Көп айнымалы интерполяция - Multivariate interpolation

Жылы сандық талдау, көпөлшемді интерполяция немесе кеңістіктік интерполяция болып табылады интерполяция бірнеше айнымалы функциялар туралы.

Интерполяцияланатын функция берілген нүктелерде белгілі ${displaystyle (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}, нүктелер)}$ және интерполяция проблемасы ерікті нүктелердегі мәндерден тұрады ${displaystyle (x, y, z, нүктелер)}$.

Көп айнымалы интерполяция әсіресе маңызды геостатистика, ол а жасау үшін қолданылатын жерде биіктіктің сандық моделі Жер бетіндегі нүктелер жиынтығынан (мысалы, а нүктелік биіктіктерден) топографиялық түсіру немесе а. тереңдігі гидрографиялық түсіру ).

Кәдімгі тор

Кейбір 1 және 2 өлшемді интерполяцияларды салыстыру. Қара және қызыл / сары / жасыл / көк нүктелер сәйкесінше интерполяцияланған нүктеге және көршілес үлгілерге сәйкес келеді. Олардың биіктіктері олардың құндылықтарына сәйкес келеді.

A-да белгілі функция мәндері үшін тұрақты тор (алдын-ала анықталған, міндетті түрде біркелкі емес), келесі әдістер қол жетімді.

Кез-келген өлшем

• Жақын маңдағы интерполяция
• Кригинг
• Кері қашықтықты өлшеу
• Табиғи көршінің интерполяциясы
• Сплайн интерполяциясы
• Функцияның радиалды негізі интерполяция

2 өлшем

• Барнды интерполяциялау
• Екі сызықты интерполяция
• Бикубалық интерполяция
• Безье беті
• Ланкзоны қайта іріктеу
• Delaunay триангуляциясы

Растрлық картаны қайта құру - бұл 2D көп өлшемді интерполяцияны қолдану кескінді өңдеу.

Қара нүктелерде орналасқан 25 мәннен бір мәліметтер жиынтығында қолданылатын үш әдіс. Түстер интерполяцияланған мәндерді білдіреді.

Сондай-ақ қараңыз Падуа көрсетеді, үшін көпмүшелік интерполяция екі айнымалыда.

3 өлшем

• Үш сызықты интерполяция
• Трикубикалық интерполяция

Сондай-ақ қараңыз нүктелік кескінді қайта құру.

Тензорлы өнім сплайндары N өлшемдер

Catmull-Rom сплайндарын кез-келген өлшемге оңай жалпылауға болады текше гермит сплині мақала сізге осыны еске салады ${displaystyle mathrm {CINT} _ {x} (f _ {- 1}, f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}) = mathbf {b} (x) cdot left (f _ {- 1} f_ {) 0} f_ {1} f_ {2} ight)}$ 4 векторлы үшін ${displaystyle mathbf {b} (x)}$ функциясы болып табылады х жалғыз, қайда ${displaystyle f_ {j}}$ - мәні ${displaystyle j}$ Интерполяцияланатын функцияның мәні. Бұл жуықтауды келесі түрінде жазыңыз

${displaystyle mathrm {CR} (x) subeteq sum _ {i = -1} ^ {2} f_ {i} b_ {i} (x)}$

Бұл формуланы N өлшеміне тікелей жалпылауға болады:^[1]

${displaystyle mathrm {CR} (x_ {1}, нүктелер, x_ {N}) қосындыда _ {i_ {1}, нүктелер, i_ {N} = - 1} ^ {2} f_ {i_ {1} нүктелер i_ {N}} қосынды _ {j = 1} ^ {N} b_ {i_ {j}} (x_ {j})}$

Ұқсас жалпылауды сплайн интерполяциясының басқа түрлеріне, оның ішінде гермит сплайндарына да жасауға болатындығын ескеріңіз, тиімділікке қатысты жалпы формула шынымен қатарынан құралған композиция ретінде есептелуі мүмкін. ${displaystyle mathrm {CINT}}$-де көрсетілгендей тензор өнімі сплайндарының кез-келген түріне арналған операциялар трикубикалық интерполяция мақала Алайда, егер бар болса, факт қалады ${displaystyle n}$ 1-өлшемдегі терминдер ${displaystyle mathrm {CR}}$-қосынды сияқты, сонда болады ${displaystyle n ^ {N}}$ терминдері ${displaystyle N}$-өлшемді қорытындылау.

Дұрыс емес тор (шашыраңқы деректер)

Андағы шашыраңқы мәліметтерге арналған схемалар дұрыс емес тор барлығы тұрақты торда жұмыс істеуі керек, әдетте басқа белгілі әдіске дейін азаяды.

• Жақын маңдағы интерполяция
• Үшбұрышты тұрақты емес желі - негізделген табиғи көрші
• Үшбұрышты тұрақты емес желі - негізделген сызықтық интерполяция (түрі сызықтық функция )
• Кері қашықтықты өлшеу
• Кригинг
• Градиентпен жақсартылған кригинг (GEK)
• Жіңішке тақтайша сплайн
• Полигармониялық сплайн (жіңішке тәрелке-сплайн - полигармониялық сплиннің ерекше жағдайы)
• Радиалды негіз функциясы (Полигармониялық сплайндар төмен дәрежелі полиномдық мүшелері бар радиалды негіз функциясының ерекше жағдайы)
• Ең кіші квадраттар сплайн
• Табиғи көршінің интерполяциясы

Ескертулер

Сыртқы сілтемелер

• Бірнеше 1D, 2D және 3D сплайн интерполяциялары үшін мысал C ++ коды (соның ішінде Catmull-Rom сплайндары).
• Көп өлшемді гермиттік интерполяция және жуықтау, Профессор Чандражит Баджаджа, Purdue университеті
• 3D және 4D сплайн интерполяция әдістерін қамтитын Python кітапханасы.