Симплектикалық қосынды - Symplectic sum

Жылы математика, атап айтқанда симплектикалық геометрия, симплектикалық қосынды геометриялық модификация болып табылады симплектикалық коллекторлар, ол берілген екі коллекторды жаңасына жабыстырады. Бұл симплектикалық нұсқа байланысты жиынтық көбінесе талшық қосындысы деп аталатын субманифольд бойымен.

Симплектикалық қосындының кері мәні болады симплектикалық кесу, ол берілген коллекторды екі бөлікке бөледі. Симплектикалық қосынды мен кесінді бірге симплектикалық коллекторлардың деформациясы ретінде қарастырылуы мүмкін, мысалы, қалыпты конустың деформациясы жылы алгебралық геометрия.

Симплектикалық қосынды симплектикалық коллекторлардың бұрын белгісіз отбасыларын құру және олардың арасындағы қатынастарды құру үшін қолданылды Громов –Виттен келген инварианттар симплектикалық коллекторлар.

Анықтама

Келіңіздер ${displaystyle M_ {1}}$ және ${displaystyle M_ {2}}$ екі симплектикалық бол ${displaystyle 2n}$- көп қабаттар және ${displaystyle V}$ симплектикалық ${displaystyle (2n-2)}$-қолайлы, екеуіне де субманифольд ретінде салынған ${displaystyle M_ {1}}$ және ${displaystyle M_ {2}}$ арқылы

${displaystyle j_ {i}: Vhookrightarrow M_ {i},}$

сияқты Эйлер сабақтары туралы қалыпты байламдар қарама-қарсы:

${displaystyle e (N_ {M_ {1}} V) = - e (N_ {M_ {2}} V).}$

Симплектикалық соманы анықтаған 1995 мақаласында, Роберт Гомпф кез келген үшін дәлелдеді бағдар - кері изоморфизм

${displaystyle psi: N_ {M_ {1}} V o N_ {M_ {2}} V}$

канондық бар изотопия қосылған қосындыдағы симплектикалық құрылымдар сыныбы

${displaystyle (M_ {1}, V) # (M_ {2}, V)}$

шақыру қағаздарымен үйлесімділіктің бірнеше шарттарын орындау ${displaystyle M_ {i}}$. Басқаша айтқанда, теорема а анықтайды симплектикалық қосынды изотопияға дейінгі бірегей симплектикалық коллекторлы операция.

Жақсы анықталған симплектикалық құрылымды құру үшін байланысты соманы әр түрлі сәйкестендіру таңдауына ерекше назар аудару керек. Еркін түрде, изоморфизм ${displaystyle psi}$ қалыпты дестелердің бағдар-реверсивті симплектикалық инволюциясынан тұрады ${displaystyle V}$ (дәлірек айтқанда, олардың сәйкесінше пункцияланған блок дискілерінің бумалары); онда бұл композиция үйреніп қалған желім ${displaystyle M_ {1}}$ дейін ${displaystyle M_ {2}}$ дана бойынша ${displaystyle V}$.

Жалпылау

Жалпы жалпылама түрде симплектикалық қосынды бір симплектикалық коллекторда орындалуы мүмкін ${displaystyle M}$ құрамында екі бөлінген көшірме бар ${displaystyle V}$, екі дананың бойында коллекторды өзіне жабыстыру. Екі коллектордың қосындысының алдыңғы сипаттамасы онда ерекше жағдайға сәйкес келеді ${displaystyle X}$ көшірмесін қамтитын екі қосылған компоненттерден тұрады ${displaystyle V}$.

Сонымен қатар, қосынды субманифольдтерде бір уақытта орындауға болады ${displaystyle X_ {i} қосалқы M_ {i}}$ бірдей өлшем мен кездесу ${displaystyle V}$ көлденеңінен.

Басқа жалпыламалар да бар. Деген талапты алып тастау мүмкін емес ${displaystyle V}$ кодексте екі болуы керек ${displaystyle M_ {i}}$, келесі дәлел көрсеткендей.

