Нильсен трансформациясы - Nielsen transformation

Жылы математика, әсіресе абстрактілі алгебра ретінде белгілі комбинаторлық топ теориясы, Нильсен түрлендірулері, атындағы Якоб Нильсен, сенімді автоморфизмдер а тегін топ коммутативті емес аналогы болып табылады қатарды азайту және еркін топтарды оқуда қолданылатын негізгі құралдардың бірі,Fine, Rosenberger & Stille 1995 ж ). Олар (Нильсен 1921 ) бұл әрқайсысын дәлелдеу кіші топ тегін топтың ақысыз ( Нильсен-Шрайер теоремасы ), бірақ қазір әртүрлі математикада қолданылады, соның ішінде есептеу тобының теориясы, k-теориясы, және түйіндер теориясы. Оқулық (Magnus, Karrass & Solitar 2004 ж ) 3 тараудың барлығын Нильсен түрлендірулеріне арнайды.

Анықтамалар

А қарапайым анықтамаларының бірі Нильсен трансформациясы бұл еркін топтың автоморфизмі, бірақ бұл олардың алғашқы анықтамасы болмады. Төменде неғұрлым конструктивті анықтама берілген.

А бойынша Нильсеннің өзгеруі түпкілікті құрылды тапсырыс берілген негізі бар тегін топ [ х1, …, хn ] фактуралануы мүмкін қарапайым Нильсен түрлендірулері келесі түрлер:

  • Ауыстыру х1 және х2
  • Циклдік түрде ауыстырылған х1, х2, …, хn, дейін х2, …, хn, х1.
  • Ауыстыру х1 бірге х1−1
  • Ауыстыру х1 бірге х1·х2

Бұл түрлендірулер қатардағы қарапайым операциялар. Алғашқы екі түрдегі түрлендірулер қатарлы своптарға ұқсас және циклдік қатарға ауыстыру. Үшінші түрдегі түрлендірулер жолды қайтымсыз скаляр бойынша масштабтауға сәйкес келеді. Төртінші түрдегі түрлендірулер қатарлы толықтыруларға сәйкес келеді.

Алғашқы екі түрдегі түрлендірулер генераторларды кез-келген тәртіпте бұзу үшін жеткілікті, сондықтан үшінші тип кез-келген генераторға, ал төртінші тип кез-келген генераторға қолданылуы мүмкін.

Бос емес топтармен жұмыс жасағанда, осы түрлендірулерді топтың ақырғы реттелген ішкі жиындарына қолданады. Бұл жағдайда элементар түрлендірулердің композициялары деп аталады тұрақты. Егер біреу ішкі элементтің элементтерін алып тастауға мүмкіндік берсе, онда түрлендіру деп аталады жекеше.

Топтың генераторлық жиынтығының Нильсен түріндегі өзгерісі (қарапайым немесе жоқ, тұрақты немесе жоқ) G сонымен қатар генератор жиынтығы болып табылады G. Екі генератор жиынтығы деп аталады Нильсен эквиваленті егер бір-біріне ауысатын Нильсен трансформациясы болса. Егер генератор жиынтықтарының өлшемдері бірдей болса, онда Нильсеннің тұрақты түрлендірулерінің композицияларын қарастыру жеткілікті.

Мысалдар

10-ші реттік диодралды топта генерациялау жиынтығының екі Нильсеннің эквиваленттік класы бар х 2, және ретті элементі бол ж 5 ретті элемент болғандықтан, генератор жиындарының екі класы [ х, ж ] және [ х, yy ], және әр сыныпта 15 нақты элементтер бар. Диедралды топтың өте маңызды генератор жиынтығы - а ретінде ұсынылғаннан бастап генератор жиынтығы Коксетер тобы. 10 тәртіпті диедралды топқа арналған осындай генератор жиынтығы кезектегі 2 ретті элементтердің жұбынан тұрады, мысалы [ х, xy ]. Бұл генератор жиынтығы [ х, ж ] арқылы:

  • [ х−1, ж ], 3 тип
  • [ ж, х−1 ], 1 түрін теріңіз
  • [ ж−1, х−1 ], 3 тип
  • [ ж−1х−1, х−1 ], 4 тип
  • [ xy, х−1 ], 3 тип
  • [ х−1, xy ], 1 түрін теріңіз
  • [ х, xy ], 3 тип

Айырмашылығы [ х, ж ] және [ х, yy ], генератор жиынтықтары [ х, ж, 1] және [ х, yy, 1] баламалы болып табылады.[1] Ыңғайлы қарапайым түрлендірулерді қолданатын түрлендіргіштік реттілік (барлық своптар, барлық инверстер, барлық өнімдер) бұл:

