Квадрат-куб заңы - Square–cube law

Алдымен квадрат-куб заңы айтылды Екі жаңа ғылым (1638).

The шаршы-куб заңы (немесе шаршы-заң) сипаттайтын әр түрлі ғылыми салаларда қолданылатын математикалық принцип болып табылады көлем мен беттің ауданы арасындағы байланыс пішіннің өлшемі ұлғаяды немесе кішірейеді. Ол алғаш рет 1638 жылы сипатталған Галилео Галилей оның Екі жаңа ғылым өйткені «... екі көлемнің қатынасы олардың беттерінің қатынасынан үлкен».[1]

Бұл қағида пішіннің мөлшері өскен сайын оның көлемі оның беткі қабатына қарағанда тез өсетіндігін айтады. Бұл қағида нақты әлемде қолданылғаннан бастап көптеген салаларда маңызды болып табылады механикалық инженерия дейін биомеханика. Бұл құбылыстарды түсіндіруге көмектеседі, соның ішінде ірі сүтқоректілер неге ұнайды пілдер тышқандар сияқты кішкентайларға қарағанда өздерін салқындату қиынға соғады және неге биік әрі биік етіп салу керек зәулім ғимараттар барған сайын қиын.

Сипаттама

Беткі қабаттың графиктері, A көлемге қарсы, V Платондық қатты денелер мен сфера, көлемнің ұлғаюымен бет пен аудан арақатынасының төмендейтінін көрсетеді. Олардың үзік сызықтармен қиылысуы көлемнің 8 (2³) есе артқан кезде бетінің ауданы 4 (2²) есе өсетіндігін көрсетеді.

Квадрат-куб заңын келесі түрде айтуға болады:

Нысан пропорционалды ұлғаю кезінде оның жаңа бетінің ауданы көбейткіштің квадратына пропорционалды, ал жаңа көлемі көбейткіштің кубына пропорционалды болады.

Математикалық түрде ұсынылған:[2]

қайда бастапқы бетінің ауданы болып табылады және бұл жаңа беткі аймақ.

қайда түпнұсқа көлем, бұл жаңа том, түпнұсқа ұзындығы және бұл жаңа ұзындық.

Мысалы, бүйірінің ұзындығы 1 метр кубтың бетінің ауданы 6 м2 және көлемі 1 м3. Егер кубтың өлшемдері 2-ге көбейтілсе, оның беткі қабаты -ге көбейер еді шаршы 2-ден 24 м-ге айналады2. Оның көлемін көбейтетін болар еді текше 2-ден 8 м-ге айналады3.

Түпнұсқа кубтың (бүйірлері 1м) бетінің көлемге қатынасы 6: 1 құрайды. Көлемі үлкен (2м бүйірлік) текшенің көлеміне қатынасы (24/8) 3: 1 құрайды. Өлшемдер ұлғайған сайын, көлем беткі ауданға қарағанда тез өсе береді. Осылайша квадрат-куб заңы. Бұл принцип барлық қатты заттарға қолданылады.[3]

Қолданбалар

Инженерлік

Физикалық зат бірдей тығыздықты сақтап, масштабталған кезде оның көлемі мен массасы көбейткіштің кубымен ұлғаяды, ал оның беткі жағы аталған көбейткіштің квадратына ғана өседі. Бұл дегеніміз, объектінің үлкен нұсқасы түпнұсқамен бірдей жылдамдықпен үдетілгенде, үлкенірек заттың бетіне көп қысым түседі.

Үдеткіш күш әсер ететін бетінің үдеуі, а және беткейі А болатын массалық дененің қарапайым мысалын қарастырайық. Үдеудің күші, және қысым қысымы, .

Енді объектіні жаңа массаға ие болатындай етіп көбейтетін коэффициент = x арқылы асыра қарастырайық, және күш әсер ететін бет жаңа беткейге ие болады, .

Акселерацияға байланысты жаңа күш және нәтижесінде қысым,

Сонымен, заттың көлемін ұлғайту, бірдей құрылыс материалын (тығыздығын) және бірдей үдеуді сақтай отырып, сол масштабтау коэффициентіне итермелейді. Бұл объект стресске қарсы тұру қабілетінің аз болатынын және үдеу кезінде құлап кетуге бейім болатынын көрсетеді.

