Монте-Карло вариациялық - Variational Monte Carlo

Жылы есептеу физикасы, Монте-Карло вариациялық (VMC) Бұл кванттық Монте-Карло қолданылатын әдіс вариациялық әдіс жуықтау негізгі күй кванттық жүйенің

Негізгі құрылыс материалы жалпы болып табылады толқындық функция ${displaystyle | Psi (a) бұрыш}$ кейбір параметрлерге байланысты ${displaystyle a}$. Параметрлердің оңтайлы мәндері ${displaystyle a}$ содан кейін жүйенің жалпы энергиясын минимизациялау кезінде табылады.

Атап айтқанда, Гамильтониан ${displaystyle {mathcal {H}}}$, және көмегімен белгілейді ${displaystyle X}$ а көп денелі конфигурациясы, күту мәні энергияны келесі түрде жазуға болады:

${displaystyle E (a) = {frac {бұрышы Psi (a) | {mathcal {H}} | Psi (a) бұрыш} {бұрышы Psi (a) | Psi (a) бұрыш}} = {frac {int | Psi (X, a) | ^ {2} {frac {{mathcal {H}} Psi (X, a)} {Psi (X, a)}}, dX} {int | Psi (X, a) | ^ {2}, dX}}.}$

Келесі Монте-Карло әдісі бағалау үшін интегралдар, біз түсіндіре аламыз ${displaystyle {frac {| Psi (X, a) | ^ {2}} {int | Psi (X, a) | ^ {2}, dX}}}$ сияқты ықтималдықтың таралуы функциясы, оны таңдау және энергияның күту мәнін бағалау ${displaystyle E (a)}$ жергілікті энергия деп аталатын орташа ретінде ${displaystyle E_ {extrm {loc}} (X) = {frac {{mathcal {H}} Psi (X, a)} {Psi (X, a)}}}$. Бір рет ${displaystyle E (a)}$ берілген вариациялық параметрлер жиынтығымен белгілі ${displaystyle a}$, содан кейін оңтайландыру энергияны минимизациялау және негізгі күйдегі толқындық функцияның ең жақсы көрінісін алу мақсатында орындалады.

VMC басқа вариациялық әдістерден еш айырмашылығы жоқ, тек көп өлшемді интегралдар сандық бағаланады. Монте-Карлоның интеграциясы бұл мәселеде өте маңызды, өйткені көп денелі Гильберт кеңістігінің өлшемі конфигурацияның барлық мүмкін мәндерін қамтиды ${displaystyle X}$, әдетте физикалық жүйенің көлемімен экспоненциалды түрде өседі. Энергия күту мәндерін сандық бағалауға арналған басқа тәсілдер, демек, Монте-Карло тәсілінің арқасында талданылатыннан гөрі әлдеқайда кіші жүйелерге қосымшаларды шектейді.

Әдістің дәлдігі көп жағдайда вариациялық күйді таңдауға байланысты. Қарапайым таңдау әдетте a сәйкес келеді орташа өріс нысаны, мұндағы мемлекет ${displaystyle Psi}$ Гильберт кеңістігінің факторизациясы ретінде жазылған. Бұл өте қарапайым форма, әдетте, өте дәл емес, өйткені дененің көптеген әсерлерін ескермейді. Толқындық функцияны бөлек жазудың дәлдігі бойынша ең үлкен жетістіктердің бірі Джастроу факторы деп аталады. Бұл жағдайда толқындық функция келесідей жазылады ${displaystyle Psi (X) = exp (sum {u (r_ {ij})})}$, қайда ${displaystyle r_ {ij}}$ - бұл жұп кванттық бөлшектер арасындағы қашықтық және ${displaystyle u (r)}$ анықталатын вариациялық функция болып табылады. Бұл фактор арқылы біз бөлшектер мен бөлшектердің корреляциясын анықтай аламыз, бірақ көп денелі интеграл ажырамас болып қалады, сондықтан Монте-Карло оны тиімді бағалаудың жалғыз әдісі болып табылады. Химиялық жүйелерде осы фактордың сәл күрделі нұсқалары корреляциялық энергияның 80-90% -ын ала алады (қараңыз) электронды корреляция ) 30 параметрден аз. Салыстырмалы түрде, конфигурацияның өзара әрекеттесуін есептеу дәлдікке жету үшін шамамен 50 000 параметрді талап етуі мүмкін, дегенмен бұл қарастырылатын нақты жағдайға өте тәуелді. Сонымен қатар, VMC әдетте модельдеудегі бөлшектер санының аз қуаты ретінде өлшенеді, әдетте оған ұқсас N²⁻⁴ толқындық функцияның формасына байланысты энергияны күту мәнін есептеу үшін.