  • [ х, ж, 1 ]
  • [ х, ж, ж ], 2-ші генераторды 3-ке көбейтіңіз
  • [ х, yy, ж ], 3-ші генераторды 2-ге көбейтіңіз
  • [ х, yy, ааа ], 2-ші генераторды 3-ке көбейтіңіз
  • [ х, yy, 1], 2-ші генераторды 3-ке көбейт

Қолданбалар

Нильсен-Шрайер теоремасы

Негізгі мақала: Нильсен-Шрайер теоремасы

Ішінде (Нильсен 1921 ж ), еркін топтардың ақырғы құрылған кіші топтары тегін екендігінің тікелей комбинаторлық дәлелі келтірілген. Өнімдерде көп бас тарту болмаса генератор жиынтығы «Нильсен қысқартылған» деп аталады. Мақалада еркін топтың кіші тобының кез-келген ақырлы генерациялаушы жиыны (сингулярлық түрде) Нильсеннің төмендетілген генерациялау жиынына эквиваленті Нильсен болатындығы, ал Нильсеннің кішірейтілген генератор жиыны кіші топ үшін еркін негіз болатындығы көрсетілген, сондықтан кіші топ еркін. Бұл дәлел кейбір мәліметтерде келтірілген (Magnus, Karrass & Solitar 2004 ж, Ch 3.2).

Автоморфизм топтары

Ішінде (Нильсен 1924 ), қарапайым Нильсен түрлендірулерімен анықталған автоморфизм толығымен генерациялайтыны көрсетілген автоморфизм тобы, шектеулі түрде құрылған еркін топ. Нильсен және кейінірек Бернхард Нейман беру үшін осы идеяларды қолданды ақырғы презентациялар туралы автоморфизм топтары тегін топтардың. Бұл оқулықта да сипатталған (Magnus, Karrass & Solitar 2004 ж, б. 131, Th 3.2).

Белгілі бір шектеулі құрылған топтың берілген генераторлық жиынтығы үшін әр автоморфизмнің Нильсен трансформациясы арқылы берілетіндігі міндетті емес, бірақ әрбір автоморфизм үшін автоморфизм Нильсеннің өзгеруімен берілген генератор жиынтығы бар, (Рапапорт 1959 ж ).

Сөз мәселесі

Негізгі мақала: Эндрюс-Кертис болжам

Бұл әсіресе қарапайым жағдай топтарға арналған сөз мәселесі және топтарға арналған изоморфизм мәселесі деп сұрайды түпкілікті ұсынылған топ болып табылады тривиальды топ. Жалпы элементарлықтардың шекті тізбегі болғанымен, бұл жалпыға қол жетімді емес екені белгілі Титце түрлендірулері презентацияны тривиальды презентацияға апару, егер топ ұсақ болса ғана. Ерекше жағдай - бұл «теңдестірілген презентациялар», генераторлар мен реляторлардың тең саны бар ақырғы презентациялар. Бұл топтар үшін қажетті түрлендірулер едәуір қарапайым деген болжам бар (атап айтқанда, реляторларды қосу немесе алып тастау қажет емес). Егер біреу реляторлар жиынтығын кез-келген Нильсеннің эквиваленттік жиынтығына алуға рұқсат етсе, ал екіншісі реляторларды конъюгациялауға мүмкіндік берсе, онда шексіз берілген топтың реляторларының реттелген жиынтықтарына эквиваленттік қатынас пайда болады. The Эндрюс-Кертис болжам тривиальды топтың кез-келген теңдестірілген презентацияларының реляторлары тривиальды реляторлар жиынтығына эквивалентті болып, әр генератор сәйкестендіру элементі болып табылады.

Оқулықта (Magnus, Karrass & Solitar 2004 ж, 131-132 б.), еркін топтар үшін жалпыланған сөз мәселесін шешу үшін Нильсен түрлендірулерінің қосымшасы берілген, оларды еркін топтардағы ақырғы генератор жиынтықтары берген кіші топтарға мүшелік мәселесі деп те атайды.

Изоморфизм мәселесі

Негізгі мақала: Александр көпмүшесі

Бұл ерекше маңызды жағдай топтарға арналған изоморфизм мәселесі үш өлшемді іргелі топтарға қатысты түйіндер, оны Нильсен түрлендірулерінің көмегімен шешуге болады Александр В. (Magnus, Karrass & Solitar 2004 ж, Ch 3.4).