Кодименцияның субманифольдi бойындағы симплектикалық қосынды ${displaystyle 2k}$ а симплектикалық инволюциясын қажет етеді ${displaystyle 2k}$-өлшемдік сақина. Егер бұл инволюция болса, оны екеуін жамау үшін қолдануға болады ${displaystyle 2k}$-өлшемді шарлар бірігіп, симплектика құрайды ${displaystyle 2k}$-өлшемді сфера. Себебі сфера ықшам көпқырлы, симплектикалық форма ${displaystyle omega}$ онда нөлдік емес индукция тудырады когомология сынып

${displaystyle [omega] in H ^ {2} (mathbb {S} ^ {2k}, mathbb {R}).}$

Бірақ бұл екінші когомологиялық топ нөлге тең, егер болмаса ${displaystyle 2k = 2}$. Демек, симплектикалық қосынды тек екі код өлшемінің субманифелі бойынша мүмкін болады.

Сәйкестендіру элементі

Берілген ${displaystyle M}$ кодименциясы бар-екі симплектикалық субманифольд ${displaystyle V}$, қалыпты буманы проективті түрде аяқтауға болады ${displaystyle V}$ жылы ${displaystyle M}$ дейін ${displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$-бума

${displaystyle P: = mathbb {P} (N_ {M} Voplus mathbb {C}).}$

Бұл ${displaystyle P}$ -ның екі канондық көшірмесі бар ${displaystyle V}$: нөлдік бөлім ${displaystyle V_ {0}}$, ол қалыпты дестеге тең ${displaystyle V}$ жылы ${displaystyle M}$, және шексіздік бөлімі ${displaystyle V_ {infty}}$, қарама-қарсы қалыпты байламы бар. Демек, біреудің көңілін қосуға болады ${displaystyle (M, V)}$ бірге ${displaystyle (P, V_ {ақылды})}$; нәтиже қайтадан ${displaystyle M}$, бірге ${displaystyle V_ {0}}$ қазір рөлін ойнайды ${displaystyle V}$:

${displaystyle (M, V) = ((M, V) # (P, V_ {infty}), V_ {0}).}$

Сондықтан кез-келген нақты жұп үшін ${displaystyle (M, V)}$ бар an сәйкестендіру элементі ${displaystyle P}$ симплектикалық сома үшін. Мұндай сәйкестілік элементтері теорияны құру кезінде де, есептеу кезінде де қолданылды; төменде қараңыз.

Симплектикалық қосынды және деформация ретінде кесінді

Кейде симплектикалық соманы коллекторлық жанұя ретінде қарастырған тиімді. Осы шеңберде келтірілген деректер ${displaystyle M_ {1}}$, ${displaystyle M_ {2}}$, ${displaystyle V}$, ${displaystyle j_ {1}}$, ${displaystyle j_ {2}}$, ${displaystyle psi}$ бірегей тегістікті анықтаңыз ${displaystyle (2n + 2)}$-өлшемді симплектикалық коллектор ${displaystyle Z}$ және а фибрация

${displaystyle Z o Dsubseteq mathbb {C}}$

онда орталық талшық сингулярлық кеңістік болып табылады

${displaystyle Z_ {0} = M_ {1} кубок _ {V} M_ {2}}$

шақыруға қосылу арқылы алынған ${displaystyle M_ {i}}$ бойымен ${displaystyle V}$және жалпы талшық ${displaystyle Z_ {epsilon}}$ симплектикалық қосындысы болып табылады ${displaystyle M_ {i}}$. (Яғни, жалпы талшықтар - бұл симплектикалық қосындының бірегей изотопия класының мүшелері.)

Еркін түрде біреу бұл отбасын келесі түрде салады. Нонизаторлы голоморфты бөлімді таңдаңыз ${displaystyle eta}$ тривиальды күрделі сызық байламы

${displaystyle N_ {M_ {1}} Votimes _ {mathbb {C}} N_ {M_ {2}} V.}$

Содан кейін, тікелей қосындыда

${displaystyle N_ {M_ {1}} Voplus N_ {M_ {2}} V,}$

бірге ${displaystyle v_ {i}}$ үшін қалыпты векторды ұсынады ${displaystyle V}$ жылы ${displaystyle M_ {i}}$, квадрат теңдеудің орналасуын қарастырайық

${displaystyle v_ {1} otimes v_ {2} = эпсилон және т.б.}$

таңдалған кішкентай үшін ${displaystyle epsilon in mathbb {C}}$. Екеуін де жапсыруға болады ${displaystyle M_ {i} setminus V}$ (шақыру арқылы ${displaystyle V}$ жойылды) осы локусқа; нәтижесі - симплектикалық қосынды ${displaystyle Z_ {epsilon}}$.

