Шилдерс теоремасы - Schilders theorem - Wikipedia

Жылы математика, Шилдер теоремасы нәтижесі болып табылады үлкен ауытқулар теориясы туралы стохастикалық процестер. Шилдер теоремасы өрескел айтқанда, (кішірейтілген) үлгі жолының ықтималдығын бағалайды Броундық қозғалыс орташа жолдан алыс болады (ол 0 мәнімен тұрақты). Бұл мәлімдеме нақты қолданылған жылдамдық функциялары. Шилдер теоремасы Фрейдлин-Вентселл теоремасы үшін Бұл диффузиялар.

Мәлімдеме

Келіңіздер B стандартты броундық қозғалыс болыңыз г.-өлшемді Евклид кеңістігі R^г. басынан бастап, 0 ∈R^г.; рұқсат етіңіз W белгілеу заң туралы B, яғни классикалық Wiener шарасы. Үшін ε > 0, рұқсат етіңіз W_ε қалпына келтірілген процестің заңын белгілеңіз √εB. Содан кейін Банах кеңістігі C₀ = C₀([0, Т]; R^г.) үздіксіз функциялар ${ displaystyle f: [0, T] longrightarrow mathbf {R} ^ {d}}$ осындай ${ displaystyle f (0) = 0}$жабдықталған супремум нормасы ||·||_∞, ықтималдық шаралары W_ε үлкен ауытқулар принципін жақсы жылдамдық функциясымен қанағаттандыру Мен : C₀ → R ∪ {+ ∞} берілген

${ displaystyle I ( omega) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} | { dot { omega}} (t) | ^ {2} , mathrm {d} t}$

егер ω болып табылады мүлдем үздіксіз, және Мен(ω) Әйтпесе = + ∞. Басқаша айтқанда, әрқайсысы үшін ашық жиынтық G ⊆ C₀ және әрқайсысы жабық жиынтық F ⊆ C₀,

${ displaystyle limsup _ { varepsilon downarrow 0} varepsilon log mathbf {W} _ { varepsilon} (F) leq - inf _ { omega in F} I ( omega)}$

және

${ displaystyle liminf _ { varepsilon downarrow 0} varepsilon log mathbf {W} _ { varepsilon} (G) geq - inf _ { omega in G} I ( omega).}$

Мысал

Қабылдау ε = 1/в², стандартты броундық қозғалыс ықтималдығын бағалау үшін Шилдер теоремасын қолдануға болады B одан әрі адасады в уақыт аралығы бойынша оның бастапқы нүктесінен [0,Т], яғни ықтималдылық

${ displaystyle mathbf {W} (C_ {0} smallsetminus mathbf {B} _ {c} (0; | cdot | _ { infty})) equiv mathbf {P} { big [} | B | _ { infty}> c { big]},}$

сияқты в шексіздікке ұмтылады. Мұнда B_в(0; ||·||_∞) дегенді білдіреді ашық доп радиустың в нөл функциясы туралы C₀, қатысты қабылданған супремум нормасы. Бірінші ескеріңіз

${ displaystyle | B | _ { infty}> c iff { sqrt { varepsilon}} B in A: = left { omega in C_ {0} mid | omega (t ) |> 1 { text {for}}} t in [0, T] right }.}$

Жылдамдық функциясы үздіксіз болғандықтан A, Шилдер теоремасы нәтиже береді

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {c to infty} { frac { log left ( mathbf {P} left [ | B | _ { infty}> c right ] оңға)} {c ^ {2}}} & = lim _ { varepsilon -дан 0} varepsilon log солға ( mathbf {P} солға [{ sqrt { varepsilon}} B A right] right) [6pt] & = - inf left { left. { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} | { dot { omega}} (t) | ^ {2} , mathrm {d} t , right | , omega in A right } [6pt] & = - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} { frac {1} {T ^ {2}}} , mathrm {d} t [6pt] & = - { frac {1} {2T}}, end {aligned}}}$

фактісін пайдалану шексіз коллекциядағы жолдар үстінде A үшін қол жеткізілді ω(т) = т ⁄ Т. Бұл нәтижені эвристикалық тұрғыдан үлкен деп айтуға болады в және / немесе үлкен Т

${ displaystyle { frac { log left ( mathbf {P} left [ | B | _ { infty}> c right] right)} {c ^ {2}}} approx - { frac {1} {2T}} qquad { text {or}} qquad mathbf {P} left [ | B | _ { infty}> c right] approx exp left (- { frac {c ^ {2}} {2T}} оң).}$

Шын мәнінде, жоғарыда келтірілген ықтималдықты дәлірек бағалауға болады: үшін B стандартты броундық қозғалыс Rⁿжәне кез келген Т, в және ε > 0, бізде:

${ displaystyle mathbf {P} left [ sup _ {0 leq t leq T} left | { sqrt { varepsilon}} B_ {t} right | geq c right] leq 4n exp left (- { frac {c ^ {2}} {2nT ​​ varepsilon}} right).}$

Әдебиеттер тізімі

• Дембо, Амир; Цейтуни, Офер (1998). Ауытқулардың үлкен әдістері мен қолданылуы. Математиканың қосымшалары (Нью-Йорк) 38 (Екінші басылым). Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. xvi + 396 бет. ISBN  0-387-98406-2. МЫРЗА  1619036. (5.2 теоремасын қараңыз)