Керемет нөмір - Perfect number

6 санының мінсіз сан мәртебесінің иллюстрациясы

Жылы сандар теориясы, а мінсіз сан Бұл оң бүтін сан бұл оның оңының қосындысына тең бөлгіштер, нөмірдің өзін қоспағанда. Мысалы, 6 санының 1, 2 және 3 бөлгіштері бар (өзін есептемегенде), ал 1 + 2 + 3 = 6, сондықтан 6 - бұл тамаша сан.

Санның өзін қоспағанда, санның бөлгіштерінің қосындысы оның деп аталады сомасы, сондықтан мінсіз сан дегеніміз оның аликвоттық қосындысына тең. Эквивалентті, мінсіз сан дегеніміз - бұл оның барлық оң бөлгіштерінің қосындысының жартысына тең болатын сан; рәміздерде, σ1(n) = 2n қайда σ1 болып табылады бөлгіштердің қосындысы. Мысалы, 28 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28 сияқты өте жақсы.

Бұл анықтама ежелгі, ерте пайда болды Евклидтікі Элементтер (VII.22) қайда деп аталады τέλειος ἀριθμός (мінсіз, идеалды, немесе толық нөмір). Евклид сонымен қатар қалыптасу ережесін (IX.36) дәлелдеді бұл әрқашан мінсіз сан форманың жай бөлшегі болып табылады премьер үшін - қазір а Mersenne прайм. Екі мыңжылдықтан кейін, Эйлер барлық мінсіз сандар осы формада болатындығын дәлелдеді.[1] Бұл белгілі Евклид - Эйлер теоремасы.

Тақ кемелді сандар бар ма, шексіз көптеген мінсіз сандар бар ма, жоқ па белгісіз. Алғашқы бірнеше тамаша сандар 6, 28, 496 және 8128 (жүйелі A000396 ішінде OEIS ).

Тарих

Біздің дәуірге дейінгі 300 жылы Евклид көрсеткендей, егер 2б - 1 жай, содан кейін 2б−1(2б - 1) мінсіз. Алғашқы төрт мінсіз сан ерте кезде ғана белгілі болды Грек математикасы және математик Никомастус 8128-ді AD 100 шамасында атап өтті.[2] Қазіргі тілмен айтқанда, Никомасус мұны дәлелсіз айтады әрқайсысы мінсіз сан формада болады қайда қарапайым.[3][4] Ол бұған бейхабар сияқты n өзі басты болуы керек. Ол сондай-ақ (дұрыс емес) мінсіз сандар кезектесіп 6 немесе 8-ге аяқталады дейді. (Алғашқы 5 мінсіз сандар 6, 8, 6, 8, 6 сандарымен аяқталады; бірақ алтыншы да 6-ға аяқталады.) Александрия Филоны өзінің бірінші ғасырдағы «Жаратылыс туралы» кітабында әлем 6 күнде, ал Ай 28 күнде айналады, өйткені 6 және 28-і кемелді деп санайды. Филодан кейін келеді Ориген,[5] және арқылы Димус соқырлар, тек 10000-ға жетпейтін төрт қана мінсіз сандар бар деген пікірді кім қосады. (Жаратылыс 1. 14-19 түсіндірмесі).[6] Сент-Августин мінсіз сандарды анықтайды Құдай қаласы (XI кітап, 30 тарау) біздің заманымыздың 5 ғасырының басында Құдай әлемді 6 күнде жаратқан деген тұжырымды қайталап, өйткені 6 - бұл ең кіші мінсіз сан. Египеттік математик Исмаил ибн Фаллос (1194–1252) келесі үш тамаша санды атады (33,550,336; 8,589,869,056; және 137,438,691,328) және қазір қате екендігі белгілі тағы бірнеше санды келтірді.[7] Бесінші мінсіз сан туралы алғашқы белгілі еуропалық ескерту - белгісіз математиктің 1456 - 1461 жылдар аралығында жазған қолжазбасы.[8] 1588 жылы итальяндық математик Пьетро Каталди алтыншы (8 589 869 056) және жетінші (137 438 691 328) мінсіз сандарды анықтады, сонымен қатар Евклид ережесінен алынған әрбір мінсіз сан 6 немесе 8-мен аяқталатынын дәлелдеді.[9][10][11]

Тіпті мінсіз сандар

Сұрақ, Web Fundamentals.svg Математикадағы шешілмеген мәселе:
Мінсіз сандар шексіз көп пе?
(математикадағы шешілмеген мәселелер)

Евклид 2 екенін дәлелдедіб−1(2б - 1) 2 болған сайын тіпті мінсіз санб - 1 қарапайым (Elements, Prop. IX.36).

