Пеано ядросының теоремасы - Peano kernel theorem
Сандық анализде қолданылатын математикалық теорема
Жылы сандық талдау, Пеано ядросы туралы теорема - бұл сандық жуықтаудың кең класы үшін қателік шекарасындағы жалпы нәтиже (мысалы сандық квадраттар ) арқылы анықталған сызықтық функционалдар. Оған жатқызылған Джузеппе Пеано.[1]
Мәлімдеме
Келіңіздер
бәрінің кеңістігі болыңыз дифференциалданатын функциялар
үшін анықталған
олар шектелген вариация қосулы
және рұқсат етіңіз
болуы а сызықтық функционалды қосулы
. Мұны ойлаңыз
болып табылады
рет үздіксіз дифференциалданатын және сол
жойылады дәреженің барлық көпмүшелері
, яғни
![{ displaystyle Lp = 0, qquad forall p in mathbb {P} _ { nu} [x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1088ed1492b09db29a571202ae5a889c0aa1f66)
Одан әрі кез-келген үшін
екі жақты функция ![g (x, theta)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad353faedd3077be2daf2387d1dccef6a2b80972)
бірге
![{ displaystyle g (x, cdot), , g ( cdot, theta) in C ^ { nu +1} [a, b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f59d00ed362cd5d387eef0d55afbbd5f563d02)
, келесі жарамды:
![{ displaystyle L int _ {a} ^ {b} g (x, theta) , d theta = int _ {a} ^ {b} Lg (x, theta) , d theta, }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f952cea37dd090b83563098d7e17305408e8f85f)
және анықтаңыз
Peano ядросы туралы
![L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8)
сияқты
![{ displaystyle k ( theta) = L [(x- theta) _ {+} ^ { nu}], qquad theta in [a, b],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608a1f43f7369fd3ad50ab9a72466a517e1c040e)
белгілеуді енгізу
![{ displaystyle (x- theta) _ {+} ^ { nu} = { begin {case} (x- theta) ^ { nu}, & x geq theta, 0, & x leq theta. end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c4eda4e8c602397deb636aac3811569028f80c)
The
Пеано ядросы туралы теорема содан кейін дейді
![{ displaystyle Lf = { frac {1} { nu!}} int _ {a} ^ {b} k ( theta) f ^ {( nu +1)} ( theta) , d тета,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d8d0d8365b2e95ec4b50f5d32eb89b3c7e8a71)
берілген
![{ displaystyle k in { mathcal {V}} [a, b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64be74ceee3b987b20a49de1fa54912caf17e97)
.
[1][2]Шектер
Мәнінің бірнеше шегі
осы нәтижеге сүйену:
![{ displaystyle { begin {aligned} | Lf | & leq { frac {1} { nu!}} | k | _ {1} | f ^ {( nu +1)} | _ { infty} [5pt] | Lf | & leq { frac {1} { nu!}} | k | _ { infty} | f ^ {( nu +1)} | _ {1} [5pt] | Lf | & leq { frac {1} { nu!}} | K | _ {2} | f ^ {( nu +1)} | _ {2} end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2764ece246dfc561f08d3443aa1a664a80db8e57)
қайда
,
және
болып табылады такси, Евклид және максимум нормалар сәйкесінше.[2]
Қолдану
Іс жүзінде, Пеано ядросы теоремасының негізгі қолданылуы барлығына дәл жуықтау қатесін шектеу болып табылады.
. Жоғарыдағы теорема Тейлор көпмүшесі үшін
ажырамас қалдықпен:
![{ displaystyle { begin {aligned} f (x) = f (a) + {} & (xa) f '(a) + { frac {(xa) ^ {2}} {2}} f' ' (a) + cdots [6pt] & cdots + { frac {(xa) ^ { nu}} { nu!}} f ^ { nu} (a) + { frac {1} { nu!}} int _ {a} ^ {x} (xa) ^ { nu} f ^ {( nu +1)} ( theta) , d theta, end {aligned}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd5171f23168a23b4ca528d885fcad6e538b4a4)
анықтау
ретінде пайдаланып, жуықтау қателігі ретінде сызықтық туралы
дәлдігімен бірге
оң жақтағы соңғы терминнен басқаларының бәрін жою үшін және
жою белгісі
-интегралды шектерден тәуелділік.[3]
Сондай-ақ қараңыз
Әдебиеттер тізімі