Темперли –Либ алгебрасы - Temperley–Lieb algebra

Жылы статистикалық механика, Темперли –Либ алгебрасы - бұл белгілі бір алгебра матрицаларды беру, ойлап тапқан Невилл Темперли және Эллиотт Либ. Бұл сондай-ақ байланысты интеграцияланатын модельдер, түйіндер теориясы және өру тобы, кванттық топтар және субфакторлар туралы фон Нейман алгебралары.

Анықтама

Келіңіздер ${ displaystyle R}$ болуы а ауыстырғыш сақина және түзету ${ displaystyle delta in R}$. Темперли-Либ алгебрасы ${ displaystyle TL_ {n} ( delta)}$ болып табылады ${ displaystyle R}$-алгебра элементтері тудырады ${ displaystyle U_ {1}, U_ {2}, ldots, U_ {n-1}}$, Джонс қатынастарына байланысты:

• ${ displaystyle U_ {i} ^ {2} = delta U_ {i}}$ барлығына ${ displaystyle 1 leq i leq n-1}$
• ${ displaystyle U_ {i} U_ {i + 1} U_ {i} = U_ {i}}$ барлығына ${ displaystyle 1 leq i leq n-2}$
• ${ displaystyle U_ {i} U_ {i-1} U_ {i} = U_ {i}}$ барлығына ${ displaystyle 2 leq i leq n-1}$
• ${ displaystyle U_ {i} U_ {j} = U_ {j} U_ {i}}$ барлығына ${ displaystyle 1 leq i, j leq n-1}$ осындай ${ displaystyle | i-j | мән 1)$

${ displaystyle TL_ {n} ( delta)}$ тіктөртбұрыштағы қиылыспайтын жұптастырулардағы векторлық кеңістік ретінде диаграмма түрінде ұсынылуы мүмкін n екі қарама-қарсы жақта орналасқан. Бес негізгі элементтері ${ displaystyle TL_ {3} ( delta)}$ мыналар:

.

Негіз элементтері бойынша көбейтуді екі тіктөртбұрышты қатар қойып, кез келген тұйық циклды коэффициентпен ауыстыру арқылы жүзеге асыруға болады. ${ displaystyle delta}$, Мысалға:

× = = ${ displaystyle delta}$ .

Сәйкестендіру элементі - бұл әр нүкте одан тікбұрыштың бойымен және генератормен байланысқан диаграмма ${ displaystyle U_ {i}}$ диаграммасы, онда ${ displaystyle i}$-шы нүкте ${ displaystyle (i + 1)}$- үшінші тармақ ${ displaystyle (2n-i + 1)}$-шы нүкте ${ displaystyle (2n-i)}$-шы нүкте, ал қалған нүктелер тіктөртбұрыштың бойындағы нүктеге тікелей байланысты. Генераторлары ${ displaystyle TL_ {5} ( delta)}$ мыналар:

Солдан оңға қарай, блок 1 және генераторлар U₁, U₂, U₃, U₄.

Джонс қатынастарын графикалық түрде көруге болады:

= ${ displaystyle delta}$

=

=

Темперли - Либ Гамильтон

Беттестіру формасын қарастырайық, мысалы. шаршы торлы модель және рұқсат етіңіз ${ displaystyle L}$ тордағы сайттардың саны болуы. Темперли мен Либтің артынан^[1] біз Темперли-Либті анықтаймыз Гамильтониан (TL Hamiltonian) ретінде

${ displaystyle { mathcal {H}} = sum _ {j = 1} ^ {L-1} ( delta -U_ {j})}$

Қолданбалар

Осыдан кейін біз ерекше жағдайды қарастырамыз ${ displaystyle delta = 1}$.

Біз алдымен істі қарастырамыз ${ displaystyle L = 3}$. Гамильтондық TL ${ displaystyle { mathcal {H}} = 2-e_ {1} -e_ {2}}$, атап айтқанда

${ displaystyle { mathcal {H}}}$ = 2 - - .