Мысалы, алғашқы төрт мінсіз сан 2 формула бойынша құрыладыб−1(2б - 1), бірге б а жай сан, келесідей:

үшін б = 2:   21(22 − 1) = 2 × 3 = 6
үшін б = 3:   22(23 − 1) = 4 × 7 = 28
үшін б = 5:   24(25 − 1) = 16 × 31 = 496
үшін б = 7:   26(27 − 1) = 64 × 127 = 8128.

2-түрдегі жай сандарб - 1 ретінде белгілі Mersenne қарапайым, он жетінші ғасырдағы монахтан кейін Марин Мерсенн, кім оқыды сандар теориясы және тамаша сандар. 2 үшінб - 1-ге тең болу керек, бұл қажет б өзі басты. Алайда, 2-пішіндегі барлық сандар емесб - 1 қарапайым б қарапайым; мысалы, 211 - 1 = 2047 = 23 × 89 жай сан емес.[12] Мерсеннің жай сандары өте сирек кездеседі - 2 610 944 жай сандардың ішінде б дейін 43,112,609,[13] 2б - 1-і тек 47-і үшін қарапайым.

Дегенмен Никомастус деп (дәлелсіз) мәлімдеді бәрі мінсіз сандар болды қайда қарапайым (бірақ ол мұны басқаша айтқан), Ибн әл-Хайсам (Alhazen) шамамен AD 1000 тек әрқайсысы деп болжайды тіпті мінсіз сан осы формада болады.[14] Тек 18-ші ғасырға дейін ғана Леонхард Эйлер формула 2 екенін дәлелдедіб−1(2б - 1) барлық керемет сандарды береді. Осылайша, бар жеке-жеке хат алмасу тіпті мінсіз сандар мен Мерсеннің жай бөлшектері арасында; әрбір Mersenne праймері бір тамаша санды шығарады және керісінше. Бұл нәтиже жиі деп аталады Евклид - Эйлер теоремасы.

Толық іздеу GIMPS таратылған есептеу жобасы алғашқы 47 тіпті мінсіз сандар 2 болатынын көрсеттіб−1(2б - 1) үшін

б = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701 , 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657 372 A000043 ішінде OEIS ).[15]

Сондай-ақ төрт жоғарғы мінсіз сандар табылды, дәл солар үшін б = 57885161, 74207281, 77232917 және 82589933, бірақ бұл ауқымда басқалары болуы мүмкін. 2018 жылдың желтоқсан айындағы жағдай бойынша, 51 Mersenne қарапайым белгілері белгілі,[16] сондықтан 51 тіпті керемет сандар (олардың ең үлкені - 2)82589932 × (282589933 - 1) 49 724 095 цифрымен). Бұл белгісіз бар ма шексіз көп мінсіз сандар, сонымен қатар шексіз мерсендік жай бөлшектер бар ма.

Сондай-ақ, 2 нысаны барб−1(2б - 1), тіпті әрбір мінсіз сан - болып табылады (2б - 1) мың үшбұрышты сан (және, демек, 1-ден бүтін сандардың қосындысына тең 2б − 1) және 2б−1мың алты бұрышты сан. Сонымен қатар, 6-дан басқа кез келген тамаша сан - бұл ((2б + 1) / 3) мың центрлі емес сан және біріншісінің қосындысына тең 2(б−1)/2 тақ текшелер:

Тіпті мінсіз сандар (6-дан басқа) формада болады

әрбір пайда болған үшбұрыш санымен T7 = 28, Т.31 = 496, Т.127 = 8128 (мінсіз саннан 1-ді алып тастап, нәтижені 9-ға бөлгеннен кейін) 3-ке немесе 5-ке аяқталатын рет, Т-дан басталады2 = 3, Т.10 = 55, Т.42 = 903, Т.2730 = 3727815, ...[17] Мұны келесідей түрде қайта құруға болады: кез-келген тамаша санның цифрларын қосу (6-дан басқа), содан кейін алынған санның цифрларын қосу және осы цифрды бір цифрға дейін қайталау ( сандық түбір ) алынған, әрқашан 1 санын шығарады. Мысалы, 8128 сандық түбірі 1-ге тең, өйткені 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10 және 1 + 0 = 1. сандар 2б−1(2б - 1) тақ жай санмен б және, шын мәнінде бәрі форманың нөмірлерім−1(2м - 1) тақ бүтін сан үшін (жай жай емес) м.