Сондықтан үлкен көліктер апаттық сынақтарда нашар жұмыс істейді және неге биік ғимараттар салуға болатын шектеулер бар. Сол сияқты, объект неғұрлым үлкен болса, соғұрлым басқа заттар оның қозғалысына төтеп бере алмай, оның бәсеңдеуін тудырады.

Инженерлік мысалдар

  • Бу қозғалтқышы: Джеймс Уотт үшін аспап жасаушы болып жұмыс істейді Глазго университеті, масштабты модель берілді Бу машинасы жұмыс күйіне келтіру. Ватт бұл мәселені квадрат текшелік заңымен байланысты деп таныды, өйткені модель цилиндрінің беті мен көлемінің арақатынасы әлдеқайда үлкен коммерциялық қозғалтқыштарға қарағанда үлкен болды, бұл жылудың шамадан тыс жоғалуына әкелді.[4] Осы модельдегі тәжірибелер Ваттың бу машинасын әйгілі жетілдіруге әкелді.
Boeing 737-500 Airbus A380 ұшағының алдында
  • Airbus A380: көтеру және басқару беттері (қанаттар, рульдер мен лифттер) ұшақтың фюзеляжымен салыстырғанда салыстырмалы түрде үлкен. Мысалы, а Boeing 737 және оның өлшемдерін тек A380 өлшеміне дейін ұлғайту шаршы текшелік ережеге сәйкес ұшақтың салмағы үшін тым кішкентай қанаттарға әкеледі.
  • Кеңейту циклі ракета қозғалтқыштары шаршы-куб заңынан зардап шегеді. Олардың мөлшері, демек, итеру күші шектеледі жылу беру тиімділік саптаманың беткі ауданына байланысты саптамадан ағатын отынның көлеміне қарағанда баяу өседі.
  • A қайшы а-ға қарағанда парустың салыстырмалы түрде көп беті қажет жалқау бірдей жылдамдыққа жету үшін, яғни бұл қолөнердің салмақ пен салмақтың арақатынасына қарағанда жоғары желкен - беті - желкен - бет қатынасы бар.
  • Аэростаттар көбінесе квадрат-куб заңынан пайда табады. Радиус ретінде () әуе шарының мөлшері ұлғаяды, беткі қабаттағы шығын квадраттық өседі (), бірақ дыбыс деңгейінен шыққан лифт текше көбейеді ().
  • Құрылымдық инженерия: Кішкентай масштабта жұмыс жасайтын материалдар үлкен масштабта жұмыс істемеуі мүмкін. Мысалы, колонканың өлшемімен бірдей жылдамдықта кішкене бос тұрған баған шкалаларының түбіндегі қысу кернеуі. Демек, берілген материалдың өлшемі және бағанның өзі құлап кететін тығыздығы бар.

Биомеханика

Егер жануарды изометриялық тұрғыдан едәуір мөлшерде үлкейтсе, оның бұлшық еттерінің салыстырмалы күші едәуір азаяды, өйткені бұлшық еттерінің көлденең қимасы ұлғаяды. шаршы масштабтау коэффициенті, ал оның массасы текше масштабтау факторының Нәтижесінде жүрек-қан тамырлары мен тыныс алу функциялары ауыр жүктеме алады.

Ұшатын жануарларға қатысты, егер олар изометриялық масштабта болса, қанаттарға жүктеме көбейетін еді, сондықтан олар бірдей мөлшерге жету үшін тезірек ұшуы керек еді. көтеру. Массаның бірлігіне ауа төзімділігі кішігірім жануарлар үшін де жоғары (азаяды) терминалдық жылдамдық ) сондықтан кішкентай жануарлар сияқты құмырсқа кез-келген биіктіктен құлап түскеннен кейін жерге тигізілген соққыдан ауыр жарақат алу мүмкін емес.

