Слуцкий теоремасы - Slutskys theorem - Wikipedia

Жылы ықтималдықтар теориясы, Слуцкий теоремасы бойынша алгебралық амалдардың кейбір қасиеттерін кеңейтеді конвергентті тізбектер туралы нақты сандар тізбектеріне кездейсоқ шамалар.^[1]

Теорема атымен аталды Евген Слуцкий.^[2] Слуцкий теоремасына да жатқызылған Харальд Крамер.^[3]

Мәлімдеме

Келіңіздер ${ displaystyle X_ {n}, Y_ {n}}$ скаляр / векторлық / матрицалық тізбектер болуы кездейсоқ элементтер.Егер ${ displaystyle X_ {n}}$ таралуда кездейсоқ элементке жақындайды ${ displaystyle X}$ және ${ displaystyle Y_ {n}}$ ықтималдық бойынша тұрақтыға жақындайды ${ displaystyle c}$, содан кейін

• ${ displaystyle X_ {n} + Y_ {n} { xrightarrow {d}} X + c;}$
• ${ displaystyle X_ {n} Y_ {n} xrightarrow {d} Xc;}$
• ${ displaystyle X_ {n} / Y_ {n} { xrightarrow {d}} X / c,}$ деген шартпен в аударылатын,

қайда ${ displaystyle { xrightarrow {d}}}$ білдіреді таралудағы конвергенция.

Ескертулер:

1. Бұл талап Y_n тұрақтыға жақындау маңызды - егер ол деградацияланбаған кездейсоқ шамаға жақындаса, теорема жарамсыз болып қалады. Мысалы, рұқсат етіңіз ${ displaystyle X_ {n} sim { rm {Uniform}} (0,1)}$ және ${ displaystyle Y_ {n} = - X_ {n}}$. Қосынды ${ displaystyle X_ {n} + Y_ {n} = 0}$ барлық мәндері үшін n. Оның үстіне, ${ displaystyle Y_ {n} { xrightarrow {d}} { rm {Uniform}} (- 1,0)}$, бірақ ${ displaystyle X_ {n} + Y_ {n}}$ таралу кезінде жинақталмайды ${ displaystyle X + Y}$, қайда ${ displaystyle X sim { rm {Бірыңғай}} (0,1)}$, ${ displaystyle Y sim { rm {Бірыңғай}} (- 1,0)}$, және ${ displaystyle X}$ және ${ displaystyle Y}$ тәуелсіз.^[4]
2. Егер біз үлестірімдегі барлық жинақтылықтарды ықтималдықтағы конвергенциялармен алмастырсақ, теорема өз күшін сақтайды.

Дәлел

Бұл теорема егер болса X_n үлестіру кезінде жинақталады X және Y_n ықтималдық бойынша тұрақтыға жақындайды в, содан кейін бірлескен вектор (X_n, Y_n) үлестіру кезінде (X, в) (мына жерден қараңыз ).

Әрі қарай біз қолданамыз үздіксіз картаға түсіру теоремасы, функцияларын тану ж(х,ж) = х + ж, ж(х,ж) = xy, және ж(х,ж) = х ж⁻¹ үздіксіз (соңғы функция үздіксіз болуы үшін, ж аударылатын болуы керек).

Сондай-ақ қараңыз

• Кездейсоқ шамалардың конвергенциясы

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

• Каселла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2001). Статистикалық қорытынды. Тынық мұхиты тоғайы: Даксбери. 240-245 бет. ISBN  0-534-24312-6.
• Гримметт, Г .; Стирзакер, Д. (2001). Ықтималдық және кездейсоқ процестер (3-ші басылым). Оксфорд.
• Хаяси, Фумио (2000). Эконометрика. Принстон университетінің баспасы. 92-93 бет. ISBN  0-691-01018-8.