2. Олардың формалары арқасындаб−1(2б - 1), кез келген жұп сан екілік түрінде былайша көрсетілген б одан кейінб - 1 нөл; Мысалға,

610 = 22 + 21 = 1102
2810 = 24 + 23 + 22 = 111002
49610 = 28 + 27 + 26 + 25 + 24 = 1111100002

және

812810 = 212 + 211 + 210 + 29 + 28 + 27 + 26 = 11111110000002.

Сонымен, кез-келген тамаша сан - а зиянды сан.

Әрбір тамаша сан да а практикалық нөмір (c.f. Байланысты ұғымдар ).

Тақ тамаша сандар

Сұрақ, Web Fundamentals.svg Математикадағы шешілмеген мәселе:
Тақ идеал сандар бар ма?
(математикадағы шешілмеген мәселелер)

Тақ идеал санның бар-жоғы белгісіз, бірақ әртүрлі нәтижелер алынды. 1496 жылы, Жак Лефев Евклид ережесі барлық мінсіз сандарды береді,[18] сондықтан ешқандай тақ санның жоқтығын білдіреді. Эйлер: «... тақта өте жақсы сандар бар ма, жоқ па - бұл өте күрделі мәселе», - деп мәлімдеді.[19] Жақында, Карл Померанс ұсынды эвристикалық дәлел бұл шын мәнінде тақ санды болмауы керек дегенді білдіреді.[20] Барлық мінсіз сандар да бар Кеннің гармоникалық сандары, және де 1-ден басқа тақ руданың гармоникалық сандары жоқ деген болжам жасалды.

Кез келген тақ нөмір N келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:

  • N > 101500.[21]
  • N 105-ке бөлінбейді.[22]
  • N формада болады N ≡ 1 (мод 12) немесе N ≡ 117 (мод 468) немесе N ≡ 81 (мод 324).[23]
  • N формада болады
қайда:
  • qб1, ..., бк нақты жай сандар (Эйлер).
  • q ≡ α ≡ 1 (мод 4) (Эйлер).
  • Ең кіші жай факторы N аз (2к + 8) / 3.[24]
  • Не qα > 1062, немесе бj2ej  > 1062 кейбіреулер үшін j.[21]
  • [25][26]
  • .[27][28]
  • .[29]
  • Ең үлкен жай факторы N 10-дан үлкен8[30] және одан аз [31]
  • Екінші үлкен жай фактор 10-дан үлкен4, және одан аз .[32][33]
  • Үшінші үлкен жай фактор 100-ден үлкен.[34]
  • N кем дегенде 101 жай көбейткішке және кем дегенде 10 ерекше жай көбейткішке ие.[21][35] Егер 3 факторлардың бірі болмаса N, содан кейін N кем дегенде 12 нақты фактор бар.[36]

Сонымен қатар, экспоненттерге қатысты бірнеше кішігірім нәтижелер белгілі e1, ..., eк жылы

  • Барлығы емес eмен ≡ 1 (мод 3).[37]
  • Барлығы емес eмен ≡ 2 (мод 5).[38]
  • Мен құладым eмен ≡ 1 (мод 3) немесе 2 (мод 5), онда ең кіші жай көбейткіш N 10 арасында жатуы керек8 және 101000.[38]
  • Жалпы алғанда, егер барлығы 2 болсаeмен+1 берілген шектеулі жиында жай көбейткішке ие S, онда ең кіші жай фактор N тәуелді тиімді есептелетін тұрақтыдан кіші болуы керек S.[38]
  • Егер (e1, ..., eк) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) бірге т бір және сен екі, содан кейін .[39]
  • (e1, ..., eк) ≠ (1, ..., 1, 3),[40] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).[41]
  • Егер e1= ...= eкe, содан кейін
  • e 3 болуы мүмкін емес,[42] 5, 24,[43] 6, 8, 11, 14 немесе 18.[41]
  • және N < 242e2 + 8e + 3.[44]

1888 жылы, Сильвестр мәлімдеді:[45]

... осы мәселе бойынша ұзаққа созылған ой жүгірту мені осындай кез-келген [тақ мінсіз санның] болуы, былайша айтқанда, оны жан-жаққа жайып салатын күрделі жағдайлардан құтылатынына сенімді болды. ғажайып туралы.