VMC-де толқындық функцияны оңтайландыру

QMC есептеулері шешуші функцияның сапасына байланысты, сондықтан оңтайландырылған толқындық функцияның негізгі күйіне мүмкіндігінше жақын болуы өте маңызды. Функция мәселесі оңтайландыру - сандық модельдеудегі өте маңызды зерттеу тақырыбы. QMC-де көп өлшемді параметрлік функцияның минимумын табу үшін әдеттегі қиындықтардан басқа, статистикалық шу тиімді функцияны оңтайландыру үшін шығындар функциясын (әдетте энергияны) және оның туындыларын бағалауда болады.

Көптеген денелік сынақ функциясын оңтайландыру үшін әртүрлі шығындар функциялары мен әртүрлі стратегиялар қолданылды. Әдетте QMC энергиясын, дисперсиясын немесе олардың сызықтық комбинациясын оңтайландыру кезінде шығындардың үш функциясы пайдаланылды. Дисперсияны оңтайландыру әдісінің артықшылығы бар, бұл дәл толқындық функцияның дисперсиясы белгілі. (Дәл толқындық функция Гамильтонияның өзіндік функциясы болғандықтан, жергілікті энергияның дисперсиясы нөлге тең). Демек, дисперсияны оңтайландыру өте жақсы, өйткені ол төменде шектелген, ол оң анықталған және оның минимумы белгілі. Энергияны минимизациялау, сайып келгенде, әлдеқайда тиімді бола алады, өйткені жақында әртүрлі авторлар энергияны оңтайландыру дисперсияға қарағанда тиімдірек екенін көрсетті.

Бұл үшін әртүрлі уәждемелер бар: біріншіден, әрине, Монте-Карлода вариациялық және диффузиялық вариацияның ең төменгі дисперсиясына емес, ең төменгі энергияға қызығушылық танытады; екіншіден, дисперсияны оңтайландыру детерминант параметрлерін оңтайландыру үшін көптеген қайталауларды қажет етеді және көбінесе оңтайландыру бірнеше локалды минимумға кептеліп қалуы мүмкін және ол «жалған конвергенция» проблемасына тап болады; үшінші энергияны минимизацияланған толқындық функциялар орташа дисконтталған минимизацияланған толқындық функцияларға қарағанда басқа күту мәндерінің дәл мәндерін орташа өнімділікке әкеледі.

Оңтайландыру стратегияларын үш санатқа бөлуге болады. Бірінші стратегия детерминирленген оңтайландыру әдістерімен бірге корреляцияланған іріктеуге негізделген. Егер бұл идея бірінші қатардағы атомдар үшін өте дәл нәтиже берген болса да, егер параметрлер түйіндерге әсер етсе, процедура қиындық тудыруы мүмкін, сонымен қатар ағымдағы және бастапқы сынақ функциясының тығыздығы жүйенің өлшеміне сәйкес геометриялық өседі. Екінші стратегияда шығын функциясы мен оның туындыларын шуды елемеуге болатын және детерминистік әдістерді қолданатын етіп бағалау үшін үлкен қоқыс жәшігін қолданыңыз.

Үшінші тәсіл шу функцияларымен тікелей жұмыс істеуге арналған итеративті әдістемеге негізделген. Бұл әдістердің бірінші мысалы - стохастикалық градиенттің жуықтауы (SGA), ол құрылымды оңтайландыру үшін де қолданылған. Жақында осы түрдегі жетілдірілген және жылдам тәсіл Стохастикалық қайта конфигурация (SR) әдісі деп ұсынылды.

Сондай-ақ қараңыз

• Монте-Карло уақытына тәуелді вариациялық : динамикасын зерттеуге арналған Монте-Карлоның вариациялық кеңеюі таза кванттық күйлер.

