Көппольды сәулелену - Multipole radiation - Wikipedia

Көппольды сәулелену сипаттауға арналған теориялық негіз болып табылады электромагниттік немесе гравитациялық алыс көздердің уақытқа тәуелді үлестірулерінен сәулелену. Бұл құралдар әр түрлі ұзындық масштабтарында пайда болатын физикалық құбылыстарға - гравитациялық толқындардың әсерінен қолданылады галактикалардың соқтығысуы дейін гамма-сәулелену нәтижесінде пайда болды ядролық ыдырау.^[1][2][3] Ұқсас әдісті қолдана отырып, көп полялы сәулеленуді талдайды көппольды кеңейту өрістерді статикалық көздерден сипаттайтын әдістер, алайда талдау бөлшектерінде маңызды айырмашылықтар бар, өйткені көппольды сәулелену өрістері статикалық өрістерден мүлдем өзгеше әрекет етеді. Бұл мақала, бірінші кезекте, электромагниттік мультиполалық сәулеленуге қатысты, дегенмен гравитациялық толқындардың емі ұқсас.

Электромагниттік сәулелену көзі жүйесінің құрылымдық бөлшектеріне байланысты электр заряды және электр тоғы. Тікелей талдау егер құрылым белгісіз немесе күрделі болса, шешілмейтін болуы мүмкін. Мультипольді талдау сәулеленуді күрделене түсетін сәттерге бөлудің әдісін ұсынады. Электромагниттік өріс жоғары ретті моменттерге қарағанда төменгі ретті моменттерге көбірек тәуелді болғандықтан, құрылымды егжей-тегжейлі білмей, электромагниттік өрісті жуықтауға болады.

Мультиполды сәулеленудің қасиеттері

Моменттердің сызықтығы

Бастап Максвелл теңдеулері сызықтық, электр өрісі және магнит өрісі көздің таралуына сызықтық тәуелді болады. Сызықтық әр түрлі мультипольді сәттердің өрістерін дербес есептеуге және жүйенің жалпы өрісін беру үшін қосуға мүмкіндік береді. Бұл белгілі суперпозиция принципі.

Мультиполды моменттердің пайда болу тәуелділігі

Бірнеше моменттер берілген кеңейту нүктесіне қатысты есептеледі, ол берілген координаттар жүйесінің бастауы ретінде қабылданады. Түпнұсқаны аудару жүйенің мультиполды моменттерін бірінші жоғалып кетпейтін сәттерді қоспағанда өзгертеді.^[4][5] Мысалы, зарядтың монопольдік моменті - бұл жүйеде жалпы заряд. Түпнұсқаны өзгерту бұл сәтті ешқашан өзгертпейді. Егер монопольдік момент нөлге тең болса, онда жүйенің дипольдік моменті трансляция инвариантты болады. Егер монопольдік және дипольдік моменттер екеуі де нөлге тең болса, онда квадрупольдік момент трансляция инвариантты болады және т.б. Жоғары ретті моменттер шығу позициясына байланысты болғандықтан, оларды жүйенің инвариантты қасиеттері деп санауға болмайды.

Өрістің қашықтыққа тәуелділігі

Көппольдік моменттің өрісі координаттар жүйесіне қатысты бағалау нүктесінің басынан қашықтығына да, бұрыштық бағытына да байланысты.^[4] Атап айтқанда, электромагниттік өрістің а-дан радиалды тәуелділігі стационарлық ${ displaystyle 2 ^ { ell}}$-полия тәрізді ${ displaystyle 1 / r ^ { ell +2}}$.^[2] Яғни, электр өрісі электр монополиясы момент шкалалары кері қашықтық квадратына тең. Сол сияқты электр диполь момент өрісті жасайды, ол кері қашықтықты текшелендіреді және т.с.с. Қашықтықты ұлғайту кезінде жоғары ретті моменттердің үлесі төмен ретті моменттерге қарағанда әлдеқайда аз болады, сондықтан есептеулерді жеңілдету үшін жоғары ретті моменттерді елемеуге болады.

