Суперфункция - Superfunction

Математикада, суперфункция үшін стандартты емес атау қайталанатын функция кешенді үздіксіз қайталану индексі үшін. Шамамен, кейбір функциялар үшін f және кейбір айнымалы үшін х, функцияны өрнек арқылы анықтауға болады

Содан кейін, S (z; x) функцияның суперфункциясы ретінде түсіндіруге болады f (x).Мұндай анықтама тек оң бүтін индекс үшін жарамды з. Айнымалы х жиі алынып тасталады. Көптеген функциялардың көптеген зерттеулері мен қосымшалары әртүрлі осы суперфункциялардың күрделі және үздіксіз индекстерге дейін кеңеюі; және бар болуын, бірегейлігін талдау және оларды бағалау. The Ackermann функциялары және тетрация суперфункциялар тұрғысынан түсіндіруге болады.

Тарих

Функциялардың талдауы функциялардың бөлшектік қайталануын бағалауды қолдану нәтижесінде пайда болды. Суперфункциялар және олардың инверсиялары функцияның бірінші теріс күшін (кері функция) ғана емес, сонымен қатар осы функцияның кез-келген нақты және тіпті күрделі қайталануын бағалауға мүмкіндік береді. Тарихи тұрғыдан алғанда, осы түрдегі алғашқы функция қарастырылған ; функциясы кейін физика кафедрасының логотипі ретінде қолданылған Мәскеу мемлекеттік университеті.[1]

Сол кезде бұл тергеушілерде мұндай функцияларды емес, функцияны бағалау үшін есептеу мүмкіндігі болған қарағанда сәтті болды : ең болмағанда голоморфтық функция осындай 1950 жылы көрсетілген болатын Hellmuth Kneser.[2]

Туралы талғампаздық функционалды конъюгация теориясына сүйене отырып Шредер теңдеуі,[3] оның дәлелі үшін Кнесер экспоненциалды картаның сәйкесінше «суперфункциясын» құрды Абель функциясы , байланысты байланысты Абель теңдеуі

сондай-ақ . Кнесердің кері функциясы табылды,

болып табылады толығымен нақты осьте нақты болмаса да, супер-экспоненциалды; оны түсіндіруге болмайды тетрациялық, себебі жағдай бүкіл супер-экспоненциал бойынша жүзеге асырыла алмайды. The нақты көмегімен жасалуы мүмкін тетрациялық (бұл сондай-ақ сверхппоненциалды болып табылады); ал шынайы көмегімен жасалуы мүмкін суперфакторлы.

Кеңейтімдер

Жоғарыдағы преамбуланың қайталану формуласын былай жазуға болады

Соңғы теңдеудің орнына сәйкестендіру функциясын жазуға болады,

және суперфункцияны анықтау ауқымын кеңейту S теріс емес бүтін сандарға. Содан кейін, біреуі мүмкін

және жарамдылық ауқымын −2-ден үлкен бүтін мәндерге дейін кеңейтіңіз.

Келесі кеңейтім, мысалы,

тривиальды емес, өйткені кейбір функциялары үшін кері функция анықталмауы мүмкін .Соның ішінде, тетрация нақты негіз үшін экспоненциалдың суперфункциясы ретінде түсіндірілуі мүмкін ; Бұл жағдайда,

Содан кейін, сағ х=1,

бірақ

анықталмаған.

Аргументтің бүтін емес мәндеріне кеңейту үшін суперфункцияны басқаша анықтау керек.

Күрделі сандар үшін және , осылай байланысты доменге жатады , суперфункция (бастап дейін ) а голоморфтық функция f доменде жұмыс істемейді , голоморфты доменде , осылай

Бірегейлік

Жалпы, суперфункция бірегей емес, берілген базалық функция үшін , берілгеннен суперфункция , басқа суперфункция ретінде салынуы мүмкін

қайда - бұл кез-келген 1-периодты функция, кем дегенде нақты осьтің маңында голоморфты .

Модификацияланған суперфункцияның тар ауқымы голоморфияға ие болуы мүмкін. Мүмкін болатын суперфункциялардың әртүрлілігі, әсіресе, голоморфия диапазонының ені нөлге тең болған кезде, үлкен болады; бұл жағдайда нақты аналитикалық суперфункциялар қарастырылады.[4]

Егер талап етілетін холоморфия ауқымы жеткілікті үлкен болса, онда суперфункция, ең болмағанда, кейбір базалық функцияларда ерекше болады деп күтілуде . Атап айтқанда, суперфункциясы, үшін , аталады тетрация және, кем дегенде, бірегей деп санайды; іс үшін ,[5]бірақ 2009 жылға дейін бірегейлік көбірек болды болжам формальды математикалық дәлелі бар теоремаға қарағанда.