Өнімді ауыстыру алгоритмі

Негізгі мақала: өнімді ауыстыру алгоритмі

Жылы есептеу тобының теориясы, а-ның кездейсоқ элементтерін құру маңызды ақырғы топ. Мұны жасаудың танымал әдістері қолданылады марков тізбегі топтың кездейсоқ генераторлық жиынтықтарын құру әдістері. «Өнімді ауыстыру алгоритмі» а қабылдау үшін жай кездейсоқ таңдалған Нильсен түрлендірулерін қолданады кездейсоқ серуендеу топтың генерациялау графигінде. Алгоритм жақсы зерттелген және сауалнама (Пак 1999 ж ). Алгоритмнің «шайқау» деп аталатын бір нұсқасы:

  • Кез-келген тапсырыс беретін генератор жиынтығын алыңыз және бар болу үшін жеке куәліктің кейбір көшірмелерін қосыңыз n жиынтықтағы элементтер
  • Келесі әрекетті белгілі бірнеше рет қайталаңыз (а деп аталады жану )
    • Бүтін сандарды таңдаңыз мен және j біркелкі кездейсоқ 1-ден бастап nжәне таңдаңыз e {1, -1} бастап біркелкі кездейсоқ
    • Ауыстырыңыз менөнімімен бірге генератор менгенератор және jдейін көтерілген генератор eкүш
  • Жаңа кездейсоқ элемент қажет болған сайын, алдыңғы екі қадамды қайталаңыз, содан кейін генератор элементтерінің бірін қажетті кездейсоқ элемент ретінде қайтарыңыз

Осы алгоритм барысында қолданылған генерациялау жиынтығы барлық Нильсен эквивалентті генераторлар жиынтығында біркелкі өзгеретінін дәлелдеуге болады. Алайда, бұл алгоритмде бірқатар статистикалық және теориялық мәселелер бар. Мысалы, генераторлардың Нильсен эквиваленттілік сыныбы бірнеше болуы мүмкін. Сондай-ақ, генератор жиындарының элементтері біркелкі бөлінуі керек (мысалы,. Элементтері Фраттини кіші тобы минималды көлемді генерациялау жиынтығында ешқашан пайда болмайды, бірақ одан да нәзік мәселелер туындайды).

Осы мәселелердің көпшілігі келесі «моделдеу» деп аталатын модификацияда тез шешіледі, (Лидхэм-Грин және Мюррей 2002 ж ):

  • Жасаушы жиынтықтан басқа, топтың жеке басын инициализациялаған қосымша элементті сақтаңыз
  • Генератор ауыстырылған сайын таңдаңыз к кездейсоқ түрде біркелкі және қосымша элементтің көбейтіндісімен қосымша элементті кгенератор.

K теориясы

Минималды емес генератор жиынтықтарының Нильсен эквиваленттілігін түсіну үшін, теориялық модуль сияқты тергеу пайдалы болды,Эванс 1989 ж ). Осы жолдарды жалғастыра отырып, Нильсеннің эквиваленттілігіне тосқауылдың К-теориялық тұжырымы сипатталған (Lustig 1991 ж ) және (Lustig & Moriah 1993 ж ). Бұл арасындағы маңызды байланысты көрсетеді Уайтхед тобы топтық сақина және генераторлардың эквиваленттік кластарының Нильсен.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

Ескертулер

  1. ^ Шынында да, үш өлшемді барлық 840 генерацияланған жиынтықтар эквивалентті. Бұл Нильсен эквиваленттілігінің жалпы ерекшелігі ақырғы топтар. Егер ақырғы топ құруға болады г. генераторлар, содан кейін барлық генераторлар жиынтығы г. + 1 эквивалентті. Осындай нәтижелер бар полициклді топтар, және басқалары ақырғы құрылған топтар сонымен қатар.

Оқулықтар мен сауалнамалар

  • Коэн, Даниэль Э. (1989), Комбинаторлық топ теориясы: топологиялық тәсіл, Лондон математикалық қоғамының студенттерге арналған мәтіндері, 14, Кембридж университетінің баспасы, дои:10.1017 / CBO9780511565878, ISBN  978-0-521-34133-2, МЫРЗА  1020297
  • Жақсы, Бенджамин; Розенбергер, Герхард; Стилл, Майкл (1995), «Нильсенді түрлендіру және қолдану: сауалнама», Кимде, Анн Чи; Ким, АК; Джонсон, Д.Л. (ред.), Топтар - Корея '94: Пусан ұлттық университетінде өткен халықаралық конференция материалдары, Пусан, Корея, 18-25 тамыз, 1994 ж., Вальтер де Грюйтер, 69-105 бб, ISBN  978-3-11-014793-3, МЫРЗА  1476950
  • Шупп, Пол Э.; Линдон, Роджер С. (2001), Комбинаторлық топ теориясы, Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-3-540-41158-1, МЫРЗА  0577064
  • Магнус, Вильгельм; Авраам Каррасс, Дональд Солитар (2004), Комбинаторлық топ теориясы, Dover жарияланымдары, ISBN  978-0-486-43830-6, МЫРЗА  0207802

Бастапқы көздер