Бөлшектеу

Бөлшектеу шешудің сандық әдісі болып табылады дифференциалдық теңдеулер дифференциалдық операторлардың қосындысына бөлінетін. Оған байланысты Гилберт Странг. Ол әртүрлі уақыт шкаласындағы операторларға қатысты мәселелерді есептеуді жылдамдатуға, мысалы, сұйықтық динамикасындағы химиялық реакцияларға және көпөлшемді шешуге арналған. дербес дифференциалдық теңдеулер оларды бір өлшемді есептердің қосындысына дейін азайту арқылы.

Бөлшек сатылы әдістер

Странгты бөлудің ізашары ретінде форманың дифференциалдық теңдеуін қарастырыңыз

{ displaystyle { frac {d {y}} {dt}} = L_ {1} ({y}) + L_ {2} ({y})}

қайда ${ displaystyle L_ {1}}$ , ${ displaystyle L_ {2}}$ болып табылады дифференциалдық операторлар. Егер ${ displaystyle L_ {1}}$ және ${ displaystyle L_ {2}}$ тұрақты коэффициент матрицалары болды, сонда байланысты бастапқы мән есебінің нақты шешімі болар еді

{ displaystyle y (t) = e ^ {(L_ {1} + L_ {2}) t} y_ {0}}

.

Егер ${ displaystyle L_ {1}}$ және ${ displaystyle L_ {2}}$ жүру, онда экспоненциалды заңдар бойынша бұл барабар

{ displaystyle y (t) = e ^ {L_ {1} t} e ^ {L_ {2} t} y_ {0}}

.

Егер олар болмаса, онда Бейкер-Кэмпбелл-Хаусдорф формуласы қосынды экспоненциалын экспоненциал көбейтіндісіне бірінші реттік қате есебінен ауыстыруға болады:

{ displaystyle e ^ {(L_ {1} + L_ {2}) t} y_ {0} = e ^ {L_ {1} t} e ^ {L_ {2} t} y_ {0} + { mathcal {O}} (t)}

.

Бұл сандық схеманың пайда болуына әкеледі, мұнда бастапқы бастапқы есепті шешудің орнына, екі ішкі проблеманы кезектесіп шешеді:

{ displaystyle { tilde {y}} _ {1} = e ^ {L_ {1} Delta t} y_ {0}}

{ displaystyle y_ {1} = e ^ {L_ {2} Delta t} { tilde {y}} _ {1}}

{ displaystyle { tilde {y}} _ {2} = e ^ {L_ {1} Delta t} y_ {1}}

{ displaystyle y_ {2} = e ^ {L_ {2} Delta t} { tilde {y}} _ {2}}

т.б.

Бұл тұрғыда, ${ displaystyle e ^ {L_ {1} Delta t}}$ ішкі проблеманы шешетін сандық схема болып табылады

{ displaystyle { frac {d {y}} {dt}} = L_ {1} ({y})}

бірінші тапсырыс бойынша. Бұл тәсіл сызықтық мәселелермен шектелмейді, яғни ${ displaystyle L_ {1}}$ кез-келген дифференциалдық оператор бола алады.

Strang сплиттілігі бұл әрекетті екінші ретті амалдардың басқа ретін таңдау арқылы кеңейтеді. Әрбір оператормен толық уақытты қабылдаудың орнына уақыт қадамдарын келесідей орындайды:

{ displaystyle { tilde {y}} _ {1} = e ^ {L_ {1} { frac { Delta t} {2}}} y_ {0}}

{ displaystyle { bar {y}} _ {1} = e ^ {L_ {2} Delta t} { tilde {y}} _ {1}}

{ displaystyle y_ {1} = e ^ {L_ {1} { frac { Delta t} {2}}} { bar {y}} _ {1}}

{ displaystyle { tilde {y}} _ {2} = e ^ {L_ {1} { frac { Delta t} {2}}} y_ {1}}

{ displaystyle { bar {y}} _ {2} = e ^ {L_ {2} Delta t} { tilde {y}} _ {2}}

{ displaystyle y_ {2} = e ^ {L_ {1} { frac { Delta t} {2}}} { bar {y}} _ {2}}

т.б.

Стрэнгтің бөлінуі екінші ретті екенін Бейкер-Кэмпбелл-Хаусдорф формуласы, тамырлы ағаш талдауы немесе Тейлор кеңеюі көмегімен қателіктерді тікелей салыстыру арқылы дәлелдейді. Схема екінші ретті дәл болу үшін, ${ displaystyle e ^ { cdots}}$ шешім операторына екінші реттік жуықтау болуы керек.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

Странг, Гилберт. Айырмашылық схемаларын құру және салыстыру туралы. SIAM журналы 5.3 сандық талдау журналы (1968): 506-517.
McLachlan, Robert I. және G. Reinout W. Quispel. Бөлу әдістері. Acta Numerica 11 (2002): 341-434.
Левек, Рендал Дж., Гиперболалық есептерге арналған ақырғы көлемдік әдістер. Том. 31. Кембридж университетінің баспасы, 2002 ж.