Тақ идеал сандар туралы дәлелденген көптеген қасиеттерге де қатысты тақ тамаша сандар және Пейс Нильсен бұл сандарды жеткілікті түрде зерттеу тақ идеал сандардың жоқтығына дәлел бола алады деген болжам жасады. [46]

Кішкентай нәтижелер

Барлық тіпті мінсіз сандардың формасы өте дәл; тақ мінсіз сандар жоқ немесе сирек кездеседі. Мінсіз сандар бойынша бірнеше нәтижелер бар, оларды дәлелдеу өте оңай, бірақ үстірт әсер қалдырады; олардың кейбіреулері де астына түседі Ричард Гай Келіңіздер кіші сандардың күшті заңы:

  • Форманың жалғыз тамаша нөмірі х3 + 1 - 28 (Маковский 1962 ж ).[47]
  • 28 сонымен қатар бүтін сандардың екі оң текшесінің қосындысын құрайтын жалғыз жалғыз мінсіз сан (Gallardo 2010 ).[48]
  • The өзара жауаптар мінсіз санның бөлгіштерінің N 2-ге дейін қосу керек (оны алу үшін мінсіз санның анықтамасын алыңыз, , және екі жағын да бөліңіз n):
    • 6-да бізде бар ;
    • 28-де бізде бар және т.б.
  • Мінсіз санның бөлгіштерінің саны (жұп немесе тақ болсын) жұп болуы керек, өйткені N тамаша квадрат бола алмайды.[49]
  • Тіпті мінсіз сандар жоқ трапеция тәрізді сандар; яғни оларды екі оң қатардың айырымы ретінде көрсету мүмкін емес үшбұрышты сандар. Трапеция емес сандардың тек үш түрі бар: тіпті мінсіз сандар, екінің дәрежелері және формадағы сандар а өнімі ретінде қалыптасады Ферма прайм Мерсеннің қарапайым сандарынан тіпті мінсіз сандарды құруға ұқсас екі қуатымен.[50]
  • Кемінде кем емес сандар саны n аз , қайда c > 0 тұрақты.[51] Шын мәнінде ол , қолдану аз-о белгілері.[52]
  • Әрбір керемет сан 6 немесе 28-мен аяқталады, ондық негіз; және 6-дан басқа, 9, 9 негізімен аяқталады.[53][54] Сондықтан, атап айтқанда сандық түбір 6-дан басқа кез келген тамаша санның 1-ге тең.
  • Жалғыз шаршы жоқ мінсіз сан - 6.[55]

Байланысты ұғымдар

Дұрыс бөлгіштердің қосындысы санның басқа түрлерін береді. Қосынды санның өзінен кіші сандар деп аталады жетіспейтін және ол саннан үлкен болатын жерде, мол. Бұл терминдер бірге мінсіз өзі, грек тілінен шыққан нумерология. Бір-бірінің меншікті бөлгіштерінің қосындысы болатын сандар жұбы деп аталады тату, және сандардың үлкен циклдары деп аталады көпшіл. Әрбір кіші натурал сан оның бөлек бөлгіштерінің қосындысы болатындай натурал сан практикалық нөмір.

Анықтама бойынша мінсіз сан - а бекітілген нүкте туралы бөлгіштің шектеулі функциясы с(n) = σ(n) − n, және аликвот тізбегі мінсіз санмен байланысты - тұрақты реттілік. Барлық мінсіз сандар да бар - мінсіз сандар, немесе Гранвилл нөмірлері.