Мысалдар

Бұл қарапайым қарапайым суперфункциялар жиынтығы суретте көрсетілген.[6] Кейбір суперфункцияларды элементар функциялар арқылы көрсетуге болады; олар суперфункциялар екендігі туралы айтпай-ақ қолданылады, мысалы, «++» беру функциясы үшін, бірліктің өсуін білдіреді, суперфункция тек тұрақтының қосындысы болып табылады.

Қосу

A таңдаңыз күрделі сан функциясын анықтаңыз сияқты . Әрі қарай функцияны анықтаңыз сияқты.

Содан кейін, функция бұл суперфункция (0-ден c) функциясы қосулы C.

Көбейту

Көрсеткіш суперфункция (1-ден бастап ) функциясы .

Квадрат көпмүшелер

Мысалдар, бірақ соңғысы, негізінен, Шредердің 1870 жылғы ізашарлық мақаласынан алынған.[3]

Келіңіздер .Сосын,

Бұл суперфункциясы (қайталану орбитасы) f.

Әрине,

және

Бұл жағдайда суперфункция периодты, периодтыжәне суперфункция нақты осьтің теріс бағытындағы бірлікке жақындайды,

Алгебралық функция

Сол сияқты,

итерациялық орбитаға ие

Рационалды функция

Тұтастай алғанда, беру (қадам) функциясы f (x) қажет емес бүкіл функция. А қатысатын мысал мероморфты функция f оқиды,

;

Оның қайталану орбитасы (суперфункция) мынада

қосулы C, функцияның ерекшеліктерін қоспағанда, күрделі сандар жиыны S.Мұны көру үшін қос бұрышты тригонометриялық формуланы еске түсіріңіз

Көрсеткіш

Келіңіздер,,мәтіндері тетрация содан кейін а суперфункциясы .

Абель функциясы

Сәйкес аргумент үшін суперфункцияға кері х деп түсіндіруге болады Абель функциясы, шешімі Абель теңдеуі,

және демек

Анықталған кезде кері функция, болып табылады

олар болған кезде қолайлы домендер мен диапазондар үшін. Рекурсивтік қасиеті S содан кейін өздігінен көрінеді.

Сол жақтағы суретте -ден ауысудың мысалы көрсетілген дейін.Қайталанатын функция нақты аргументке қарсы жоспар құрылды. The тетрациялық және ArcTetrational суперфункция ретінде қолданылды және Абель функциясы Оң жақтағы суретте бұл функциялар күрделі жазықтықта көрсетілген, теріс емес бүтін сандағы итерация санында қайталанатын экспоненциал бүкіл функция; бүтін емес мәндерде оның екеуі бар тармақтар, бұл сәйкес келеді бекітілген нүкте және табиғи логарифм. At , функция қалады голоморфты кем дегенде жолақта нақты ось бойымен.

Абель функцияларының және суперфункциялардың қолданылуы

Суперфункциялар, әдетте суперэкспоненциалдар, жаңартудың жылдам өсетін функциясы ретінде ұсынылған өзгермелі нүкте компьютерлердегі сандардың көрінісі. Мұндай жаңарту әлі де шексіздікпен ерекшеленетін үлкен сандардың терапиясын кеңейтеді.

Басқа қосымшаларға функцияның бөлшек итерацияларын (немесе бөлшек дәрежелерін) есептеу кіреді. Кез-келген голоморфты функцияны а-ға сәйкестендіруге болады беру функциясы, содан кейін оның суперфункциялары мен сәйкес Абель функцияларын қарастыруға болады.

Сызықты емес оптика

Оптикалық материалдардың сызықты емес реакциясын зерттеу кезінде үлгі жарықтың қарқындылығы өткен кезде көп өзгермейтін етіп, оптикалық жұқа болады деп болжанған. Сонан соң сіңіруді интенсивтілік функциясы ретінде қарастыруға болады. Алайда таңдамадағы интенсивтіліктің шамалы өзгерісі кезінде сіңіруді интенсивтілік функциясы ретінде өлшеу дәлдігі жақсы болмайды. Тасымалдау функциясынан суперфункцияны қалпына келтіру өлшемдердің дәлдігін жақсарта отырып, салыстырмалы түрде қалың үлгілермен жұмыс істеуге мүмкіндік береді. Атап айтқанда, ұқсас үлгінің жартылай жіңішке беру функциясын алғашқы үлгінің тасымалдау функциясының квадрат түбірі (яғни жартылай қайталау) деп түсіндіруге болады.

