Планчерел шарасы - Plancherel measure

Жылы математика, Планчерел шарасы Бұл өлшеу жиынтығында анықталған қысқартылмайтын унитарлық өкілдіктер а жергілікті ықшам топ , бұл тұрақты өкілдіктің қысқартылмайтын унитарлық өкілдіктерге қалай бөлінетінін сипаттайды. Кейбір жағдайларда термин Планчерел шарасы топ контекстінде арнайы қолданылады соңғы симметриялық топ болу - төменде қараңыз. Ол швейцариялық математиктің есімімен аталады Мишель Планчерел оның жұмысы үшін ұсыну теориясы.

Шекті топтарға арналған анықтама

Келіңіздер болуы а ақырғы топ, біз оның жиынтығын белгілейміз қысқартылмайтын өкілдіктер арқылы . Сәйкес Планчерел шарасы жиынтықтың үстінде арқылы анықталады

қайда , және төмендетілмейтін көріністің өлшемін білдіреді . [1]

Симметриялық топ туралы анықтама

Маңызды ерекше жағдай - бұл ақырғы жағдай симметриялық топ , қайда оң бүтін сан. Бұл топ үшін жиынтық қысқартылмайтын көріністер жиынтығымен табиғи биекцияда болады бүтін бөлімдер туралы . Бүтін бөліммен байланысты азайтуға болмайтын көрініс үшін , оның өлшемі тең екені белгілі , саны стандартты жас кесте пішін , сондықтан бұл жағдайда Планчерел шарасы көбінесе берілген ретті бүтін бөлімдер жиынтығының өлшемі ретінде қарастырыладыn, берілген

[2]

Бұл ықтималдықтардың 1-ге тең екендігі комбинаторлық сәйкестіктен туындайды

ол биективті сипатына сәйкес келеді Робинзон-Шенст корреспонденциясы.

Қолдану

Планчерел шарасы табиғи түрде комбинаторлық және ықтималдық проблемаларында пайда болады, әсіресе ең ұзақ өсетін кейінгі кездейсоқ ауыстыру . Осы бағыттағы маңыздылығының нәтижесінде көптеген қазіргі заманғы ғылыми еңбектерде термин Планчерел шарасы тек қана симметриялық топтың жағдайына қатысты .

Ең ұзақ өсетін кейінгіге қосылу

Келіңіздер кездейсоқтың ең ұзын өсетін тізбегінің ұзындығын белгілеңіз ауыстыру жылы біркелкі үлестіруге сәйкес таңдалады. Келіңіздер сәйкес формасын белгілеңіз Жас үстелдер байланысты бойынша Робинзон-Шенст корреспонденциясы. Содан кейін келесі сәйкестілік сақталады:

қайда бірінші қатарының ұзындығын білдіреді . Сонымен қатар, Робинзон - Шенстед корреспонденциясының биективті екендігіне байланысты оның таралуы шығады бұл Plancherel өлшемі . Сонымен, мінез-құлқын түсіну үшін , қарау табиғи нәрсе бірге in Plancherel өлшеміне сәйкес таңдалған , өйткені бұл кездейсоқ екі шаманың ықтималдық үлестірімі бірдей. [3]

Уланған Планчерел шарасы

Планчерел шарасы бойынша анықталады әрбір бүтін сан үшін . Әр түрлі зерттеулерде асимптотикалық мінез-құлық сияқты , бұл пайдалы болды [4] деп аталатын шараны өлшемге дейін кеңейту Уланған Планчерел шарасы, түсірілім алаңында барлық бүтін бөлімдер. Кез келген үшін , Параметрі бар уланған Планчерел өлшемі түсірілім алаңында арқылы анықталады

барлығына . [2]

Планчерелдің өсу процесі

The Планчерелдің өсу процесі болып табылады Жас сызбалар әрқайсысы бұл кездейсоқ тәртіптің жас диаграммасы оның ықтималдық үлестірімі nPlancherel шарасы, және әрбір келесі өзінен бұрын алынған сәйкес бір қорапты қосу арқылы ауысу ықтималдығы

кез келген берілген Жас диаграммалар үшін және өлшемдері n - 1 жәнеnсәйкесінше. [5]

Сонымен, Планчерелдің өсу процесі барлық симметриялы топтардың әртүрлі Планчерел өлшемдерінің табиғи байланысы ретінде немесе балама ретінде кездейсоқ серуендеу қосулы Жас тор. Екенін көрсету қиын емес ықтималдықтың таралуы туралы бұл серуендеумен сәйкес келеді Планчерел шарасы қосулы . [6]

Ықшам топтар

Шағын топтарға арналған Планчерел өлшемі ақырғы топтармен шамалас, тек бұл өлшем шектеулі болмауы керек. Біртұтас қосымшасы - бұл ақырлы өлшемді бейнелеудің дискретті жиынтығы, ал азайтылмайтын ақырлы өлшемділіктің Планчерел өлшемі оның өлшеміне пропорционалды.

Абел топтары

Жергілікті ықшам абел тобының унитарлы қосарлануы тағы бір жергілікті ықшам абел тобына жатады, ал Планчерел өлшемі пропорционалды Хаар өлшемі қос топтың.

Semisimple Lie топтары

Жартылай қарапайым Lie топтарына арналған Plancherel шарасы анықталды Хариш-Чандра. Қолдау жиынтығы шыңдалған өкілдіктер, және, атап айтқанда, барлық унитарлы өкілдіктер қолдау кезінде орын алмауы керек.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Бородин, А .; Окоунков, А. (2000). «Планчерелдің симметриялы топтарға арналған асимптотикасы». Дж.Амер. Математика. Soc. 13:491–515.
  2. ^ а б Йоханссон, К. (2001). «Дискретті ортогоналды көпмүшелік ансамбльдер және Планчерел өлшемі». Математика жылнамалары. 153: 259–296. arXiv:математика / 9906120. дои:10.2307/2661375.
  3. ^ Логан, Б. Ф .; Shepp, L. A. (1977). «Кездейсоқ жас кестеге арналған вариациялық есеп». Adv. Математика. 26:206–222.
  4. ^ Байк Дж .; Дейфт, П .; Йоханссон, К. (1999). «Кездейсоқ ауыстырудың ең ұзын өсетін тізбегінің ұзындығын үлестіру туралы». Дж.Амер. Математика. Soc. 12:1119–1178.
  5. ^ Вершик, А.М .; Керов, С.В. (1985). «Максималды және типтік өлшемдердің асимптотикасы, симметриялы топтың қысқартылған көріністері». Функция. Анал. Қолдану. 19:21–31.
  6. ^ Керов, С. (1996). «Жас диаграммалардың өсуінің дифференциалды моделі». Санкт-Петербург математикалық қоғамының еңбектері.