Питре теоремасы - Peetre theorem

Жылы математика, (сызықтық) Питре теоремасы, атындағы Джак Питре, нәтижесі болып табылады функционалдық талдау сипаттамасын береді дифференциалдық операторлар жалпылауға олардың әсері тұрғысынан функциялық кеңістіктер, және еске түсірусіз саралау нақты сөздермен. Питре теоремасы а ақырғы тәртіп теоремасы онда функция немесе а функция, жалпы әдіспен анықталған, оған бөгде шарт немесе симметрия салынғандықтан, көпмүше ретінде көрсетілуі мүмкін.

Бұл мақалада Питре теоремасының екі түрі қарастырылады. Біріншісі - өзіндік нұсқасы, ол өзінше пайдалы болғанымен, көптеген қолданбалар үшін тым жалпы болып табылады.

Түпнұсқа Питре теоремасы

Келіңіздер М болуы а тегіс коллектор және рұқсат етіңіз E және F екі бол байламдар қосулы М. Келіңіздер

кеңістіктері болуы керек тегіс бөлімдер туралы E және F. Ан оператор

Бұл шоқтардың морфизмі ол секциялар бойынша сызықтық болып табылады қолдау туралы Д. болып табылады өспейтін: supp Dsсуп с әр тегіс бөлім үшін с туралы E. Түпнұсқа Питре теоремасы әрбір нүкте үшін бұл туралы айтады б жылы М, көршілік бар U туралы б және бүтін сан к (байланысты U) солай Д. Бұл дифференциалдық оператор тәртіп к аяқталды U. Бұл дегеніміз Д. сызықтық карта арқылы факторлар менД. бастап к-секциялар ағыны туралы E тегіс бөлімдер кеңістігіне F:

қайда

болып табылады к-жетек операторы және

- векторлық шоғырлардың сызықтық картасы.

Дәлел

Мәселе жергілікті диффеоморфизм кезінде инвариантты, сондықтан оны қашан дәлелдеу жеткілікті М бұл ашық жиынтық Rn және E және F тривиалды байламдар. Бұл кезде ол ең алдымен екі леммаға сүйенеді:

  • Лемма 1. Егер теореманың гипотезалары қанағаттандырылса, онда әрқайсысы үшін хМ және C > 0, көршілестік бар V туралы х және оң бүтін сан к кез келген үшін жV\{х} және кез-келген бөлім үшін с туралы E кімдікі к- ұшақ жоғалады ж (jкс(ж) = 0), бізде |Ds(ж) |
  • Лемма 2. Теореманы дәлелдеу үшін бірінші лемма жеткілікті.

Біз Lemma 1 дәлелдеуінен бастаймыз.

Лемма жалған делік. Содан кейін бірізділік бар хк қарай ұмтылу х, және өте бөлінген шарлар тізбегі Bк айналасында хк (кез келген екі осындай шарлар арасындағы геодезиялық арақашықтық нөлге тең емес екенін білдіреді) және бөлімдер ск туралы E әрқайсысының үстінен Bк осындай jкск(хк) = 0 бірақ |Dsк(хк) | ≥C> 0.
Ρ болсын (х) стандартты білдіреді соққы функциясы басындағы шар доп үшін: 1-ге тең тегіс нақты мәнді функция B1/2(0), ол бірлік шардың шекарасында шексіз тәртіпке дейін жоғалады.
Барлық басқа бөлімдерді қарастырыңыз с. At х, бұлар қанағаттандырады
jс(х)=0.
Айталық берілген. Содан кейін, өйткені бұл функциялар тегіс және әрқайсысы қанағаттандырады j(с)(х) = 0, кішірек допты көрсетуге болады B ′δ(х) жоғары ретті туындылар келесі бағалауға бағынатындай:
қайда
Қазір
- қолдау көрсетілетін стандартты соққы функциясы B ′δ(х) және өнімнің туындысы сρ осылай шектелген
Нәтижесінде, келесі серия мен оның туындыларының барлық ішінара қосындылары біркелкі жинақталады
q(ж) барлығында тегіс функция V.
Біз қазір сол кезден бастап байқаймыз с және с маңында тең х,
Сонымен үздіксіздік бойынша |Dq(х) | ≥ C> 0. Басқа жақтан,
бері Dq(х2k + 1) = 0 өйткені q бірдей нөлге тең B2k + 1 және Д. бұл артпайтын қолдау. Сонымен Dq(х) = 0. Бұл қайшылық.

