Шнайдер-Ланг теоремасы - Schneider–Lang theorem

Математикада Шнайдер-Ланг теоремасы арқылы нақтылау болып табылады Тіл (1966) теоремасының Шнайдер (1949) туралы трансценденттілік мәні мероморфты функциялар. Теорема екеуін де білдіреді Эрмита – Линдеманн және Гельфонд - Шнайдер теоремалары, және кейбір мәндерінің трансценденттілігін білдіреді эллиптикалық функциялар және эллиптикалық модульдік функциялар.

Мәлімдеме

А нөмір өрісі Қ және мероморфты f1,…,fN, оның кемінде екеуі алгебралық тұрғыдан тәуелсіз және бар тапсырыстар ρ1 және ρ2, және солай fjҚ[f1,…,fN] кез келген үшін j. Содан кейін ең көп

айқын күрделі сандар ω1,…,ωм осындай fмен (ωj)∈Қ барлық комбинациялары үшін мен және j.

Мысалдар

  • Егер f1(з) = з және f2(з) = eз онда теорема Эрмита-Линдеман теоремасы бұл eα нөлдік алгебралық үшін трансцендентальды болып табылады α: әйтпесе, α, 2α, 3α, … екеуі де болатын шексіз мән болар еді f1 және f2 алгебралық болып табылады.
  • Сол сияқты қабылдау f1(з) = eз және f2(з) = e.z үшін β қисынсыз алгебралық дегенді білдіреді Гельфонд - Шнайдер теоремасы егер болса α және αβ алгебралық болып табылады α∈ {0,1} : әйтпесе, журнал (α), 2лог (α), 3log (α), … екеуі де болатын шексіз мән болар еді f1 және f2 алгебралық болып табылады.
  • Естеріңізге сала кетейік Weierstrass P функциясы дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады
Үш функцияны қабылдау з, ℘(αz), (αz) кез келген алгебралық үшін көрсетеді α, егер ж2(α) және ж3(α) алгебралық болып табылады ℘(α) трансцендентальды болып табылады.
  • Функцияларды қабылдау з және ef (z) көпмүше үшін f дәрежесі ρ функцияларының барлығы алгебралық болатын нүктелер саны ретімен сызықты өсе алатынын көрсетеді ρ = градус (f).

Дәлел

Нәтижені дәлелдеу үшін Ланг алгебралық екі тәуелсіз функцияны қабылдады f1,…,fN, айт f және ж, содан кейін көмекші функция құрды FҚ[f,ж]. Қолдану Зигель леммасы, содан кейін ол болжауға болатындығын көрсетті F кезінде жоғары тәртіппен жоғалып кетті ω1, ..., ωм. Осылайша жоғары ретті туынды F осындай өлшемдердің бірінде кіші өлшемді қабылдайды ωменs, бұл жерде «өлшем» санның алгебралық қасиеті. Пайдалану максималды модульдік принцип, Ланг сонымен бірге. Туындыларының абсолюттік мәндеріне жеке баға тапты F. Стандартты нәтижелер санның өлшемін және оның абсолюттік мәнін байланыстырады, ал жиынтық бағалау мәлімделген байланысты білдіреді м.

Бомбиери теоремасы

Бомбиери және Ланг (1970) және Бомбиери (1970) нәтижені бірнеше айнымалылардың функцияларына жалпылау. Бомбиери егер екенін көрсетті Қ - алгебралық сан өрісі және f1, ..., fN мероморфты функциялары болып табылады г. өрістің пайда болуының ең үлкен ρ ретіндегі күрделі айнымалылары Қ( f1, ..., fN) кем дегенде трансценденттілік дәрежесі г. + 1, бұл барлық ішінара туындыларда жабық, содан кейін барлық функциялар болатын нүктелер жиынтығы fn мәндері бар Қ ішіндегі алгебралық гипер бетінде қамтылған Cг. дәрежесі

Уольдшмидт (1979), теорема 5.1.1) Бомбиери теоремасының қарапайым дәлелі болды, оның шекарасы сәл күшейген г.1+ ... + ρг.+1)[Қ:Q] градус үшін, мұндағы ρj бұйрықтары болып табылады г.+1 алгебралық тәуелсіз функциялар. Ерекше жағдай г. = 1 шекарасымен (ρ.) Шнейдер-Ланг теоремасын береді1+ ρ2)[Қ:Q] ұпай саны үшін.

Мысал

Егер б - бұл функциялардың бүтін коэффициенттері бар көпмүшелік з1,...,зn, eб(з1,...,зn) гипергуреттің нүктелерінің тығыз жиынтығында алгебралық болып табылады б=0.

Әдебиеттер тізімі

  • Бомбиери, Энрико (1970), «Мероморфты карталардың алгебралық мәндері», Mathematicae өнертабыстары, 10 (4): 267–287, дои:10.1007 / BF01418775, ISSN  0020-9910, МЫРЗА  0306201, Бомбиери, Энрико (1970), «Менің жұмысыма қосымша:» Мероморфты карталардың алгебралық мәндері «(өнертапқыш. Математика. 10 (1970), 267-287)», Mathematicae өнертабыстары, 11 (2): 163–166, дои:10.1007 / BF01404610, ISSN  0020-9910, МЫРЗА  0322203
  • Бомбиери, Энрико; Ланг, Серж (1970), «Топтық сорттардың аналитикалық топшалары», Mathematicae өнертабыстары, 11: 1–14, дои:10.1007 / BF01389801, ISSN  0020-9910, МЫРЗА  0296028
  • С.Ланг, «Трансцендентальды сандармен таныстыру, «Addison – Wesley Publishing Company, (1966)
  • Лелонг, Пьер (1971), «Valeurs algébriques d'une application méromorphe (d'après E. Bombieri) Exp. № 384», Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Математика сабақтары, 244, Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, 29-45 б., дои:10.1007 / BFb0058695, ISBN  978-3-540-05720-8, МЫРЗА  0414500
  • Шнайдер, Теодор (1949), «Ein Satz über ganzwertige Funktionen als Prinzip für Transzendenzbeweise», Mathematische Annalen, 121: 131–140, дои:10.1007 / BF01329621, ISSN  0025-5831, МЫРЗА  0031498
  • Уольдшмидт, Мишель (1979), Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque, 69, Париж: Société Mathématique de France