A жартылай жетілдірілген сан барлық немесе оның жекелеген бөлгіштерінің қосындысына тең натурал сан. Барлық дұрыс бөлгіштерінің қосындысына тең жартылай жетілдірілген сан - бұл мінсіз сан. Көптеген сандар да жартылай жетілдірілген; жартылай жетілмеген мол сандар деп аталады оғаш сандар.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Колдуэлл, Крис, «Тіпті барлық тамаша сандар Мерсенн праймерінен екі есе үлкен қуат екендігінің дәлелі».
  2. ^ Диксон, Л.Э. (1919). Сандар теориясының тарихы, т. Мен. Вашингтон: Вашингтондағы Карнеги институты. б. 4.
  3. ^ «Керемет сандар». www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Алынған 9 мамыр 2018.
  4. ^ Жылы Арифметикаға кіріспе, 16 тарау, ол мінсіз сандар туралы былай дейді: «Мұқият және мызғымас оларды шығару әдісі бар, ол мінсіз сандардың ешқайсысының жанынан өтпейді, ал ондай емес санының бірдеңесін ажырата алмайды. келесі жолмен. « Содан кейін ол а табуға барабар процедураны түсіндіреді үшбұрышты сан Mersenne праймері негізінде.
  5. ^ Джонның 28.1.1-4 Інжіліне түсініктеме, әрі қарай сілтемелермен Ақпарат көздері Кретьен басылым: т. 385, 58-61.
  6. ^ http://torreys.org/sblpapers2015/S22-05_philonic_arithmological_exegesis.pdf
  7. ^ Рошди Рашед, Араб математикасының дамуы: арифметика мен алгебра арасындағы (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994), 328–329 бб.
  8. ^ Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14908. Қараңыз Дэвид Евгений Смит (1925). Математика тарихы: II том. Нью-Йорк: Довер. б. 21. ISBN  0-486-20430-8.
  9. ^ Диксон, Л.Э. (1919). Сандар теориясының тарихы, т. Мен. Вашингтон: Вашингтондағы Карнеги институты. б. 10.
  10. ^ Пиковер, С (2001). Сандардың кереметтері: Математикадағы шытырман оқиғалар, ақыл-ой және мән. Оксфорд: Оксфорд университетінің баспасы. б. 360. ISBN  0-19-515799-0.
  11. ^ Питерсон, I (2002). Математикалық жорықтар: сюрреалді сандардан сиқырлы шеңберлерге дейін. Вашингтон: Американың математикалық қауымдастығы. б. 132. ISBN  88-8358-537-2.
  12. ^ Барлық факторларб - 1 1 мод 2-ге сәйкес келедіб. Мысалы, 211 - 1 = 2047 = 23 × 89, ал 23 пен 89 екеуі де 11-ге бөлгенде 1-ден қалдық береді. б Бұл Софи Жермен - яғни, 2б + 1 сонымен қатар қарапайым және 2 болып табыладыб + 1 1 немесе 7 мод 8-ге, содан кейін 2-ге сәйкес келедіб + 1 2-ге тең боладыб - 1, бұл жағдай б = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, ... OEISA002515.
  13. ^ «Жай сан <= 43112609». Wolfram Alpha. Алынған 2018-10-28.
  14. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Әбу Әли әл-Хасан ибн әл-Хайсам», MacTutor Математика тарихы мұрағаты, Сент-Эндрюс университеті.
  15. ^ GIMPS кезеңдері туралы есеп. 2018-02-27 алынды
  16. ^ «GIMPS үйі». Mersenne.org. Алынған 2018-12-21.
  17. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Керемет нөмір». MathWorld.
  18. ^ Диксон, Л.Э. (1919). Сандар теориясының тарихы, т. Мен. Вашингтон: Вашингтондағы Карнеги институты. б. 6.
  19. ^ http://www.math.harvard.edu/~knill/seminars/perfect/handout.pdf
  20. ^ Oddperfect.org. Мұрағатталды 2006-12-29 жж Wayback Machine
  21. ^ а б c Охем, Паскаль; Рао, Майкл (2012). «Тақ тамаша сандар 10-нан үлкен1500" (PDF). Есептеу математикасы. 81 (279): 1869–1877. дои:10.1090 / S0025-5718-2012-02563-4. ISSN  0025-5718. Zbl  1263.11005.
