Квазибелия санаты - Quasi-abelian category

Жылы математика, атап айтқанда категория теориясы, а квази-абелиялық категория Бұл абельге дейінгі категория онда итеру а ядро ерікті морфизмдер бойында қайтадан ядро ​​және қосарланған кері тарту а кокернель ерікті морфизмдер бойымен қайтадан кокернель.

Анықтама

Келіңіздер ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ болуы а абельге дейінгі категория. Морфизм ${ displaystyle f}$ болып табылады ядро (кокернель) егер морфизм болса ${ displaystyle g}$ осындай ${ displaystyle f}$ ядросы болып табылады ${ displaystyle g}$. Санат ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ болып табылады квази-абель егер әрбір ядро ​​үшін болса ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ және әрбір морфизм ${ displaystyle h: X rightarrow Z}$ итеру сызбасында

${ displaystyle { begin {array} {ccc} X & { xrightarrow {f}} & Y downarrow _ {h} && downarrow _ {h '} Z & { xrightarrow {f'}} & Q соңы {массив}}}$

морфизм ${ displaystyle f '}$ қайтадан ядро ​​болып табылады және екі ядролы кез-келген ядро ​​үшін ${ displaystyle g: X rightarrow Y}$ және кез-келген морфизм ${ displaystyle h: Z rightarrow Y}$ кері тарту диаграммасында

${ displaystyle { begin {array} {ccc} P & { xrightarrow {g '}} & Z downarrow _ {h'} ​​&& downarrow _ {h} X & { xrightarrow {g}} & Y соңы {массив}}}$

морфизм ${ displaystyle g '}$ қайтадан кокернель.

Эквивалентті түрде квази-абелия категориясы - бұл барлық ядролар-кокрель жұптарының жүйесі нақты құрылым.

Абелияға дейінгі санатты ескере отырып, ерікті итерулер кезінде тұрақты болатын ядроларды кейде деп атайды жартылай орнықты ядролар. Екі жақты, ерікті кері тарту кезінде тұрақты болып табылатын кокернелдер деп аталады жартылай орнықты кокернелдер.^[1]

Қасиеттері

Келіңіздер ${ displaystyle f}$ квази-абелия санатындағы морфизм болыңыз. Содан кейін индуцирленген морфизм ${ displaystyle { overline {f}}: operatorname {cok} operatorname {ker} f rightarrow operatorname {ker} operatorname {cok} f}$ әрқашан биморфизм, яғни, а мономорфизм және ан эпиморфизм. Квазибелиялық категория әрқашан болып табылады жартылай абель.

Мысалдар

Әрқайсысы абель санаты квазабелия. Әдеттегі емес абелиялық мысалдар функционалдық талдауда туындайды.^[2]

• Санаты Банах кеңістігі квазабелия.
• Санаты Фрешет кеңістігі квазабелия.
• Санаты (Хаусдорф ) жергілікті дөңес кеңістіктер квазабелия.

Тарих

Квазибелия категориясының тұжырымдамасы 1960 жылдары дамыды. Тарих қатысады.^[3] Бұл әсіресе байланысты Райковтың гипотезасы, бұл тұжырымдама а жартылай абелиялық категория квази-абелия санатына тең келеді. 2005 жылы шамамен болжам жалған болып шықты.^[4]

Сол және оң квазабелиялық категориялар

Анықтамадағы екі шартты бөлу арқылы анықтауға болады сол жақ квазабелиялық санаттар кокерельдердің кері тарту кезінде тұрақты болуын талап ету арқылы оң квазабелиялық категориялар ядролардың итерілу кезінде тұрақты болуын талап ету арқылы.^[5]

Дәйексөздер

Әдебиеттер тізімі

• Фабиенн Просманс, Функционалды талдау үшін алынған санаттар. Publ. Res. Инст. Математика. Ғылыми. 36 (5-6), 19-83 (2000).
• Фрел Ричман және Элберт А. Уокер, Абельге дейінгі санаттардағы Ext. Pac. Дж. Математика. 71 (2), 521-535 (1977).
• Wolfgang Rump, Райковтың болжамына қарсы мысал, бұқа. Лондон математикасы. Soc. 40, 985–994 (2008).
• Wolfgang Rump, дерлік абель санаттары, Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 42 (3), 163-225 (2001).
• Вольфганг Румп, Райков проблемасын аналық және борологиялық кеңістіктерге қосымшалармен талдау, Дж. Пюр және Аппл. Алгебра 215, 44-52 (2011).
• Жан Пьер Шнайдерс, квази-абелиялық категориялар мен шоқтар, Mém. Soc. Математика. Фр. Ноу. Сер. 76 (1999).