Riesz қайта құру теңсіздігі - Riesz rearrangement inequality

Жылы математика, Riesz қайта құру теңсіздігі (кейде аталады Ризес-Соболев теңсіздік) кез келген үш теріс емес функция үшін екенін айтады ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$, ${ displaystyle g: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$ және ${ displaystyle h: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$ теңсіздікті қанағаттандырады

${ displaystyle iint _ { mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n}} f (x) g (xy) h (y) , dx , dy leq iint _ { mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n}} f ^ {*} (x) g ^ {*} (xy) h ^ {*} (y) , dx , dy,}$

қайда ${ displaystyle f ^ {*}: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$, ${ displaystyle g ^ {*}: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$ және ${ displaystyle h ^ {*}: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {+}}$ болып табылады симметриялы кемитін қайта құрылымдар функциялар ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle g}$ және ${ displaystyle h}$ сәйкесінше.

Тарих

Алдымен теңсіздік дәлелдеді Фригес Риз 1930 жылы,^[1] 1938 жылы С.Л.Соболев өз бетінше сөгіс берді. Оны көптеген айнымалыларға әсер ететін көптеген функцияларды ерікті түрде (бірақ ақырында) жалпылауға болады.^[2]

Қолданбалар

Ризадағы қайта құру теңсіздігін дәлелдеуге болады Поля-Сегег теңсіздігі.

Дәлелдер

Бір өлшемді жағдай

Бір өлшемді жағдайда теңсіздік алдымен функциялар кезінде дәлелденеді ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle g}$ және ${ displaystyle h}$ болып табылады сипаттамалық функциялар аралықтардың соңғы одақтары. Сонда теңсіздікті өлшенетін жиындардың сипаттамалық функцияларына, ақырғы мәндер санын алатын өлшенетін функцияларға және ең соңында теріс емес өлшенетін функцияларға дейін кеңейтуге болады.^[3]

Жоғары өлшемді жағдай

Бір өлшемді жағдайдан жоғары өлшемді жағдайға өту үшін сфералық қайта құрылымдауды Штайнер симметриялаумен жақындатады, ол үшін бір өлшемді аргумент Фубини теоремасымен тікелей қолданылады.^[4]

Теңдік жағдайлары

Үш функцияның кез-келгені қатаң симметриялы кемитін функция болған жағдайда, теңдік тек қалған екі функция тең болғанда ғана, олардың аудармасы дейін, олардың симметриялы кемімейтін қайта құруларына дейін болады.^[5]

Әдебиеттер тізімі