Айтылғандай Дж.Б. Халдэн, ірі жануарлар ұсақ жануарларға ұқсамайды: слонды масштабталған тышқан деп қате айтуға болмайды. Бұл байланысты аллометриялық масштабтау: пілдің сүйектері тышқанның сүйектерінен пропорционалды түрде әлдеқайда үлкен, өйткені олар пропорционалды түрде жоғары салмақты көтеруі керек. Халдэйн мұны өзінің 1928 жылғы негізгі очеркінде бейнелейді Дұрыс өлшемде болу туралы сілтеме жасай отырып аллегориялық алыптар: «... биіктігі 60 фут болатын адамды қарастырыңыз ... Алып папа мен алып пұтқа табынушылар суретте көрсетілген Қажылықтың барысы: ... Бұл құбыжықтар ... салмағы 1000 есе көп болды Христиан. Алып сүйектің әрбір шаршы дюймі адам сүйегінің шаршы дюймінің салмағының 10 есесін көтеруі керек еді. Адамның орташа жамбас сүйегі адамның салмағынан шамамен 10 есе төмен сынғандықтан, Рим Папасы мен Паган қадам басқан сайын жамбастарын сындырар еді ».[5] Демек, жануарлардың көпшілігі аллометриялық масштабтауды түрлер арасында да, түр ішінде де ұлғаюымен көрсетеді. Құбыжық киноларында көрген алып жаратылыстар (мысалы, Годзилла, King Kong, және Олар! ), егер олардың үлкен мөлшері оларды құлдырауға мәжбүр етсе, шындыққа жанаспайды.

Алайда, судың көтергіштігі белгілі бір дәрежеде ауырлық күшінің әсерін жоққа шығарады. Демек, теңіз жануарлары өте үлкен мөлшерге дейін өсе алады, олар бірдей тіршілік етуші құрылымдарсыз қажет болатын, егер олар бірдей мөлшердегі құрлықтағы тіршілік иелеріне қажет болса және жер бетінде өмір сүрген ең үлкен жануарлардың болуы кездейсоқ емес су жануарлары.

Математикалық қағидасы бар жануарлардың зат алмасу жылдамдығы шкаласы тоқсандық қуатты масштабтау[6] сәйкес экологияның метаболикалық теориясы.

Масса және жылу беру

Тірі жасушалар сияқты кішігірім объектілерге диффузия сияқты жаппай берілу бүкіл жануарлар сияқты үлкен объектілерге диффузияға қарағанда жылдамырақ. Осылайша, химиялық процестерде беткі қабатта емес, көбінесе емес, бөлшектелген материал белсенді болады. Мысалы, гетерогенді белсенділік катализатор оны ұсақ бөлшектерге бөлгенде жоғары болады.

Химиялық процестен жылу өндірісі ыдыстың сызықтық өлшемінің (биіктігі, ені) кубымен, ал ыдыстың беткі қабаты тек сызықтық өлшемнің квадратымен өлшенеді. Демек, үлкен кемелерді салқындату әлдеқайда қиын. Сондай-ақ, ыстық сұйықтықтарды тасымалдауға арналған ауқымды құбырларды шағын масштабта модельдеу қиын, өйткені жылу кішірек құбырлардан тезірек өтеді. Мұны технологиялық жобалау кезінде ескермеу апатты жағдайға әкелуі мүмкін термиялық қашу.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Дэвид Х.Аллен (24 қыркүйек 2013). Механика қазіргі әлемді қалай қалыптастырды. кітап. ISBN  9783319017013.
  2. ^ «Әлемдік құрылысшылар: тірі заттардың өлшемдері». world-builders.org.
  3. ^ Майкл Л.Барбера. «B-фильм монстрларының биологиясы».
  4. ^ Розен, Уильям (2012). Әлемдегі ең қуатты идея: бу, өндіріс және өнертабыс туралы әңгіме. Чикаго Университеті. б. 98. ISBN  978-0226726342.
  5. ^ Халден, Дж. «Дұрыс өлшемде болу туралы». Интернет зерттеу зертханасы. UCLA. Алынған 1 сәуір 2017.
  6. ^ Джордж Джонсон (12 қаңтар 1999). «Тышқандар мен пілдер: масштабтағы мәселе». The New York Times. Алынған 2015-06-11.