Біздің екі мүмкін мемлекетіміз бар,

және .

Әрекет ету кезінде ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ осы күйлерде біз табамыз

${ displaystyle { mathcal {H}}}$ = 2 - - = - ,

және

${ displaystyle { mathcal {H}}}$ = 2 - - = - + .

Жазу ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ матрица ретінде мүмкін күйлер негізінде,

${ displaystyle { mathcal {H}} = left ({ begin {array} {rr} 1 & -1 - 1 & 1 end {array}} right)}$

Жеке векторы ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ бірге ең төменгі өзіндік құндылық ретінде белгілі негізгі күй. Бұл жағдайда ең төменгі меншікті мән ${ displaystyle lambda _ {0}}$ үшін ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ болып табылады ${ displaystyle lambda _ {0} = 0}$. Сәйкес меншікті вектор болып табылады ${ displaystyle psi _ {0} = (1,1)}$. Сайттардың саны әр түрлі болғандықтан ${ displaystyle L}$ біз келесі кестені табамыз^[2]

${ displaystyle L}$	${ displaystyle psi _ {0}}$	${ displaystyle L}$	${ displaystyle psi _ {0}}$
2	(1)	3	(1, 1)
4	(2, 1)	5	${ displaystyle (3_ {3}, 1_ {2})}$
6	${ displaystyle (11,5_ {2}, 4,1)}$	7	${ displaystyle (26_ {4}, 10_ {2}, 9_ {2}, 8_ {2}, 5_ {2}, 1_ {2})}$
8	${ displaystyle (170,75_ {2}, 71,56_ {2}, 50,30,14_ {4}, 6,1)}$	9	${ displaystyle (646, ldots)}$
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$

біз онда белгіні қолдандық ${ displaystyle m_ {n} = (m, ldots, m)}$ ${ displaystyle n}$- мысалы, ${ displaystyle 5_ {2} = (5,5)}$.

Комбинаторлық қасиеттер

Қызықты байқау мынада: негізгі күйдің ең үлкен компоненттері ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ біз сайттардың санын өзгерткендіктен, комбинаторлық санақ бар,^[3] бірінші байқағандай Мюррей Батчелор, Ян де Гьер және Бернард Ниенхуис.^[2] Ресурстарын пайдалану тұтас тізбектің онлайн-энциклопедиясы, Батхелор т.б. сайттардың жұп сандары үшін табылды

${ displaystyle 1,2,11,170, ldots = prod _ {j = 0} ^ {n-1} left (3j + 1 right) { frac {(2j)! (6j)!} {( 4j)! (4j + 1)!}}}$

және сайттардың тақ сандарына арналған

${ displaystyle 1,3,26,646, ldots = prod _ {j = 0} ^ {n-1} (3j + 2) { frac {(2j + 2)! (6j + 3)!} {( 4j + 2)! (4j + 3)!}}.}$

Таңқаларлықтай, бұл дәйектілік белгілі комбинаторлық объектілерге сәйкес келді. Үшін ${ displaystyle L}$ тіпті, бұл (дәйектілік A051255 ішінде OEIS ) циклдік симметриялық транспоздық комплемент жазықтық бөлімдеріне сәйкес келеді ${ displaystyle L}$ тақ, (реттілік A005156 ішінде OEIS ), олар сәйкес келеді ${ displaystyle (2n + 1) times (2n + 1)}$ ауыспалы белгі матрицалары тік оське қатысты симметриялы.

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

• Кауфман, Луис Х. (1987). «Мемлекеттік модельдер және Джонс полиномы». Топология. 26 (3): 395–407. дои:10.1016/0040-9383(87)90009-7. МЫРЗА  0899057.
• Бакстер, Родни Дж. (1982). Статистикалық механикадағы нақты шешілген модельдер. Лондон: Academic Press Inc. ISBN  0-12-083180-5. МЫРЗА  0690578.