Стейн факторизациясы - Stein factorization

Алгебралық геометрияда Стейн факторизациясы, енгізген Карл Штайн (1956 ) күрделі кеңістіктерге қатысты, тиісті морфизмді ақырғы картаға түсіру және жалғанған талшықтармен тиісті морфизм құрамы ретінде көбейтуге болады дейді. Стейн факторизациясы, картографияның талшықтарының қосылған компоненттерін нүктелерге дейін қысқартады.

Мәлімдеме

Схемаларға арналған бір нұсқада мыналар келтірілген :(EGA, III.4.3.1)

Келіңіздер X болуы а схема, S жергілікті нотериялық схема және ${ displaystyle f: X to S}$ а тиісті морфизм. Сонда біреу жаза алады
${ displaystyle f = g circ f '}$
қайда ${ displaystyle g қос нүкте S ' - S}$ Бұл ақырғы морфизм және ${ displaystyle f ' қос нүкте X ден S'}$ бұл тиісті морфизм ${ displaystyle f '_ {*} { mathcal {O}} _ {X} = { mathcal {O}} _ {S'}.}$

Бұл ыдыраудың өзі қиын емес. Төменде қараңыз. Бірақ, Зарискидің байланыс теоремасы, жоғарыда айтылғандардың соңғы бөлігі талшық дейді ${ displaystyle f '^ {- 1} (-тар)}$ кез келген үшін қосылған ${ displaystyle s in S}$ . Бұдан шығады:

Қорытынды: Кез келген үшін ${ displaystyle s in S}$ , талшықтың қосылған компоненттерінің жиынтығы ${ displaystyle f ^ {- 1} (s)}$ талшықтағы нүктелер жиынтығымен биекцияда ${ displaystyle g ^ {- 1} (-тер)}$ .

Дәлел

Жинақ:

{ displaystyle S '= operatorname {Spec} _ {S} f _ {*} { mathcal {O}} _ {X}}

қайда Spec_S болып табылады салыстырмалы Spec. Құрылыс табиғи картаны береді ${ displaystyle g қос нүкте S ' - S}$ , содан бері ақырғы ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ үйлесімді және f дұрыс. Морфизм f арқылы факторлар ж ал біреу алады ${ displaystyle f ' қос нүкте X ден S'}$ , бұл дұрыс. Құрылыс бойынша, ${ displaystyle f '_ {*} { mathcal {O}} _ {X} = { mathcal {O}} _ {S'}}$ . Содан кейін біреуін пайдаланады формальды функциялар туралы теорема соңғы теңдікті білдіретінін көрсету үшін ${ displaystyle f '}$ байланыстырылған талшықтары бар. (Бұл бөлім кейде Зарискидің байланыс теоремасы деп аталады).

Сондай-ақ қараңыз

Жиырылу морфизмі

Әдебиеттер тізімі

Хартшорн, Робин (1977), Алгебралық геометрия, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 52, Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг, ISBN 978-0-387-90244-9, МЫРЗА 0463157
Гротендик, Александр; Диудонне, Жан (1961). «Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie». Mathématiques de l'IHÉS басылымдары. 11. дои:10.1007 / bf02684274. МЫРЗА 0217085.
Штайн, Карл (1956), «Analytische Zerlegungen komplekser Räume», Mathematische Annalen, 132: 63–93, дои:10.1007 / BF01343331, ISSN 0025-5831, МЫРЗА 0083045