Беттерге арналған Риман-Рох теоремасы - Riemann–Roch theorem for surfaces

Беттерге арналған Риман-Рох теоремасы

Өріс	Алгебралық геометрия
Бірінші дәлел	Гидо Кастельнуово, Макс Нетер, Федериго Энрикес
Бірінші дәлел	1886, 1894, 1896, 1897
Жалпылау	Atiyah - әншінің индекс теоремасы Гротендик-Риман-Рох теоремасы Хирзебрух-Риман-Рох теоремасы
Салдары	Риман-Рох теоремасы

Математикада Беттерге арналған Риман-Рох теоремасы сызықтық жүйелердің өлшемдерін сипаттайды алгебралық беті. Оның классикалық түрін алғаш берген Кастельнуово  (1896, 1897 ), оның алдын-ала нұсқалары табылғаннан кейін Жоқ  (1886 ) және (1894 ). The шоқ - теоретикалық нұсқа Хирзебрухқа байланысты.

Мәлімдеме

Риман-Рох теоремасының бір формасында, егер Д. сингулярлы емес проекциялық беттегі бөлгіш

${ displaystyle chi (D) = chi (0) + { tfrac {1} {2}} D. (D-K) ,}$

мұндағы χ голоморфты Эйлерге тән нүкте. болып табылады қиылысу нөмірі, және Қ канондық бөлгіш. Χ (0) тұрақтысы тривиальды байламға тән голоморфты Эйлер болып табылады және 1 + -ге теңб_а, қайда б_а болып табылады арифметикалық түр бетінің Салыстыру үшін қисыққа арналған Риман-Рох теоремасы χ (Д.) = χ (0) + градус (Д.).

Нетер формуласы

Ноетердікі формула айтады

${ displaystyle chi = { frac {c_ {1} ^ {2} + c_ {2}} {12}} = { frac {(K.K) + e} {12}}}$

Мұндағы χ = χ (0) - Эйлердің голоморфты сипаттамасы, c₁² = (Қ.Қ) Бұл Черн нөмірі және каноникалық кластың өзіндік қиылысу саны Қ, және e = c₂ топологиялық Эйлер сипаттамасы болып табылады. Риман-Рох теоремасындағы χ (0) терминін топологиялық терминдермен ауыстыру үшін қолдануға болады; бұл береді Хирзебрух-Риман-Рох теоремасы беттерге арналған.

Хирзебрух-Риман-Рох теоремасына қатысы

Беттер үшін Хирзебрух-Риман-Рох теоремасы Нетер формуласымен біріктірілген беттерге арналған Риман-Роч теоремасы. Мұны көру үшін әр бөлгіш үшін еске түсіріңіз Д. бетінде ан бар төңкерілетін шоқ L = O (Д.) сызықтық жүйесі Д. -ның бөлімдерінің кеңістігі аз немесе көп L. Беттер үшін Тодд класы сәйкес келеді ${ displaystyle 1 + c_ {1} (X) / 2 + (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X)) / 12}$, және пучтың Черн сипаты L жай ${ displaystyle 1 + c_ {1} (L) + c_ {1} (L) ^ {2} / 2}$, сондықтан Хирзебрух-Риман-Рох теоремасы айтады

${ displaystyle { begin {aligned} chi (D) & = h ^ {0} (L) -h ^ {1} (L) + h ^ {2} (L) & = { frac { 1} {2}} c_ {1} (L) ^ {2} + { frac {1} {2}} c_ {1} (L) , c_ {1} (X) + { frac {1) } {12}} солға (с_ {1} (Х) ^ {2} + с_ {2} (Х) оңға) соңы {тураланған}}}$

Бақытымызға орай, оны келесідей айқынырақ түрде жазуға болады. Бірінші қою Д. = 0 мұны көрсетеді

${ displaystyle chi (0) = { frac {1} {12}} сол жақ (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X) оң)}$ (Нетер формуласы)

Айнымалы қабықшалар үшін (сызық байламдары) екінші Черн класы жоғалады. Екінші когомология сабақтарының өнімдерін -дегі қиылысу сандарымен анықтауға болады Пикард тобы және біз беттерге арналған Riemann Roch классикалық нұсқасын аламыз:

${ displaystyle chi (D) = chi (0) + { frac {1} {2}} (D.D-D.K)}$

Қаласақ, қолдана аламыз Серреализм білдіру сағ²(O (Д.)) сияқты сағ⁰(O (Қ − Д.)), бірақ қисықтар жағдайынан айырмашылығы, жалпыға оңай жазудың жолы жоқ сағ¹(O (Д.)) периодты когомологияны қамтымайтын түрдегі термин (бірақ іс жүзінде ол жиі жоғалып кетеді).

Ерте нұсқалары

Риман-Рох теоремасының беттерге арналған алғашқы формалары көбіне теңдікке емес теңсіздікке негізделген, өйткені алғашқы когомологиялық топтардың геометриялық сипаттамасы болмаған. Типтік мысал келтірілген Зариски (1995 ж.), б. 78), онда көрсетілген

${ displaystyle r geq n- pi + p_ {a} + 1-i}$

қайда

• р толық сызықтық жүйенің өлшемі болып табылады |Д.| бөлгіштің Д. (сондықтан р = сағ⁰(O (Д.)) −1)
• n болып табылады виртуалды дәреже туралы Д., өзіндік қиылысу нөмірімен берілген (Д..Д.)
• π болып табылады виртуалды түр туралы Д., 1 + (D.D + K.D) / 2-ге тең
• б_а болып табылады арифметикалық түр χ (O_F) - 1 беті
• мен болып табылады мамандық индексі туралы Д.күңгіртке тең H⁰(O (Қ − Д.)) (бұл Серрдің қосарлануы күңгіртпен бірдей H²(O (D))).

Бұл теңсіздіктің екі жағының айырмашылығы деп аталады артықшылық с бөлгіштің Д.. Бұл теңсіздікті Риман-Рох теоремасының шеф-теоретикалық нұсқасымен салыстыру көрсеткендей, Д. арқылы беріледі с = күңгірт H¹(O (Д.)). Бөлгіш Д. деп аталды тұрақты егер мен = с = 0 (немесе басқаша айтқанда, егер O барлық жоғары когомологиялық топтары болса (Д.) жоғалу) және өте көп егерс > 0.

Әдебиеттер тізімі

• Алгебралық геометриядағы топологиялық әдістер Авторы Фридрих Хирзебрух ISBN  3-540-58663-6
• Зариски, Оскар (1995), Алгебралық беттер, Математикадағы классика, Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-3-540-58658-6, МЫРЗА  1336146