизер А (2016). Түйін теориясына шақыру: виртуалды және классикалық (Бірінші басылым). Чэпмен және Холл / CRC. ISBN  9781315370750.
  • Гусаров, Михаил; Поляк, Майкл; Виро, Олег (2000). «Классикалық және виртуалды түйіндердің ақырғы типтегі инварианттары». Топология. 39 (5): 1045–1068. дои:10.1016 / S0040-9383 (99) 00054-3. S2CID  8871411.
  • Камада, Наоко; Камда, Сейичи (2000). «Рефераттық сілтемелер мен виртуалды түйіндер». Дж. Түйін теориясы. 9 (1): 93–106. дои:10.1142 / S0218216500000049.
  • Кауфман, Луис Х. (1999). «Виртуалды түйіндер теориясы» (PDF). Еуропалық Комбинаторика журналы. 20 (7): 663–690. дои:10.1006 / eujc.1999.0314. ISSN  0195-6698. МЫРЗА  1721925. S2CID  5993431.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Кауфман, Луи Х .; Мантуров, Василий Олегович (2005). «Виртуалды түйіндер мен сілтемелер». arXiv:math.GT/0502014.
  • Куперберг, Грег (2003). «Виртуалды сілтеме дегеніміз не?». Алг. Геом. Топология. 3: 587–591. дои:10.2140 / agt.2003.3.587. S2CID  16803280.
  • Мантуров, Василий (2004). Түйін теориясы. CRC Press. ISBN  978-0-415-31001-7.
  • Мантуров, Василий Олегович (2004). «Виртуалды түйіндер және шексіз өлшемді алгебралар». Acta Requande Mathematica. 83 (3): 221–233. дои:10.1023 / B: ACAP.0000038944.29820.5e. S2CID  124019548.
  • Тураев, Владимир (2008). «Беттердегі түйіндердің кобордизмі». Топология. 1 (2): 285–305. arXiv:математика / 0703055. дои:10.1112 / jtopol / jtn002. S2CID  17888102.</ref>

Сыртқы сілтемелер