Ауқымдылық (санаттар теориясы) - Span (category theory)

Жылы категория теориясы, а аралық, шатыр немесе корреспонденция деген ұғымды жалпылау болып табылады қатынас екеуінің арасында нысандар а санат. Санатта барлығы болған кезде кері тарту (және басқа шарттардың аз мөлшерін қанағаттандырады), аралықтарды деп санауға болады морфизмдер ішінде фракциялар санаты.

Ресми анықтама

Аралық - бұл диаграмма түр яғни форманың диаграммасы .

Яғни, the санаты болсын (-1 ← 0 → +1). Содан кейін санаттағы аралық C Бұл функция S : Λ →C. Бұл аралық үш объектіден тұрады дегенді білдіреді X, Y және З туралы C және морфизмдер f : X → Y және ж : X → З: бұл ортақ екі карта домен.

The колимит аралықтың а итеру.

Мысалдар

  • Егер R арасындағы қатынас болып табылады жиынтықтар X және Y (яғни а ішкі жиын туралы X × Y), содан кейін XRY аралық болып табылады, мұнда карталар проекциялық карталар болып табылады және .
  • Кез-келген объект тривиальды аралықты береді формальды түрде, диаграмма AAA, мұнда карталар сәйкестік болып табылады.
  • Жалпы, рұқсат етіңіз қандай да бір санаттағы морфизм болуы. Тривиальды аралық бар A = AB; формальды түрде, диаграмма AAB, сол жақта картада идентификация орналасқан A, ал дұрыс карта - берілген карта φ.
  • Егер М Бұл модель категориясы, бірге W жиынтығы әлсіз эквиваленттер, содан кейін форманың аралықтары сол жақтағы морфизм В, жалпыланған морфизм деп санауға болады (яғни мұнда біреу «әлсіз эквиваленттерді төңкереді»). Бұл модельдік санаттарға қатысты әдеттегі көзқарас емес екенін ескеріңіз.

Коспандар

Қоспан Қ санатта C K: Λ функциясы болып табыладыоп → C; баламалы түрде, а қарама-қайшы функциясы.-ден C. Яғни типтің сызбасы яғни, форманың диаграммасы .

Осылайша ол үш объектіден тұрады X, Y және З туралы C және морфизмдер f : Y → X және ж : З → X: бұл ортақ екі карта кодомейн.

The шектеу коспанның а кері тарту.

Коспанның мысалы a кобордизм W екеуінің арасында коллекторлар М және N, мұнда екі картаға қосындылар кіреді W. Кобординизмдер коспан болғанымен, кобординизм категориясы «коспан категориясы» емес екенін ескеріңіз: бұл «шекарасында қосындылары бар коллекторлар санатындағы» барлық коспандықтардың категориясы емес, керісінше ішкі санат оның талабы бойынша М және N шекарасының бөлігін құрайды W жаһандық шектеу болып табылады.

Санат nCob ақырлы өлшемді кобординизмдер а жинақы санат. Жалпы, категория Аралық(C) кез-келген санаттағы аралықтар C ақырғы шектеулермен де қанжар ықшам.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі