Риман сериясының теоремасы - Riemann series theorem

Жылы математика, Риман сериясының теоремасы (деп те аталады Риманды қайта құру теоремасы), 19 ғасырдағы неміс математигінің есімімен аталады Бернхард Риман, дейді егер шексіз серия нақты сандар шартты конвергентті, онда оның шарттарын а ауыстыру жаңа серия ерікті нақты санға немесе айырмашылықтар.

Мысал ретінде, 1 - 1 + 1/2 - 1/2 + 1/3 - 1/3 + ... қатарлары 0-ге жақындайды (терминдердің жеткілікті көп мөлшері үшін ішінара сома ерікті түрде 0-ге жуықтайды) ; бірақ барлық мүшелерді олардың абсолютті мәндерімен ауыстыру шексіздікке жететін 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ... береді. Осылайша, бастапқы серия шартты түрде конвергентті болады және оны қайта құруға болады (алғашқы екі оң мүшені, содан кейін бірінші теріс мүшені, содан кейін келесі екі оң мүшені, содан кейін келесі теріс мүшені және т.с.с.) жинақтап, қатарды береді. басқа қосындыға: 1 + 1/2 - 1 + 1/3 + 1/4 - 1/2 + ... = лн 2. Жалпы, бұл процедураны б оң, содан кейін q негативтер ln сомасын береді (б/q). Басқа қайта құру басқа ақырлы сомаларды береді немесе ешқандай қосындыға жақындамайды.

Анықтамалар

Серия ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ жақындасады егер мән бар болса ${ displaystyle ell}$ сияқты жүйелі ішінара сомалардың

{ displaystyle (S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, ldots), quad S_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k},}

жақындайды ${ displaystyle ell}$ . Яғни кез келген үшін ε > 0, бүтін сан бар N егер солай болса n ≥ N, содан кейін

{ displaystyle left vert S_ {n} - ell right vert leq epsilon.}

Серия шартты түрде жинақталады егер серия болса ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ жинақталады, бірақ қатар ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} сол жақ vert a_ {n} right vert}$ айырмашылықтар.

Орын ауыстыру жай а биекция бастап орнатылды туралы натурал сандар өзіне. Бұл дегеніміз, егер ${ displaystyle sigma}$ бұл кез-келген оң бүтін сан үшін ауыстыру болып табылады ${ displaystyle b,}$ дәл бір оң бүтін сан бар ${ displaystyle a}$ осындай ${ displaystyle sigma (a) = b.}$ Атап айтқанда, егер ${ displaystyle x neq y}$ , содан кейін ${ displaystyle sigma (x) neq sigma (y)}$ .

Теореманың тұжырымы

Айталық ${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots)}$ болып табылады нақты сандар және сол ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ шартты түрде конвергентті. Келіңіздер ${ displaystyle M}$ нақты сан болуы керек. Сонда а бар ауыстыру ${ displaystyle sigma}$ осындай

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a _ { sigma (n)} = M.}

Сондай-ақ, ауыстыру бар ${ displaystyle sigma}$ осындай

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a _ { sigma (n)} = infty.}

Қосынды екіге бөлінетін етіп өзгертуге болады ${ displaystyle - infty}$ немесе шектеулі, шекті немесе шексіз шектерге жақындамау.

Ауыспалы гармоникалық қатарлар

Қосынды өзгерту

The ауыспалы гармоникалық қатарлар - шартты конвергентті қатардың классикалық мысалы:

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}}}

конвергентті, ал

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { bigg |} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} { bigg |}}

қарапайым гармоникалық қатар алшақтайды. Стандартты презентацияда ауыспалы гармоникалық қатар ln (2) -ге жақындаса да, оның шарттары кез-келген санға жақындау, тіпті алшақтау үшін орналасуы мүмкін. Мұның бір мысалы келесідей. Әдеттегі тәртіпте жазылған сериядан бастаңыз,

{ displaystyle 1 - { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} - { frac {1} {4}} + cdots}

және шарттарды өзгертіңіз:

{ displaystyle 1 - { frac {1} {2}} - { frac {1} {4}} + { frac {1} {3}} - { frac {1} {6}} - { frac {1} {8}} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {10}} - { frac {1} {12}} + cdots}

мұндағы өрнек: алғашқы екі мүше 1 және −1/2, олардың қосындысы 1/2 құрайды. Келесі мүше - −1 / 4. Келесі екі мүше - 1/3 және −1/6, олардың қосындысы 1/6. Келесі мүше - /1 / 8. Келесі екі мүше - 1/5 және −1/10, олардың қосындысы 1/10. Жалпы, қосынды үш блоктан тұрады:

{ displaystyle { frac {1} {2k-1}} - { frac {1} {2 (2k-1)}} - { frac {1} {4k}}, quad k = 1,2 , нүкте.}

Бұл шынымен ауыспалы гармоникалық қатарды қайта құру: әр тақ бүтін сан оң рет, ал жұп бүтін сандар әрқайсысы бір рет теріс шығады (олардың жартысы 4-ке еселік, екінші жартысы тақ сандардан екі есе есе көп). Бастап

{ displaystyle { frac {1} {2k-1}} - { frac {1} {2 (2k-1)}} = { frac {1} {2 (2k-1)}},}

бұл серияны жазуға болады:

{ displaystyle { frac {1} {2}} - { frac {1} {4}} + { frac {1} {6}} - { frac {1} {8}} + { frac {1} {10}} + cdots + { frac {1} {2 (2k-1)}} - { frac {1} {2 (2k)}} + cdots}

{ displaystyle = { frac {1} {2}} сол жақ (1 - { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} - cdots right) = { frac {1} {2}} ln (2)}

бұл әдеттегі соманың жартысына тең.

Ерікті қосынды алу

Алдыңғы бөлімнің нәтижесін қалпына келтірудің және жалпылаудың тиімді әдісі - бұл фактіні пайдалану

{ displaystyle 1+ {1 over 2} + {1 over 3} + cdots + {1 over n} = gamma + ln n + o (1),}

қайда γ болып табылады Эйлер – Маскерони тұрақты, және қайда o (1) белгісі ағымдағы айнымалыға тәуелді болатын шаманы білдіреді (мұндағы айнымалыn) айнымалы шексіздікке ұмтылған кезде бұл шама 0-ге жететіндей етіп.

Бұдан қосындысы шығады q тіпті шарттар қанағаттандырады

{ displaystyle {1 over 2} + {1 over 4} + {1 over 6} + cdots + {1 over 2q} = {1 over 2} , gamma + {1 over 2 } ln q + o (1),}

және айырмашылықты қабылдау арқылы біреудің қосындысын көреді б тақ шарттар қанағаттандырады

{ displaystyle {1} + {1 over 3} + {1 over 5} + cdots + {1 over 2p-1} = {1 over 2} , gamma + {1 over 2} ln p + ln 2 + o (1).}

Екі натурал сан болсын делік а және б берілген, және ауыспалы гармоникалық қатарды қайта құру ретімен, а ауыспалы гармоникалық қатардан оң терминдер, содан кейін б теріс терминдер және бұл заңдылықты шексіздікте қайталау (ауыспалы қатардың өзі сәйкес келеді а = б = 1, алдыңғы бөлімдегі мысал сәйкес келеді а = 1, б = 2):

{ displaystyle {1} + {1 3} үстінде + cdots + {1 2a-1 үстінде - {1 2} - {1 4} - cdots - {1 2b} үстінде} + {1 2a + 1} + cdots + {1 4a-1} үстінде - {1 2b + 2} үстінде - cdots}

Содан кейін тапсырыс ішінара (а+б)n осы қайта ұйымдастырылған сериядан тұрады б = а n оң тақ шарттар және q = б n теріс, тіпті терминдер

{ displaystyle S _ {(a + b) n} = {1 over 2} ln p + ln 2- {1 over 2} ln q + o (1) = {1 over 2} ln ( a / b) + ln 2 + o (1).}

Бұдан шығатын осы қатардың қосындысы мынада

{ displaystyle {1 over 2} ln (a / b) + ln 2 = ln { bigl (} 2 { sqrt {a / b}} { bigr)}.}

Енді, әдетте, ауыспалы гармоникалық қатардың қайта реттелген қатары арақатынаста болатындай етіп ұйымдастырылды делік. б_n / q_n реттік ішінара қосындыдағы оң және теріс мүшелер саны арасындағы n оң шекті деңгейге ұмтылады р. Сонда мұндай қайта құрудың қосындысы болады

{ displaystyle ln { bigl (} 2 { sqrt {r}} { bigr)},}

және бұл кез-келген нақты сан екенін түсіндіреді х ауыспалы гармоникалық қатардың қайта реттелген қатарының қосындысы ретінде алуға болады: шегі болатын қайта реттеуді құру жеткілікті р тең е^2х / 4.

Дәлел

Кез-келген позитивті шындыққа сәйкес келетін қайта құрылымдаудың болуы М

Қарапайымдылық үшін бұл дәлел бірінші кезекте қажет а_n . 0 әрқайсысы үшін n. Жалпы жағдай төменде келтірілген қарапайым түрлендіруді қажет етеді. Еске салайық, нақты терминдердің шартты конвергентті қатарында шексіз көп терістік және шексіз көптеген оң мүшелер болады. Біріншіден, екі шаманы анықтаңыз, ${ displaystyle a_ {n} ^ {+}}$ және ${ displaystyle a_ {n} ^ {-}}$ автор:

{ displaystyle a_ {n} ^ {+} = { frac {a_ {n} + | a_ {n} |} {2}}, quad a_ {n} ^ {-} = { frac {a_ { n} - | a_ {n} |} {2}}.}

Яғни серия ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} ^ {+}}$ барлығын қамтиды а_n оң, барлық теріс шарттар нөлге ауыстырылған және қатар ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} ^ {-}}$ барлығын қамтиды а_n барлық оң шарттар нөлге ауыстырылған теріс. Бастап ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ оң және теріс қатарлары шартты түрде конвергентті. Келіңіздер М оң нақты сан болу. Ретінде жеткілікті оң терминдерді алыңыз ${ displaystyle a_ {n} ^ {+}}$ олардың сомасы асып түсетін етіпМ. Біз талап етеміз делік б терминдер - онда келесі тұжырым дұрыс:

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {p-1} a_ {n} ^ {+} leq M < sum _ {n = 1} ^ {p} a_ {n} ^ {+}. }

Бұл кез-келген адам үшін мүмкін М > 0, өйткені ішінара қосындылары ${ displaystyle a_ {n} ^ {+}}$ бейім ${ displaystyle + infty}$ . Жазуға болатын нөлдік шарттарды алып тастау

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {p} a_ {n} ^ {+} = a _ { sigma (1)} + cdots + a _ { sigma (m_ {1})}, quad a _ { sigma (j)}> 0, sigma (1) < ldots < sigma (m_ {1}) = p.}

Енді біз тек жеткілікті теріс терминдерді қосамыз ${ displaystyle a_ {n} ^ {-}}$ , айт q алынған сома аз болатындай етіп, олардың М. Бұл әрқашан мүмкін, өйткені ішінара қосындылары ${ displaystyle a_ {n} ^ {-}}$ бейім ${ displaystyle - infty}$ . Енді бізде:

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {p} a_ {n} ^ {+} + sum _ {n = 1} ^ {q} a_ {n} ^ {-}

Тағы да біреу жазуы мүмкін

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {p} a_ {n} ^ {+} + sum _ {n = 1} ^ {q} a_ {n} ^ {-} = a _ { sigma ( 1)} + cdots + a _ { sigma (m_ {1})} + a _ { sigma (m_ {1} +1)} + cdots + a _ { sigma (n_ {1})},}

бірге

{ displaystyle sigma (m_ {1} +1) < ldots < sigma (n_ {1}) = q.}

Карта σ инъекциялық, ал 1 диапазонына жатады σ, немесе 1 кескін ретінде (егер а₁ > 0) немесе кескін ретінде м ₁ + 1 (егер а₁ <0). Енді тек оң терминдерді қосу процесін қайталаңызМ, бастап n = б + 1, содан кейін кем болатындай теріс терминдерді қосыңызМ, бастап n = q + 1. Ұзарту σ инъекциялық тәсілмен, осы уақытқа дейін таңдалған барлық шарттарды қамту үшін және оны сақтаңыз а₂ қазір немесе бұрын таңдалған болуы керек, осылайша 2 осы кеңейту ауқымына жатады. Процесс мұндай шексіз көп болады «бағыттың өзгеруі«. Ақыр соңында біреу қайта құрылымдауды алады ∑ а_σ (n). Бірінші бағыт өзгергеннен кейін әрбір ішінара қосындысы ∑ а_σ (n) ерекшеленеді М абсолюттік мәні бойынша ${ displaystyle a_ {p_ {j}} ^ {+}}$ немесе ${ displaystyle | a_ {q_ {j}} ^ {-} |}$ соңғы бағыт өзгерген кезде пайда болған термин туралы. Бірақ ∑ а_n жақындасады, осылайша n әрқайсысы шексіздікке ұмтылады а_n, ${ displaystyle a_ {p_ {j}} ^ {+}}$ және ${ displaystyle a_ {q_ {j}} ^ {-}}$ 0-ге өтіңіз. Осылайша, ішінара қосындылары ∑ а_σ (n) бейім М, сондықтан келесі:

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a _ { sigma (n)} = M.}

Конвергенцияны көрсету үшін дәл осы әдісті қолдануға болады М теріс немесе нөл.

Енді қайта құрылымдаудың ресми индуктивті анықтамасын беруге болады σ, бұл жалпы жұмыс істейді. Әрбір бүтін сан үшін к ≥ 0, ақырлы жиынтық A_к бүтін сандар және нақты сан S_к анықталды. Әрқайсысы үшін к > 0, индукция мәнді анықтайды σ(к), жиынтық A_к мәндерден тұрады σ(j) үшін j ≤ к және S_к қайта реттелген қатардың ішінара қосындысы болып табылады. Анықтама келесідей:

Үшін к = 0, индукция басталады A₀ бос және S₀ = 0.
Әрқайсысы үшін к ≥ 0, екі жағдай бар: егер S_к ≤ М, содан кейін σ(к+1) - ең кіші бүтін сан n Such 1 осылай n жоқ A_к және а_n ≥ 0; егер S_к > М, содан кейін σ(к+1) - ең кіші бүтін сан n Such 1 осылай n жоқ A_к және а_n <0. Екі жағдайда да бір жиынтық

{ displaystyle A_ {k + 1} = A_ {k} cup { sigma (k + 1) } ,; quad S_ {k + 1} = S_ {k} + a _ { sigma (k) +1)}.}

Жоғарыда келтірілген дәлелдерді қолдана отырып дәлелдеуге болады σ бүтін сандардың орнын ауыстыру және берілген қатардың берілген нақты санға жақындауыМ.

Шексіздікке қарай өзгеретін қайта құрылымдаудың болуы

Келіңіздер ${ displaystyle textstyle sum _ {i = 1} ^ { infty} a_ {i}}$ шартты конвергентті қатар болу. Төменде осы серияның ұмтылатын қайта құрылымы бар екендігінің дәлелі келтірілген ${ displaystyle infty}$ (дәлелдеуге осыған ұқсас аргумент қолдануға болады ${ displaystyle - infty}$ қол жеткізуге болады).

Келіңіздер ${ displaystyle p_ {1}$ әрқайсысы сияқты индекстер тізбегі болыңыз ${ displaystyle a_ {p_ {i}}}$ оң және анықтаңыз ${ displaystyle n_ {1}$ әрқайсысы сияқты индекстер болуы керек ${ displaystyle a_ {n_ {i}}}$ теріс (тағы да солай деп болжайды ${ displaystyle a_ {i}}$ ешқашан 0). Әрбір натурал сан тізбектердің дәл біреуінде пайда болады ${ displaystyle (p_ {i})}$ және ${ displaystyle (n_ {i}).}$

Келіңіздер ${ displaystyle b_ {1}}$ ең кіші натурал сан болыңыз

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {b_ {1}} a_ {p_ {i}} geq | a_ {n_ {1}} | +1.}

Мұндай құндылық содан бері болуы керек ${ displaystyle (a_ {p_ {i}}),}$ позитивті шарттарының тізбегі ${ displaystyle (a_ {i}),}$ айырмашылықтар. Сол сияқты, рұқсат етіңіз ${ displaystyle b_ {2}}$ ең кіші натурал сан болуы керек:

{ displaystyle sum _ {i = b_ {1} +1} ^ {b_ {2}} a_ {p_ {i}} geq | a_ {n_ {2}} | +1,}

және тағы басқа. Бұл ауыстыруға әкеледі

{ displaystyle ( sigma (1), sigma (2), sigma (3), ldots) = (p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {b_ {1}}, n_ { 1}, p_ {b_ {1} +1}, p_ {b_ {1} +2}, ldots, p_ {b_ {2}}, n_ {2}, ldots).}

Қайта ұйымдастырылған серия, ${ displaystyle textstyle sum _ {i = 1} ^ { infty} a _ { sigma (i)},}$ содан кейін бөлінеді ${ displaystyle infty}$ .

Жолдан ${ displaystyle b_ {i}}$ таңдалды, нәтижесінде біріншісінің қосындысы шығады ${ displaystyle b_ {1} +1}$ қайта реттелген қатардың шарттары кем дегенде 1-ге тең және бұл топтағы ішінара қосындысы 0-ден кем емес. Сол сияқты, келесі соманың қосындысы ${ displaystyle b_ {2} -b_ {1} +1}$ шарттар, сондай-ақ, кем дегенде 1-ге тең, және осы топтағы ішінара қосынды 0-дан кем емес. Жалғастыра отырып, бұл қайта ұйымдастырылған соманың шынымен де бейім екендігін дәлелдеу үшін жеткілікті ${ displaystyle infty.}$

Шекті немесе шексіз шектерге жете алмайтын қайта құрылымдаудың болуы

Шындығында, егер ${ displaystyle { displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}}$ шартты түрде конвергентті болса, онда оның қайта реттелгендігі бар, қайта реттелген қатардың ішінара қосындылары ${ displaystyle mathbb {R}}$ .^{[дәйексөз қажет ]}

Жалпылау

Серпий теоремасы

Риман теоремасында берілген мәнді алу үшін шартты конвергентті қатарды қайта құру үшін қолданылатын ауыстыру ${ displaystyle mathbf {R} cup { infty, - infty }}$ мүмкін көптеген тұрақты емес нүктелер болуы мүмкін, яғни серия шарттарының барлық индекстері өзгертілуі мүмкін. Тек индекстерді шартты конвергентті қатар ерікті түрде таңдалған нақты санға жақындайтын немесе (оң немесе теріс) шексіздікке ауысатын етіп кіші жиында қайта орналастыруға бола ма деп сұрауға болады. Бұл сұрақтың жауабы оң: Серпьский кейбір қатаң позитивті немесе тек кейбір теріс терминдерді қайта құруға жеткілікті екенін дәлелдеді.^[1]^[2]^[3]

Бұл сұрақ сонымен қатар ұғымы арқылы зерттелген мұраттар мысалы: Вильцинский тек нөлдік асимптотикалық тығыздық жиынтығының индикаторларын қайта құру үшін жеткілікті екенін дәлелдеді.^[4] Филипов пен Шука басқа идеалдардың да осы қасиетке ие екендігін дәлелдеді.^[5]

Штайниц теоремасы

Жақындасатын қатар берілген ∑ а_n туралы күрделі сандар, барлық қатарлар үшін мүмкін болатын қосындылардың жиынтығын қарастырған кезде бірнеше жағдайлар болуы мүмкін ∑ а_σ (n) осы қатардың шарттарын қайта құру (өзгерту) арқылы алынған:

серия ∑ а_n сөзсіз шоғырлануы мүмкін; содан кейін барлық қайта реттелген қатарлар жинақталады және олардың қосындылары бірдей болады: қайта реттелген қатарлардың қосындыларының жиынтығы бір нүктеге дейін азаяды;
серия ∑ а_n сөзсіз жинақталмауы мүмкін; егер S сол жиынтықтың қайтадан реттелген қосындыларының жиынтығын, содан кейін жиынтығын білдіреді S сызық L күрделі жазықтықтаC, форманың

{ displaystyle L = {a + tb: t in mathbf {R} }, quad a, b in mathbf {C}, b neq 0,}

немесе жиынтық S бұл бүкіл күрделі жазықтықC.

Жалпы алғанда, ақырлы өлшемді шындықтағы векторлардың жинақталу сериясы берілген векторлық кеңістік E, қайта реттелген қатарлардың қосындыларының жиынтығы an аффиндік кеңістік туралыE.

Сондай-ақ қараңыз

Қайта реттеу және сөзсіз конвергенция

Әдебиеттер тізімі

^ Сьерпински, Вацлав (1910). «Contribution à la théorie des séries divergentes». Комп. Көрсету. Soc. Ғылыми. Варсовье. 3: 89–93.
^ Сьерпински, Вацлав (1910). «Remarque sur la théorème de Riemann relatif aux séries жартылай конвергенттер». Prac. Мат Физ. ХХІ: 17–20.
^ Сьерпински, Вацлав (1911). «Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes». Өгіз. Интерн. Акад. Ғылыми еңбектер: Кракови А.. 149-158.
^ Вильцинский, Владислав (2007). «Риманның бұзылу теоремасы туралы». Слуп. Пр. Мат.-физ. 4: 79–82.
^ Филипов, Рафал; Шука, Пиотр (ақпан 2010). «Шағын жиынтықта шартты конвергентті қатарларды қайта реттеу». Математикалық анализ және қолдану журналы. 362 (1): 64–71. дои:10.1016 / j.jmaa.2009.07.029.

Апостол, Том (1975). Есептеме, 1-том: Сызықтық алгебраға кіріспесі бар бір айнымалы есеп.
Банашчик, Войцех (1991). «3.10 тарау Леви-Штайниц теоремасы ". Топологиялық векторлық кеңістіктің аддитивті топшалары. Математикадан дәрістер. 1466. Берлин: Шпрингер-Верлаг. 93–109 бет. ISBN 3-540-53917-4. МЫРЗА 1119302.
Кадетс, В.М .; Кадетс, М. (1991). «1.1 тарау Риман теоремасы, 6 тарау Стейниц теоремасы және B-қоңырлық ». Банах кеңістігінде серияларды қайта реттеу. Математикалық монографиялардың аудармалары. 86 (Гарольд Х. Макфаденді орыс тілінен аударған (Тарту) 1988 ж. Басылым). Провиденс, RI: Американдық математикалық қоғам. iv + 123 бет. ISBN 0-8218-4546-2. МЫРЗА 1108619.
Кадетс, Михаил I .; Кадетс, Владимир М. (1997). «1.1 тарау Риман теоремасы, 2.1 тарау Стейниц қатарының қосынды диапазоны туралы теоремасы, 7 тарау Стейниц теоремасы және B-қоңырлық ». Банах кеңістігіндегі сериялар: Шартты және шартсыз конвергенция. Операторлар теориясы: жетістіктер және қолданбалар. 94. Андрей Якоб орыс тілінен аударған. Базель: Birkhäuser Verlag. viii + 156. ISBN 3-7643-5401-1. МЫРЗА 1442255.
Вайсштейн, Эрик (2005). Риман сериясының теоремасы. Алынып тасталды 16 мамыр 2005 ж.

[1] Сьерпински, Вацлав (1910). «Contribution à la théorie des séries divergentes». Комп. Көрсету. Soc. Ғылыми. Варсовье. 3: 89–93.

[2] Сьерпински, Вацлав (1910). «Remarque sur la théorème de Riemann relatif aux séries жартылай конвергенттер». Prac. Мат Физ. ХХІ: 17–20.

[3] Сьерпински, Вацлав (1911). «Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes». Өгіз. Интерн. Акад. Ғылыми еңбектер: Кракови А.. 149-158.

[4] Вильцинский, Владислав (2007). «Риманның бұзылу теоремасы туралы». Слуп. Пр. Мат.-физ. 4: 79–82.

[5] Филипов, Рафал; Шука, Пиотр (ақпан 2010). «Шағын жиынтықта шартты конвергентті қатарларды қайта реттеу». Математикалық анализ және қолдану журналы. 362 (1): 64–71. дои:10.1016 / j.jmaa.2009.07.029.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]