Позитивті сызықтық оператор - Positive linear operator

Бұл мақалада бірнеше мәселе бар. Өтінемін көмектесіңіз оны жақсарту немесе осы мәселелерді талқылау талқылау беті. (Бұл шаблон хабарламаларын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл мақала үшін қосымша дәйексөздер қажет тексеру. Өтінемін көмектесіңіз осы мақаланы жақсарту арқылы дәйексөздерді сенімді дерек көздеріне қосу. Ресурссыз материалға шағым жасалуы және алынып тасталуы мүмкін. Дереккөздерді табу: «Оң сызықтық оператор»  – жаңалықтар  · газеттер  · кітаптар  · ғалым  · JSTOR (Маусым 2020) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) The осы мақаланың жетекші бөлімі қайта жазу керек болуы мүмкін. Келтірілген себеп: Жетекші мақала мазмұнының қысқаша мазмұны болуы керек. Пайдаланыңыз қорғасынды орналастыру жөніндегі нұсқаулық бөлімнің Уикипедия нормаларына сәйкес келуін қамтамасыз ету үшін және барлық маңызды бөлшектерден тұрады. (Маусым 2020) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Жылы математика, нақтырақ айтқанда функционалдық талдау, а оң сызықтық оператор ан алдын-ала берілген векторлық кеңістік (X, ≤) алдын-ала берілген векторлық кеңістікке (Y, ≤) а сызықтық оператор f қосулы X ішіне Y бәріне арналған оң элементтер х туралы X, Бұл х ≥ 0, оны ұстайды f(х) ≥ 0. Басқаша айтқанда, оң сызықтық оператор. -Ның оң конусын бейнелейді домен оң конусына кодомейн.

Әрқайсысы оң сызықтық функционалды оң сызықтық оператордың бір түрі болып табылады. Оң сызықтық операторлардың маңыздылығы сияқты нәтижелерде жатыр Риес-Марков-Какутани ұсыну теоремасы.

Канондық тапсырыс

Келіңіздер (X, ≤) және (Y, ≤) алдын-ала берілген векторлық кеңістіктер болсын және рұқсат етіңіз ${ displaystyle { mathcal {L}} (X; Y)}$ барлық сызықтық карталардың кеңістігі болуы керек X ішіне Y. Жинақ H барлық оң сызықтық операторлардың ${ displaystyle { mathcal {L}} (X; Y)}$ конус болып табылады ${ displaystyle { mathcal {L}} (X; Y)}$ алдын ала тапсырыс беруді анықтайды ${ displaystyle { mathcal {L}} (X; Y)}$. Егер М векторының ішкі кеңістігі болып табылады ${ displaystyle { mathcal {L}} (X; Y)}$ және егер H ∩ М тиісті конус болса, онда бұл дұрыс конус а анықтайды канондық ішінара тапсырыс М жасау М ішінара реттелген векторлық кеңістікке.^[1]

Егер (X, ≤) және (Y, ≤) болып табылады топологиялық векторлық кеңістіктер және егер ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ жиынтығының жиынтық жиынтығы X оның одағы қамтиды X содан кейін оң конус ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ жылы ${ displaystyle L (X; Y)}$, бұл барлық үздіксіз сызықтық карталардың кеңістігі X ішіне Y, жабық ${ displaystyle L (X; Y)}$ қашан ${ displaystyle L (X; Y)}$ -ге ие ${ displaystyle { mathcal {G}}}$-топология.^[1] Үшін ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ дұрыс конус болу ${ displaystyle L (X; Y)}$ оң конусы жеткілікті X жалпы болу X (яғни оң конустың аралығы X тығыз болу X). Егер Y бұл 0-ден үлкен өлшемді жергілікті дөңес кеңістік, сондықтан бұл шарт қажет.^[1] Осылайша, егер оң конусы X барлығы бар X және егер Y - бұл жергілікті дөңес кеңістік, содан кейін канондық тәртіп ${ displaystyle L (X; Y)}$ арқылы анықталады ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ тұрақты тапсырыс болып табылады.^[1]

Қасиеттері

Ұсыныс: Делік X және Y тапсырыс беріледі жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістіктер X болу Макки кеңістігі әрқайсысы оң сызықтық функционалды үздіксіз. Егер оң конус болса Y Бұл әлсіз қалыпты конус жылы Y содан кейін әрбір оң сызықтық оператор X ішіне Y үздіксіз.^[1]

Ұсыныс: Айталық X Бұл баррельмен топологиялық векторлық кеңістік (TVS) оң конусы бар C бұл қанағаттандырады X = C - C және Y Бұл жартылай рефлексивті оң конусы бар ТВ-ға тапсырыс берді Д. бұл а қалыпты конус. Беріңіз L(X; Y) оның канондық реті және рұқсат етілуі ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ ішкі бөлігі болуы керек L(X; Y) жоғары бағытталған немесе мажорланған (мысалы, жоғарыда кейбір элементтерімен шектелген) L(X; Y)) немесе жай шектелген. Содан кейін ${ displaystyle u = sup { mathcal {U}}}$ бар және бөлім сүзгісі ${ displaystyle { mathcal {F}} сол жақ ({ mathcal {U}} оң)}$ жақындайды сен әрбір алдын-ала жинақталған жиынтықта біркелкі X.^[1]

Сондай-ақ қараңыз

• Конус қаныққан
• Оң сызықтық функционалды
• Векторлық тор

Пайдаланылған әдебиеттер

• Нариси, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологиялық векторлық кеңістіктер. Таза және қолданбалы математика (Екінші басылым). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологиялық векторлық кеңістіктер. GTM. 8 (Екінші басылым). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.