Осыған ұқсас мысал бейсызық оптикалық талшық үшін де ұсынылған.[5]

Сызықтық емес акустика

Біртекті түтікте соққы толқындарының әлсіреуіндегі бейсызықтықты сипаттау мағынасы болуы мүмкін. Бұл дыбыстық толқындардың энергиясын газ ағынына кедергі келтірмей алу үшін сызықтық емес акустикалық эффектілерді қолдана отырып, кейбір жетілдірілген глушительде қосымшаны таба алады. Қайта, сызықтық емес реакцияны, яғни трансфер функциясын талдау суперфункциямен күшеюі мүмкін.

Булану және конденсация

Конденсацияны талдау кезінде сұйықтықтың кішкене тамшысының өсуін (немесе булануын) қарастыруға болады, өйткені ол будың біркелкі концентрациясы бар түтік арқылы таралады.Бірінші жуықтауда, будың тұрақты концентрациясы кезінде, шығыс аяғындағы төмендеуді деп түсіндіруге болады беру функциясы Бұл беру функциясының квадрат түбірі жарты ұзындықтағы түтікшені сипаттайды.

Қар көшкіні

Төбеден төмен қарай домалап келе жатқан аққаланың массасын ол өткен жолдың функциясы деп санауға болады. Бұл жолдың белгіленген ұзындығында (оны төбенің биіктігімен анықтауға болады) бұл масса кіріс массасының Тасымалдау функциясы ретінде де қарастырылуы мүмкін. Қардың массасын төбенің басында және төменгі жағында өлшеу мүмкін, бұл Трансфер функциясын береді; содан кейін, қардың массасы, оның өткен ұзындығына тәуелді, суперфункция болып табылады.

Операциялық элемент

Егер қандай-да бір берілген функциясы бар жедел элементті құру қажет болса , және оны бірнеше бірдей операциялық элементтердің дәйекті байланысы ретінде іске асырғысы келеді, демек, осы екі элементтің әрқайсысының беру функциясы болуы керек. Мұндай функцияны суперфункция және беру функциясының Абель функциясы арқылы бағалауға болады .

Пайдалану элементінің кез келген шығу тегі болуы мүмкін: оны электронды микросхема немесе қисық сызықты дәндердің механикалық жұбы немесе әртүрлі сұйықтықтармен толтырылған кейбір асимметриялы түтікше және т.с.с. іске асыруға болады.

Әдебиеттер тізімі

Бұл мақалада Азаматтық мақала »Суперфункция »лицензиясы бар Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 экспортталмаған лицензиясы бірақ астында емес GFDL.

  1. ^ Мәскеу мемлекеттік университетінің физика факультетінің логотипі. (Орыс тілінде);[1]. В.П.Кандидов. Уақыт және өзім туралы. (Орыс тілінде)[2]. Мәскеу мемлекеттік университетінің 250 жылдығы. (Орыс тілінде) ПЕРВОМУ УНИВЕРСИТЕТУ СТРАНЫ - 250! [3]
  2. ^ Х.Кнесер (1950). «Reelle analytische L¨osungen der Gleichung und verwandter Funktionalgleichungen «. Mathematik журналы жазылады. 187: 56–67.
  3. ^ а б Шредер, Эрнст (1870). «Ueber iterirte Functionen». Mathematische Annalen. 3 (2): 296–322. дои:10.1007 / BF01443992. S2CID  116998358.
  4. ^ П.Уолкер (1991). «Шексіз сараланатын жалпыланған логарифмдік және көрсеткіштік функциялар». Есептеу математикасы. 57 (196): 723–733. дои:10.1090 / S0025-5718-1991-1094963-4. JSTOR  2938713.
  5. ^ а б Д.Кузнецов. (2009). «Шешімдері кешенде ұшақ «. Есептеу математикасы. 78: 1647–1670. дои:10.1090 / S0025-5718-09-02188-7. алдын ала басып шығару: PDF
  6. ^ Д.Кузнецов, Х.Траппманн. Факторлық функциялар және квадрат түбір. Мәскеу университетінің физика хабаршысы, 2010, т.65, No1, б.6-12. (Preprint ILS UEC, 2009:[4] )

Сыртқы сілтемелер