Соммерфельдтің радиациялық жағдайы - Sommerfeld radiation condition

Арнольд Соммерфельд скаляр өрісі үшін сәулелену жағдайын анықтады Гельмгольц теңдеуі сияқты

«қайнар көздер емес, энергия раковиналары болуы керек. қайнар көздерден шыққан энергия шексіздікке шашырауы керек; шексіздіктен ... өріске ешқандай энергия сәулеленбеуі мүмкін.»^[1]

Математикалық тұрғыдан біртекті емес деп санаңыз Гельмгольц теңдеуі

${displaystyle (abla ^ {2} + k ^ {2}) u = -f {mbox {in}} mathbb {R} ^ {n}}$

қайда ${displaystyle n = 2,3}$ кеңістіктің өлшемі, ${displaystyle f}$ берілген функция болып табылады ықшам қолдау энергияның шектелген көзін білдіретін және ${displaystyle k> 0}$ тұрақты деп аталады ағаш. Шешім ${displaystyle u}$ осы теңдеуге шақырылады сәулелену егер ол қанағаттандырса Соммерфельдтің радиациялық жағдайы

${displaystyle lim _ {| x | o infty} | x | ^ {frac {n-1} {2}} сол жақ ({frac {жартылай} {жартылай | x |}} - ikight) u (x) = 0}$

барлық бағытта біркелкі

${displaystyle {hat {x}} = {frac {x} {| x |}}}$

(жоғарыда, ${displaystyle i}$ болып табылады ойдан шығарылған бірлік және ${displaystyle | cdot |}$ болып табылады Евклидтік норма ). Мұнда уақыт-гармоникалық өріс деп болжануда ${displaystyle e ^ {- iomega t} u.}$ Егер оның орнына уақыт-гармоникалық өріс болса ${displaystyle e ^ {iomega t} u,}$ біреуін ауыстыру керек ${displaystyle -i}$ бірге ${displaystyle + i}$ Соммерфельд радиациялық жағдайында.

Соммерфельд радиациялық шарты Гельмгольц теңдеуін шешу үшін қолданылады. Мысалы, нүктелік көзге байланысты сәулелену мәселесін қарастырайық ${displaystyle x_ {0}}$ үш өлшемде, сондықтан функция ${displaystyle f}$ Гельмгольц теңдеуінде ${displaystyle f (x) = delta (x-x_ {0}),}$ қайда ${displaystyle delta}$ болып табылады Dirac delta функциясы. Бұл есепте шексіз көп шешім бар, мысалы, форманың кез-келген функциясы

${displaystyle u = cu _ {+} + (1-c) u _ {-},}$

қайда ${displaystyle c}$ тұрақты болып табылады және

${displaystyle u_ {pm} (x) = {frac {e ^ {pm ik | x-x_ {0} |}} {4pi | x-x_ {0} |}}.}$

Осы шешімдердің ішінен тек ${displaystyle u _ {+}}$ Соммерфельдтің радиациялық күйін қанағаттандырады және сәулеленетін өріске сәйкес келеді ${displaystyle x_ {0}.}$ Басқа шешімдер физикалық емес. Мысалға, ${displaystyle u _ {-}}$ шексіздіктен шыққан және батып бара жатқан энергия деп түсіндіруге болады ${displaystyle x_ {0}.}$

Әдебиеттер тізімі

• Martin, P. A (2006). Бірнеше шашырау: уақыттық-гармоникалық толқындардың N кедергілермен әрекеттесуі. Кембридж; Нью-Йорк: Кембридж университетінің баспасы. ISBN  0-521-86554-9.
• «Соммерфельдтің сексен жылдық радиациялық жағдайы», Стивен Х.Шот, Historia Mathematica 19, № 4 (қараша 1992), 385-401 б., дои:10.1016 / 0315-0860 (92) 90004-U.

Сыртқы сілтемелер

• Свешников А.Г. (2001) [1994], «Радиациялық жағдайлар», Математика энциклопедиясы, EMS Press