Векторлық өлшем - Vector measure

Жылы математика, а векторлық өлшем Бұл функциясы бойынша анықталған жиынтықтар отбасы және қабылдау вектор белгілі бір қасиеттерді қанағаттандыратын мәндер. Бұл ақырғы тұжырымдаманы қорыту өлшеу, ол алады теріс емес нақты тек мәндер.

Анықтамалар және алғашқы салдары

Берілген жиындар өрісі және а Банах кеңістігі , а ақырлы аддитивті векторлық өлшем (немесе өлшеу, қысқаша) - функция кез келген екіге арналған бөлінбеген жиынтықтар және жылы біреуінде бар

Векторлық өлшем аталады қоспа егер бар болса жүйелі бөлінбеген жиынтықтар олардың бірлестігі осындай оны ұстайды

бірге серия оң жақтағы конвергент норма Банах кеңістігінің

Аддитивті векторлық өлшем екенін дәлелдеуге болады тек кез-келген реттілік үшін ғана қосылатын болады жоғарыдағыдай

қайда бұл норма

Векторлық сандық аддитивті өлшемдер сигма-алгебралар ақырлыға қарағанда жалпы шаралар, ақырлы қол қойылған шаралар, және кешенді шаралар, олар аддитивті функциялар сәйкесінше нақты аралықта мәндерді қабылдау жиынтығы нақты сандар, және жиынтығы күрделі сандар.

Мысалдар

Интервалдан тұратын жиынтықтар өрісін қарастырайық отбасымен бірге бәрінен де Лебегдің өлшенетін жиынтықтары осы аралықта қамтылған. Кез-келген осындай жиынтық үшін , анықтаңыз

қайда болып табылады индикатор функциясы туралы Қай жерге байланысты мән қабылдауға жарияланған, біз екі түрлі нәтиже аламыз.

  • функциясы ретінде қарастырылды дейін Lб-ғарыш векторлық өлшем болып табылады, ол қосымша аддитивті емес.
  • функциясы ретінде қарастырылды дейін Lб-ғарыш сандық-аддитивті векторлық өлшем болып табылады.

Бұл екі тұжырым да жоғарыда келтірілген критерийден (*) оңай шығады.

Векторлық өлшемнің вариациясы

Векторлық өлшем берілген The вариация туралы ретінде анықталады

қайда супремум барлығына қабылданады бөлімдер

туралы барлығына бөлінетін жиынтықтардың ақырғы санына жылы . Мұнда, бұл норма

Вариациясы мәні қабылдайтын ақырғы аддитивті функция Бұл оны ұстайды

кез келген үшін жылы Егер ақырлы, өлшем деп аталады шектелген вариация. Егер дәлелдеуге болады - бұл шектелген вариацияның векторлық өлшемі, онда тек егер болса, ол айтарлықтай аддитивті болады қоспа болып табылады.

Ляпунов теоремасы

Векторлық шаралар теориясында, Ляпунов Теорема диапазоны (атомды емес ) ақырлы өлшемді векторлық өлшем жабық және дөңес.[1][2][3] Шындығында, атомдық емес векторлық өлшемнің диапазоны а зоноидты (-ның конвергентті реттілігінің шегі болатын тұйық және дөңес жиынтығы зонотоптар ).[2] Ол қолданылады экономика,[4][5][6] ішінде («жарылыс-жарылыс» ) басқару теориясы,[1][3][7][8] және статистикалық теория.[8]Көмегімен Ляпунов теоремасы дәлелденді Шапли – Фолкман леммасы,[9] ретінде қарастырылды дискретті аналогтық Ляпунов теоремасы.[8][10][11]

Пайдаланылған әдебиеттер

  1. ^ а б Клуванек, И., Ноулз, Г., Векторлық шаралар және басқару жүйелері, Солтүстік-Голландия математикасын зерттеу20, Амстердам, 1976 ж.
  2. ^ а б Диестел, Джо; Uhl, Джерри Дж., Кіші (1977). Векторлық шаралар. Providence, R.I: Американдық математикалық қоғам. ISBN  0-8218-1515-6.
  3. ^ а б Ролевич, Стефан (1987). Функционалды талдау және басқару теориясы: Сызықтық жүйелер. Математика және оның қолданылуы (Шығыс Еуропа сериясы). 29 (Поляк тілінен аударған Эва Беднарчук ред.). Дордрехт; Варшава: D. Reidel Publishing Co .; PWN - поляктардың ғылыми баспалары. xvi + 524 бет. ISBN  90-277-2186-6. МЫРЗА  0920371. OCLC  13064804.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  4. ^ Робертс, Джон (Шілде 1986). «Ірі экономикалар». Жылы Дэвид М.Крепс; Джон Робертс; Роберт Б. Уилсон (ред.). Үлес Жаңа Палграв (PDF). Ғылыми жұмыс. 892. Пало Алто, Калифорния: Жоғары бизнес мектебі, Стэнфорд университеті. 30-35 бет. (Бірінші басылымға арналған мақала жобасы Жаңа Palgrave экономика сөздігі). Алынған 7 ақпан 2011.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  5. ^ Ауманн, Роберт Дж. (1966 ж. Қаңтар). «Саудагерлердің континуумы ​​бар нарықтардағы бәсекелік тепе-теңдіктің болуы». Эконометрика. 34 (1): 1–17. дои:10.2307/1909854. JSTOR  1909854. МЫРЗА  0191623. Бұл қағаз Aumann екі қағазға негізделген:

