Кері байланыс формасы - Strict-feedback form

Жылы басқару теориясы, динамикалық жүйелер бар қатаң кері байланыс нысаны қашан оларды білдіруге болады

${displaystyle {egin {case} {dot {mathbf {x}}} = f_ {0} (mathbf {x}) + g_ {0} (mathbf {x}) z_ {1} {dot {z}} _ {1} = f_ {1} (mathbf {x}, z_ {1}) + g_ {1} (mathbf {x}, z_ {1}) z_ {2} {нүкте {z}} _ {2} = f_ {2} (mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) + g_ {2} (mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) z_ {3} vdots { нүкте {z}} _ {i} = f_ {i} (mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, ldots, z_ {i-1}, z_ {i}) + g_ {i} ( mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, ldots, z_ {i-1}, z_ {i}) z_ {i + 1} quad {ext {for}} 1leq i$

қайда

• ${displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^ {n}}$ бірге ${displaystyle ngeq 1}$,
• ${displaystyle z_ {1}, z_ {2}, ldots, z_ {i}, ldots, z_ {k-1}, z_ {k}}$ болып табылады скалярлар,
• ${displaystyle u}$ Бұл скаляр жүйеге енгізу,
• ${displaystyle f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}, ldots, f_ {i}, ldots, f_ {k-1}, f_ {k}}$ жоғалу кезінде шығу тегі (яғни, ${displaystyle f_ {i} (0,0, нүкте, 0) = 0}$),
• ${displaystyle g_ {1}, g_ {2}, ldots, g_ {i}, ldots, g_ {k-1}, g_ {k}}$ қызығушылық саласына қатысты нөлге тең емес (яғни, ${displaystyle g_ {i} (mathbf {x}, z_ {1}, ldots, z_ {k}) eq 0}$ үшін ${displaystyle 1leq ileq k}$).

Мұнда, қатаң кері байланыс дегенді білдіреді бейсызықтық функциялары ${displaystyle f_ {i}}$ және ${displaystyle g_ {i}}$ ішінде ${displaystyle {нүкте {z}} _ {i}}$ теңдеу тек күйлерге тәуелді ${displaystyle x, z_ {1}, ldots, z_ {i}}$ бұл қайтарылды сол ішкі жүйеге^[1] Яғни, жүйенің өзіндік түрі бар төменгі үшбұрыш форма.

Тұрақтандыру

Негізгі мақала: Кері тоқтау

Кері байланыс түріндегі жүйелер болуы мүмкін тұрақтандырылды рекурсивті қолдану арқылы артта қалу.^[1] Бұл,

1. Жүйе берілген

   ${displaystyle {dot {mathbf {x}}} = f_ {0} (mathbf {x}) + g_ {0} (mathbf {x}) u_ {x} (mathbf {x})}$

   қазірдің өзінде белгілі бір басқару арқылы тұрақталған ${displaystyle u_ {x} (mathbf {x})}$ қайда ${displaystyle u_ {x} (mathbf {0}) = 0}$. Яғни таңдау ${displaystyle u_ {x}}$ бұл жүйені тұрақтандыру үшін басқа әдісті қолдану керек. Сонымен қатар, а Ляпунов функциясы ${displaystyle V_ {x}}$ бұл үшін тұрақты ішкі жүйе белгілі.

2. Басқару элементі ${displaystyle u_ {1} (mathbf {x}, z_ {1})}$ жүйесі болатындай етіп жасалған

   ${displaystyle {dot {z}} _ {1} = f_ {1} (mathbf {x}, z_ {1}) + g_ {1} (mathbf {x}, z_ {1}) u_ {1} (mathbf {x}, z_ {1})}$

   тұрақтандырылған ${displaystyle z_ {1}}$ қалағанды ​​орындайды ${displaystyle u_ {x}}$ бақылау. Басқару дизайны толықтырылған Ляпуновтың қызметіне үміткерге негізделген

   ${displaystyle V_ {1} (mathbf {x}, z_ {1}) = V_ {x} (mathbf {x}) + {frac {1} {2}} (z_ {1} -u_ {x} (mathbf) {x})) ^ {2}}$

   Бақылау ${displaystyle u_ {1}}$ байланыстыруға болады ${displaystyle {нүкте {V}} _ {1}}$ нөлден алшақ.