  22. ^ Кюль, У (1949). «Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen». Mathematische Zeitschrift. 52: 201–211. дои:10.1515 / crll.1941.183.98.
  23. ^ Робертс, Т (2008). «Тақ мінсіз нөмір формасында» (PDF). Австралиялық математикалық газет. 35 (4): 244.
  24. ^ Грюн, О (1952). «Über ungerade vollkommene Zahlen». Mathematische Zeitschrift. 55 (3): 353–354. дои:10.1007 / BF01181133.
  25. ^ Чен, Ён-Гао; Tang, Cui-E (2014). «Тақ мультиперфективті сандардың жоғарғы шектері жақсартылды». Австралия математикалық қоғамының хабаршысы. 89 (3): 353-359.
  26. ^ Нильсен, ПП (2003). «Тақ мінсіз сандардың жоғарғы шегі». Бүтін сандар. 3: A14 – A22. Архивтелген түпнұсқа 21 ақпан 2003 ж. Алынған 30 наурыз 2011.
  27. ^ Зелинский, Джошуа (25 мамыр 2018). «Охем мен Раоның тақ мінсіз сандарға қатысты теңсіздігінің жақсаруы». Бүтін сандар. 18. arXiv:1706.07009. Бибкод:2017arXiv170607009Z. Алынған 23 мамыр 2018.
  28. ^ Охем, Паскаль; Рао, Майкл (2014). «Тақ идеал санның жай көбейткіштерінің саны туралы». Есептеу математикасы. 83 (289): 2435–2439. дои:10.1090 / S0025-5718-2013-02776-7.
  29. ^ Померанс, Карл; Лука, Флориан (2010). «Мінсіз санның радикалы туралы». Нью-Йорк Математика журналы. 16: 23–30. Алынған 7 желтоқсан 2018.
  30. ^ Гото, Т; Ohno, Y (2008). «Тақ идеал сандардың негізгі коэффициенті 10-нан асады8" (PDF). Есептеу математикасы. 77 (263): 1859–1868. Бибкод:2008MaCom..77.1859G. дои:10.1090 / S0025-5718-08-02050-9. Алынған 30 наурыз 2011.
  31. ^ Конягин, Сергей; Acquaah, Peter (2012). «Тақ идеалды сандардың негізгі факторлары туралы». Халықаралық сандар теориясының журналы. 8 (6): 1537–1540. дои:10.1142 / S1793042112500935.
  32. ^ Зелинский, Джошуа (шілде 2019). «Тақ идеал санның екінші үлкен жай көбейткішінің жоғарғы шегі». Халықаралық сандар теориясының журналы. 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734. дои:10.1142 / S1793042119500659..
  33. ^ Iannucci, DE (1999). «Тақ идеалдың екінші үлкен бөлгіші он мыңнан асады» (PDF). Есептеу математикасы. 68 (228): 1749–1760. Бибкод:1999MaCom..68.1749I. дои:10.1090 / S0025-5718-99-01126-6. Алынған 30 наурыз 2011.
  34. ^ Iannucci, DE (2000). «Тақ идеалдың үшінші үлкен бөлгіші жүзден асады» (PDF). Есептеу математикасы. 69 (230): 867–879. Бибкод:2000MaCom..69..867I. дои:10.1090 / S0025-5718-99-01127-8. Алынған 30 наурыз 2011.
  35. ^ Нильсен, ПП (2015). «Тақ тамаша сандар, диофантиялық теңдеулер және жоғарғы шектер» (PDF). Есептеу математикасы. 84 (295): 2549–2567. дои:10.1090 / S0025-5718-2015-02941-X. Алынған 13 тамыз 2015.
  36. ^ Нильсен, ПП (2007). «Тақ тамаша сандарда кем дегенде тоғыз негізгі жай факторлар болады» (PDF). Есептеу математикасы. 76 (260): 2109–2126. arXiv:математика / 0602485. Бибкод:2007MaCom..76.2109N. дои:10.1090 / S0025-5718-07-01990-4. Алынған 30 наурыз 2011.
  37. ^ МакДаниэль, Уэйн Л. (1970). «Белгілі бір формадағы тақ мінсіз сандардың болмауы». Archiv der Mathematik. 21 (1): 52–53. дои:10.1007 / BF01220877. ISSN  1420-8938. МЫРЗА  0258723.
  38. ^ а б c Флетчер, С.Адам; Нильсен, Пейс П .; Ochem, Pascal (2012). «Тақ идеал сандарға арналған елеуіш әдістері» (PDF). Есептеу математикасы. 81 (279): 1753?1776. дои:10.1090 / S0025-5718-2011-02576-7. ISSN  0025-5718. МЫРЗА  2904601.