Әдебиеттер тізімі

• McMillan, W. L. (19 сәуір 1965). «Ол сұйық күйде⁴". Физикалық шолу. Американдық физикалық қоғам (APS). 138 (2A): A442 – A451. Бибкод:1965PhRv..138..442M. дои:10.1103 / physrev.138.a442. ISSN  0031-899X.
• Джеперли, Д .; Честер, Г.В .; Kalos, M. H. (1 қыркүйек 1977). «Монте-Карлода көптеген фермионды зерттеуді модельдеу». Физикалық шолу B. Американдық физикалық қоғам (APS). 16 (7): 3081–3099. Бибкод:1977PhRvB..16.3081C. дои:10.1103 / physrevb.16.3081. ISSN  0556-2805.
• VMC-де толқындық функцияны оңтайландыру
  • Снайдр, Мартин; Ротштейн, Стюарт М. (15 наурыз 2000). «Дисперсиялық-оптимизацияланған толқындық функциялардан алынған қасиеттер, әдетте, дәлірек пе? Монте-Карло H-нің энергияға байланысты емес қасиеттерін зерттеу₂, Ол және LiH ». Химиялық физика журналы. AIP Publishing. 112 (11): 4935–4941. Бибкод:2000JChPh.112.4935S. дои:10.1063/1.481047. ISSN  0021-9606.
  • Брессанини, Дарио; Мороси, Габриеле; Мелла, Массимо (2002). «Монте-Карло кванттық әдістеріндегі толқындық функцияны оңтайландыру процедуралары». Химиялық физика журналы. AIP Publishing. 116 (13): 5345–5350. arXiv:физика / 0110003. Бибкод:2002JChPh.116.5345B. дои:10.1063/1.1455618. ISSN  0021-9606. S2CID  34980080.
  • Умригар, Дж .; Уилсон, К.Г .; Уилкинс, Дж. В. (25 сәуір 1988). «Монте-Карло кванттық есептеулеріне арналған оңтайландырылған сынақ толқынының функциялары». Физикалық шолу хаттары. Американдық физикалық қоғам (APS). 60 (17): 1719–1722. Бибкод:1988PhRvL..60.1719U. дои:10.1103 / physrevlett.60.1719. ISSN  0031-9007. PMID  10038122.
  • Кент, П.Р .; Қажет, Р. Дж .; Раджагопал, Г. (15 мамыр 1999). «Көп денелі толқындық функцияларды оңтайландыруға арналған Монте-Карло энергиясы және дисперсия-минимизация әдістері». Физикалық шолу B. Американдық физикалық қоғам (APS). 59 (19): 12344–12351. arXiv:cond-mat / 9902300. Бибкод:1999PhRvB..5912344K. дои:10.1103 / physrevb.59.12344. ISSN  0163-1829. S2CID  119427778.
  • Линь, Си; Чжан, Гонкай; Рэпп, Эндрю М. (8 ақпан 2000). «Монте-Карло кванттық толқындық функцияларын аналитикалық энергия туындыларын қолдану арқылы оңтайландыру». Химиялық физика журналы. AIP Publishing. 112 (6): 2650–2654. arXiv:физика / 9911005. Бибкод:2000JChPh.112.2650L. дои:10.1063/1.480839. ISSN  0021-9606. S2CID  17114142.
  • Харжу, А .; Барбеллини, Б .; Сильямяки, С .; Ниминен, Р.М .; Ортис, Г. (18 тамыз 1997). «Градиенттің стохастикалық жуықтауы: көп денелі толқындық функцияларды оңтайландырудың тиімді әдісі». Физикалық шолу хаттары. Американдық физикалық қоғам (APS). 79 (7): 1173–1177. Бибкод:1997PhRvL..79.1173H. дои:10.1103 / physrevlett.79.1173. ISSN  0031-9007.
  • Танака, Шигенори (15 мамыр 1994). «Монте-Карлодағы вариациялық кванттағы құрылымдық оңтайландыру». Химиялық физика журналы. AIP Publishing. 100 (10): 7416–7420. Бибкод:1994JChPh.100.7416T. дои:10.1063/1.466885. ISSN  0021-9606.
  • Касула, Мишель; Аттакалит, Клаудио; Сорелла, Сандро (2004 ж., 15 қазан). «Молекулалар үшін корреляциялық геминальды толқындық функция: валенттік байланыстың тиімді резонанстық тәсілі». Химиялық физика журналы. 121 (15): 7110–7126. arXiv:cond-mat / 0409644. Бибкод:2004JChPh.121.7110C. дои:10.1063/1.1794632. ISSN  0021-9606. PMID  15473777. S2CID  43446194.
  • Драммонд, Д .; Қажет, R. J. (18 тамыз 2005). «Джастроу факторларын оңтайландырудың вариация-минимизация схемасы» (PDF). Физикалық шолу B. Американдық физикалық қоғам (APS). 72 (8): 085124. arXiv:физика / 0505072. Бибкод:2005PhRvB..72h5124D. дои:10.1103 / physrevb.72.085124. ISSN  1098-0121. S2CID  15821314.