3. Басқару элементі ${displaystyle u_ {2} (mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2})}$ жүйесі болатындай етіп жасалған

   ${displaystyle {нүкте {z}} _ {2} = f_ {2} (mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) + g_ {2} (mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) u_ {2} (mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2})}$

   тұрақтандырылған ${displaystyle z_ {2}}$ қалағанды ​​орындайды ${displaystyle u_ {1}}$ бақылау. Басқару дизайны толықтырылған Ляпуновтың қызметіне үміткерге негізделген

   ${displaystyle V_ {2} (mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) = V_ {1} (mathbf {x}, z_ {1}) + {frac {1} {2}} (z_ {2} -u_ {1} (mathbf {x}, z_ {1})) ^ {2}}$

   Бақылау ${displaystyle u_ {2}}$ байланыстыруға болады ${displaystyle {нүкте {V}} _ {2}}$ нөлден алшақ.

4. Бұл процесс нақты болғанға дейін жалғасады ${displaystyle u}$ белгілі, және
   • The нақты бақылау ${displaystyle u}$ тұрақтандырады ${displaystyle z_ {k}}$ дейін ойдан шығарылған бақылау ${displaystyle u_ {k-1}}$.
   • The ойдан шығарылған бақылау ${displaystyle u_ {k-1}}$ тұрақтандырады ${displaystyle z_ {k-1}}$ дейін ойдан шығарылған бақылау ${displaystyle u_ {k-2}}$.
   • The ойдан шығарылған бақылау ${displaystyle u_ {k-2}}$ тұрақтандырады ${displaystyle z_ {k-2}}$ дейін ойдан шығарылған бақылау ${displaystyle u_ {k-3}}$.
   • ...
   • The ойдан шығарылған бақылау ${displaystyle u_ {2}}$ тұрақтандырады ${displaystyle z_ {2}}$ дейін ойдан шығарылған бақылау ${displaystyle u_ {1}}$.
   • The ойдан шығарылған бақылау ${displaystyle u_ {1}}$ тұрақтандырады ${displaystyle z_ {1}}$ дейін ойдан шығарылған бақылау ${displaystyle u_ {x}}$.
   • The ойдан шығарылған бақылау ${displaystyle u_ {x}}$ тұрақтандырады ${displaystyle mathbf {x}}$ шығу тегіне дейін.

Бұл процесс белгілі артта қалу өйткені ол кейбір ішкі ішкі жүйеге тұрақтылыққа және біртіндеп қойылатын талаптардан басталады артқа жүйеден тыс, әр қадамда тұрақтылықты сақтайды. Себебі

• ${displaystyle f_ {i}}$ шығу үшін жоғалу ${displaystyle 0leq ileq k}$,
• ${displaystyle g_ {i}}$ нөлге тең емес ${displaystyle 1leq ileq k}$,
• берілген бақылау ${displaystyle u_ {x}}$ бар ${displaystyle u_ {x} (mathbf {0}) = 0}$,

онда пайда болған жүйенің тепе-теңдігі болады шығу тегі (яғни қайда ${displaystyle mathbf {x} = mathbf {0},}$, ${displaystyle z_ {1} = 0}$, ${displaystyle z_ {2} = 0}$, ... , ${displaystyle z_ {k-1} = 0}$, және ${displaystyle z_ {k} = 0}$) Бұл ғаламдық асимптотикалық тұрақты.

Сондай-ақ қараңыз

• Сызықтық емес бақылау
• Кері тоқтау

Пайдаланылған әдебиеттер