  39. ^ Коэн, Г.Л (1987). «Тақ мінсіз санның ең үлкен компоненті туралы». Австралия математикалық қоғамының журналы А сериясы. 42 (2): 280–286. дои:10.1017 / S1446788700028251. ISSN  1446-8107. МЫРЗА  0869751.
  40. ^ Канольд, Ганс-Йоахим (1950). «Satze uber Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlentheoretisehe Probleme. II». Mathematik журналы жазылады. 188 (1): 129–146. дои:10.1515 / crll.1950.188.129. ISSN  1435-5345. МЫРЗА  0044579.
  41. ^ а б Коэн, Г.Л .; Уильямс, Дж. (1985). «Тақ идеал сандарға қатысты кейбір нәтижелерді кеңейту» (PDF). Фибоначчи тоқсан сайын. 23 (1): 70–76. ISSN  0015-0517. МЫРЗА  0786364.
  42. ^ Хагис, Питер, кіші; МакДаниэль, Уэйн Л. (1972). «Тақ идеал сандардың құрылымына қатысты жаңа нәтиже». Американдық математикалық қоғамның еңбектері. 32 (1): 13–15. дои:10.1090 / S0002-9939-1972-0292740-5. ISSN  1088-6826. МЫРЗА  0292740.
  43. ^ МакДаниэль, Уэйн Л .; Хагис, Питер, кіші (1975). «Пішіннің тақ мінсіз сандарының болмауына қатысты кейбір нәтижелер " (PDF). Фибоначчи тоқсан сайын. 13 (1): 25–28. ISSN  0015-0517. МЫРЗА  0354538.
  44. ^ Ямада, Томохиро (2019). «Арнайы формадағы тақ мінсіз сандардың жаңа жоғарғы шегі». Colloquium Mathematicum. 156 (1): 15–21. arXiv:1706.09341. дои:10.4064 / cm7339-3-2018. ISSN  1730-6302.
  45. ^ Джеймс Джозеф Сильвестрдің жинақталған математикалық құжаттары б. 590, тр. «Sur les nombres dits de Hamilton» -тен, Compte Rendu de l'Association Française (Тулуза, 1887), 164–168 бб.
  46. ^ Надис, Стив (10 қыркүйек 2020). «Математиктер ежелгі сан мәселесінде жаңа шеп ашады». Quanta журналы. Алынған 10 қыркүйек 2020.
  47. ^ Маковский, А. (1962). «Керемет сандар туралы ескерту». Элем. Математика. 17 (5): 109.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  48. ^ Галлардо, Луис Х. (2010). «Маковскийдің мінсіз сандар туралы ескертпесі туралы». Элем. Математика. 65: 121–126. дои:10.4171 / EM / 149.CS1 maint: ref = harv (сілтеме).
  49. ^ Ян, Ән Ы. (2012), Есептеу теориясы және қазіргі криптография, Джон Вили және ұлдары, 2.3-бөлім, 2-жаттығу (6), ISBN  9781118188613.
  50. ^ Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999). «Трапеция емес сандарды сипаттау». Математикалық газет. Математикалық қауымдастық. 83 (497): 262–263. дои:10.2307/3619053. JSTOR  3619053.
  51. ^ Hornfeck, B (1955). «Zur Dichte der Menge der vollkommenen zahlen». Арка. Математика. 6 (6): 442–443. дои:10.1007 / BF01901120.
  52. ^ Канольд, HJ (1956). «Eine Bemerkung uber die Menge der vollkommenen zahlen». Математика. Энн. 131 (4): 390–392. дои:10.1007 / BF01350108.
  53. ^ Х.Новарес. Sur les nombres parfaits ескертуі Тексейра Дж. VIII (1886), 11–16.
  54. ^ Диксон, Л.Э. (1919). Сандар теориясының тарихы, т. Мен. Вашингтон: Вашингтондағы Карнеги институты. б. 25.
  55. ^ Редмонд, Дон (1996). Сандар теориясы: таза және қолданбалы математикаға кіріспе. Chapman & Hall / CRC таза және қолданбалы математика. 201. CRC Press. 7.4.11 есеп, б. 428. ISBN  9780824796969..

Әдебиеттер тізімі

  • Евклид, Элементтер, IX кітап, ұсыныс 36. Қараңыз Д.Е. Джойстың сайты осы ұсынысты аудару және талқылау үшін және оны дәлелдеу үшін.
  • Канольд, Х.Дж. (1941). «Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen». Reine und Angewandte Mathematik журналы. 183: 98–109.
  • Steuerwald, R. «Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl». S.-B. Байер. Акад. Уис. 1937: 69–72.

Әрі қарай оқу

Сыртқы сілтемелер