Біз Lemma 2-ді дәлелдейміз.

Алдымен, тұрақтыға келіспейік C бірінші леммадан бастап. Біз Lemma 1 гипотезалары бойынша | Ds (y) | = 0 болатындығын көрсетеміз. A таңдаңыз ж жылы V\{х} сондай-ақ jкс(у) = 0 бірақ |Ds(ж)|=ж> 0. Қайта өлшеу с 2 есеC/ г. Сонда егер ж нөлге тең емес, сызықтығы бойынша Д., |Ds(ж)|=2C>C, бұл Лемма мүмкін емес. Бұл теореманы тесілген аймақта дәлелдейді V\{х}.
Енді біз дифференциалдық операторды орталық нүктеге дейін жалғастыруымыз керек х тесілген ауданда. Д. коэффициенттері тегіс болатын сызықтық дифференциалдық оператор. Сонымен қатар, ол тегіс функциялардың микробтарын тегіс функциялардың микробтарына жібереді х сонымен қатар. Осылайша коэффициенттері Д. тегіс х.

Мамандандырылған қосымша

Келіңіздер М болуы а ықшам тегіс коллектор (мүмкін шекара ), және E және F ақырлы өлшемді болу байламдар қосулы М. Келіңіздер

жиынтығы болуы тегіс бөлімдер туралы E. Ан оператор

тегіс функция болып табылады Фрешет коллекторлары ) талшықтарда сызықты және негізгі нүктені құрметтейді М:

Пиетр теоремасы әр оператор үшін бұл туралы айтады Д., бүтін сан бар к осындай Д. Бұл дифференциалдық оператор тәртіп к. Нақтырақ айтқанда, біз ыдырай аламыз

қайда - бастап картаға түсіру реактивті ұшақтар бөлімдерінің E байламға F. Сондай-ақ қараңыз меншікті дифференциалдық операторлар.

Мысалы: лаплациан

Келесі операторды қарастырыңыз:

қайда және центрі орналасқан сфера болып табылады радиусымен . Бұл шын мәнінде лаплаций. Біз көрсетеміз Питр теоремасы бойынша дифференциалдық оператор болып табылады. Негізгі идея - сол кезден бастап терминдерімен ғана анықталады жақын мінез-құлық , бұл жергілікті табиғатта; атап айтқанда, егер жергілікті нөлге тең, дәл солай , демек, қолдау өсе алмайды.

Техникалық дәлелдеу келесідей.

Келіңіздер және және дәреже болу тривиальды байламдар.

Содан кейін және жай кеңістік тегіс функциялар қосулы . Пучок ретінде, - бұл ашық жиынтықтағы тегіс функциялар жиынтығы және шектеу функцияны шектеу болып табылады.

Көру шынымен морфизм, біз тексеруіміз керек ашық жиынтықтарға арналған және осындай және . Бұл түсінікті, өйткені , екеуі де және жай ретінде сайып келгенде екеуінің де ішінде отырады және бәрібір.

Мұны тексеру оңай сызықтық:

және

Ақырында, біз мұны тексереміз деген мағынада жергілікті болып табылады . Егер , содан кейін осындай радиустың шарында ортасында . Осылайша, үшін ,

үшін , демек .Сондықтан, .

Питр теоремасы бойынша, дифференциалдық оператор болып табылады.

Әдебиеттер тізімі

  • Питре, Дж., Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels, Математика. Жанжал. 7 (1959), 211-218.
  • Peetre, J., Rectification à l'article Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels, Математика. Жанжал. 8 (1960), 116-120.
  • Тернг, Калифорния, Табиғи векторлық дестелер және табиғи дифференциалдық операторлар, Am. Дж. Математика. 100 (1978), 775-828.