Қалай ${displaystyle epsilon}$ сомасы өзгереді ${displaystyle Z_ {epsilon}}$ табиғи түрде отбасын құрайды ${displaystyle Z o D}$ жоғарыда сипатталған. Орталық талшық ${displaystyle Z_ {0}}$ жалпы талшықтың симплектикалық кесіндісі болып табылады. Сонымен симплектикалық қосынды мен кесінді симплектикалық коллекторлардың квадраттық деформациясы ретінде қарастыруға болады.

Маңызды мысал жиынтықтардың бірі сәйкестендіру элементі болған кезде пайда болады ${displaystyle P}$. Ол үшін жалпы талшық - бұл симплектикалық коллектор ${displaystyle M}$ және орталық талшық болып табылады ${displaystyle M}$ қалыпты байламымен ${displaystyle V}$ қалыптастыру үшін «шексіздікпен қысылған» ${displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$-бума ${displaystyle P}$. Бұл тегіс бойымен қалыпты конустың деформациясына ұқсас бөлгіш ${displaystyle V}$ алгебралық геометрияда. Шындығында, Громов-Виттен теориясының симплектикалық емінде симплектикалық қосынды / кесінді көбінесе «мақсатты қалпына келтіру» аргументтері қолданылады, ал алгебро-геометриялық процедуралар осы дәлелдеулер үшін қалыпты конусқа дейін деформацияны қолданады.

Алайда, симплектикалық қосынды жалпы күрделі операция емес. Екідің қосындысы Kähler коллекторлары Кәйлер болудың қажеті жоқ.

Тарих және қосымшалар

Симплектикалық соманы алғаш рет 1995 жылы Роберт Гомпф нақты анықтаған. Ол мұны кез келген екенін көрсету үшін қолданды түпкілікті ұсынылған топ ретінде пайда болады іргелі топ симплектикалық төртөлшемді. Осылайша санат Симплектикалық коллекторлар Кэллер коллекторларына қарағанда едәуір үлкен екені көрсетілген.

Сол уақытта Евгений Лерман симплектикалық кесуді симплектикалық үрлеуді жалпылау ретінде ұсынды және оны зерттеу үшін пайдаланды симплектикалық баға және симплектикалық коллекторлардағы басқа операциялар.

Кейіннен бірқатар зерттеушілер мінез-құлқын зерттеді псевдоголоморфты қисықтар Громов-Виттен инварианттарына арналған симплектикалық қосынды формуласының әртүрлі нұсқаларын дәлелдейтін симплектикалық қосындылар астында Мұндай формула есептеулерге берілген коллекторды қарапайым бөлшектерге бөлуге мүмкіндік бере отырып есептеуге көмектеседі, олардың Громов-Виттен инварианттарын есептеу оңай болуы керек. Тағы бір тәсіл - сәйкестендіру элементін қолдану ${displaystyle P}$ жазуға арналған ${displaystyle M}$ симплектикалық қосынды ретінде

${displaystyle (M, V) = (M, V) # (P, V_ {infty}).}$

Симплектикалық қосындының Громов-Виттен инварианттарының формуласы содан кейін Громов-Виттен инварианттарының рекурсивті формуласын береді. ${displaystyle M}$.

Әдебиеттер тізімі

• Роберт Гомпф: Симплектикалық коллекторлардың жаңа құрылысы, Математика жылнамалары 142 (1995), 527-595
• Дюса МакДафф пен Диетмар Саламон: Симплектикалық топологияға кіріспе (1998) Оксфордтың математикалық монографиялары, ISBN  0-19-850451-9
• Дюса МакДафф пен Диетмар Саламон: J-холоморфтық қисықтар және симплектикалық топология (2004) американдық математикалық қоғамның коллоквиум басылымдары, ISBN  0-8218-3485-1