Синхорнс теоремасы - Sinkhorns theorem - Wikipedia

Синхорн теоремасы деп айтады әрбір квадрат матрица оң жазбалармен белгілі бір стандартты түрде жазуға болады.

Теорема

Егер A болып табылады n × n матрица қатаң позитивті элементтермен бірге бар диагональды матрицалар Д.1 және Д.2 қатаң позитивті диагональ элементтерімен Д.1AD2 болып табылады екі есе стохастикалық. Матрицалар Д.1 және Д.2 бірінші матрицаны оң санға көбейтетін және екіншісін бірдей санға бөлетін ерекше модуль. [1][2]

Синхорн-Кнопп алгоритмі

Екі еселенген стохастикалық матрицаға жақындаудың қарапайым итерациялық әдісі барлық қатарлар мен бағандарды кезектесіп қайта сату болып табылады A Синхорн мен Кнопп осы алгоритмді ұсынды және оның конвергенциясын талдады.[3]

Аналогтар мен кеңейтімдер

Унитарлы матрицалардың келесі аналогы да дұрыс: әрқайсысы үшін унитарлық матрица U екі диагональды унитарлық матрица бар L және R осындай LUR оның бағандары мен жолдарының әрқайсысы 1-ге тең.[4]

Матрицалар арасындағы карталардың келесі кеңеюі де дұрыс (5-теореманы қараңыз)[5] теорема 4.7[6]): берілген Kraus операторы кванттық операцияны бейнелейтін Φ картаға түсіру а тығыздық матрицасы басқаға,

бұл із қалдырады,

сонымен қатар, диапазоны оң конустың ішкі бөлігінде орналасқан (қатаң позитив), масштабтау бар хj, үшін j {0,1} -де, олар қалпына келтірілгендей оң позитивті Kraus операторы

екі есе стохастикалық. Басқаша айтқанда, екеуі де,

сондай-ақ қосылыс үшін,

мұнда мен сәйкестендіру операторын белгілеймін.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Синхорн, Ричард. (1964). «Ерікті оң матрицалар мен екі еселенген стохастикалық матрицалар арасындағы байланыс». Энн. Математика. Статист. 35, 876–879. дои:10.1214 / aoms / 1177703591
  2. ^ Маршалл, А.В., & Олкин, И. (1967). «Көрсетілген жолдар мен бағандардың қосындыларына қол жеткізу үшін матрицаларды масштабтау.» Numerische Mathematik. 12(1), 83–90. дои:10.1007 / BF02170999
  3. ^ Синхорн, Ричард, & Кнопп, Пол. (1967). «Теріс емес матрицалар мен стохастикалық матрицаларға қатысты». Тынық мұхиты Дж. 21, 343–348.
  4. ^ Идел, Мартин; Қасқыр, Майкл М. (2015). «Унитарлы матрицалар үшін қалыпты формасы». Сызықтық алгебра және оның қолданылуы. 471: 76–84. arXiv:1408.5728. дои:10.1016 / j.laa.2014.12.031.
  5. ^ Джорджио, Трифон; Павон, Мишель (2015). «Шредингердің классикалық және кванттық жүйелері үшін қысқартудың оң картографиясы». Математикалық физика журналы. 56: 033301-1-24. arXiv:1405.6650. Бибкод:2015JMP .... 56c3301G. дои:10.1063/1.4915289.
  6. ^ Гурвитц, Леонид (2004). «Классикалық күрделілік және кванттық орам». Есептеу ғылымдары журналы. 69: 448–484. дои:10.1016 / j.jcss.2004.06.003.