    Ауманн, Роберт Дж. (1964 ж. Қаңтар-сәуір). «Саудагерлердің континуумы ​​бар нарықтар». Эконометрика. 32 (1–2): 39–50. дои:10.2307/1913732. JSTOR  1913732. МЫРЗА  0172689.

    Ауманн, Роберт Дж. (Тамыз 1965). «Белгіленген функциялардың интегралдары». Математикалық анализ және қолдану журналы. 12 (1): 1–12. дои:10.1016 / 0022-247X (65) 90049-1. МЫРЗА  0185073.

  6. ^ Винд, Карл (1964 ж. Мамыр). «Көптеген трейдерлермен биржалық экономикадағы Эдгьюорт-бөлулер». Халықаралық экономикалық шолу. 5 (2). 165–77 беттер. JSTOR  2525560.CS1 maint: ref = harv (сілтеме) Виндтің мақаласын атап өтті Дебреу (1991 ж.), б. 4) осы пікірмен:

    Дөңес жиынтық ұғымы (яғни оның кез-келген екі нүктесін қосатын кесіндісі бар жиынтық) 1964 жылға дейін экономикалық теорияның орталығына бірнеше рет қойылған болатын. Ол интеграциялық теорияның зерттелуіне жаңа көзқараспен келді экономикалық бәсекелестік: егер біреу экономиканың барлық агенттерімен ерікті жиынтықта тауар кеңістігінде байланысатын болса егер біреу сол жиынтықтарды орташа есептесе елеусіз агенттер жиынтығынан, онда алынған жиынтық міндетті түрде дөңес болады. [Debreu осы ескертпені қосады: «А.А.Ляпуновтың теоремасының тікелей салдары туралы қараңыз Винд (1964). «] Бірақ бағалардың ... функциялары туралы түсініктемелерді ... демалуға болады сол орта есеппен алынған жиынтықтардың дөңестігі. Дөңес тауар кеңістігінде жинақтау арқылы алынған елеусіз агенттер жиынтығынан экономикалық теорияның интеграция теориясына ... қарыздар екендігі туралы түсінік. [Курсив қосылды]

    Дебрю, Жерар (Наурыз 1991). «Экономикалық теорияның математикалануы». Американдық экономикалық шолу. 81, нөмір 1 (Президенттің Үндеуі Америка экономикалық қауымдастығының 103-ші мәжілісінде, 1990 ж. 29 желтоқсан, Вашингтон, Колумбия округі). 1-7 бет. JSTOR  2006785.

  7. ^ Гермес, Генри; LaSalle, Джозеф П. (1969). Функционалды талдау және уақытты оңтайлы бақылау. Математика ғылымдағы және техникадағы. 56. Нью-Йорк — Лондон: Academic Press. viii + 136. МЫРЗА  0420366.
  8. ^ а б c Артштейн, Зви (1980). «Дискретті және үздіксіз жарылыс және бет кеңістігі, немесе: шеткі нүктелерді іздеңіз». SIAM шолуы. 22 (2). 172–185 бб. дои:10.1137/1022026. JSTOR  2029960. МЫРЗА  0564562.
  9. ^ Тарделла, Фабио (1990). «Ляпунов дөңес теоремасының жаңа дәлелі». SIAM Journal on Control and Optimization. 28 (2). 478-481 бет. дои:10.1137/0328026. МЫРЗА  1040471.
  10. ^ Старр, Росс М. (2008). «Шепли - Фолькман теоремасы». Дурлауфта Стивен Н .; Блум, Лоуренс Э., баспа. (ред.). Жаңа Палграве экономикалық сөздігі (Екінші басылым). Палграв Макмиллан. 317–318 беттер (1-ші басылым). дои:10.1057/9780230226203.1518. ISBN  978-0-333-78676-5.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  11. ^ 210 бет: Мас-Колл, Андрей (1978). «Негізгі эквиваленттік теорема туралы ескерту: қанша блоктау коалициясы бар?». Математикалық экономика журналы. 5 (3). 207–215 бб. дои:10.1016/0304-4068(78)90010-1. МЫРЗА  0514468.

Кітаптар

Сондай-ақ қараңыз