Радиациялық толқындардың радиалды тәуелділігі статикалық өрістерден өзгеше, өйткені бұл толқындар энергияны жүйеден алыстатады. Энергияны сақтау керек болғандықтан, қарапайым геометриялық талдау сфералық сәулеленудің, радиустың энергия тығыздығын көрсетеді ${ displaystyle r}$, ретінде масштабталуы керек ${ displaystyle 1 / r ^ {2}}$. Сфералық толқын кеңейген кезде толқынның қозғалмайтын энергиясы бетінің кеңейіп жатқан сферасына таралуы керек ${ displaystyle 4 pi r ^ {2}}$. Тиісінше, уақытқа тәуелді әр мультиполды момент сәулеленетін энергия тығыздығын үлкейтуі керек ${ displaystyle 1 / r ^ {2}}$, сәттің ретіне қарамастан. Демек, жоғары ретті сәттерді статикалық жағдайдағыдай оңай тастауға болмайды. Тіпті, жүйенің мультиполды коэффициенттері көбінесе рет-ретімен азаяды, әдетте ${ displaystyle 1 / (2 ell +1) !!}$, сондықтан радиациялық өрістерді жоғары ретті моменттерді қысқарту арқылы әлі де жуықтауға болады.^[5]

Уақытқа тәуелді электромагниттік өрістер

Дереккөздер

Уақытқа тәуелді көздің үлестірілуін қолдану арқылы көрсетуге болады Фурье анализі. Бұл жеке жиіліктерді тәуелсіз талдауға мүмкіндік береді. Зарядтың тығыздығы бойынша беріледі

${ displaystyle rho ( mathbf {x}, t) = int _ {- infty} ^ { infty} d omega , { hat { rho}} ( mathbf {x}, omega ) e ^ {- i omega t}}$

және ток тығыздығы

${ displaystyle mathbf {J} ( mathbf {x}, t) = int _ {- infty} ^ { infty} d omega , { hat { mathbf {J}}} ( mathbf {x}, omega) e ^ {- i omega t}}$.^[6]

Ыңғайлы болу үшін осы сәттен бастап тек бір бұрыштық жиілік ω қарастырылады; осылайша

${ displaystyle rho ( mathbf {x}, t) = rho ( mathbf {x}) e ^ {- i omega t}}$

${ displaystyle mathbf {J} ( mathbf {x}, t) = mathbf {J} ( mathbf {x}) e ^ {- i omega t}}$

The суперпозиция принципі бірнеше жиіліктерге арналған нәтижелерді қорыту үшін қолданылуы мүмкін.^[5] Векторлық шамалар қарамен жазылған. Физикалық шамаларды бейнелеу үшін күрделі шамалардың нақты бөлігін алудың стандартты конвенциясы қолданылады.

Элементар бөлшектердің ішкі бұрыштық импульсі (қараңыз) Айналдыру (физика) ) кейбір бастапқы материалдардан шығатын электромагниттік сәулеленуге де әсер етуі мүмкін. Осы эффектілерді есепке алу үшін жүйенің ішкі магниттелуі ${ displaystyle mathbf {M} ( mathbf {x}, t)}$ ескеру керек еді. Қарапайымдылық үшін бұл әсерлер жалпыланған мультиполды сәулеленуді талқылауға қалдырылады.

Потенциал

Уақытқа тәуелді болу үшін көздің таралуын біріктіруге болады электрлік потенциал және магниттік потенциал φ және A сәйкесінше. Формулалар Лоренц Годж жылы SI бірліктері.^[5][6]

${ displaystyle phi ( mathbf {x}, t) = { frac {1} {4 pi epsilon _ {0}}} int d ^ {3} mathbf {x '} int dt' { frac { rho ( mathbf {x '}, t')} { | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}} delta left (t' - ( t - { frac { | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}} {c}}) right)}$

${ displaystyle mathbf {A} ( mathbf {x}, t) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} int d ^ {3} mathbf {x '} int dt '{ frac { mathbf {J} ( mathbf {x'}, t ')} { | mathbf {x} - mathbf {x'} | _ {2}}} delta left (t '- (t - { frac { | mathbf {x} - mathbf {x'} | _ {2}} {c}}) оң)}$

Осы формулаларда в бұл вакуумдағы жарықтың жылдамдығы, ${ displaystyle delta}$ болып табылады Dirac delta функциясы, және ${ displaystyle | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}$ болып табылады Евклидтік қашықтық бастапқы нүктеден x ′ бағалау нүктесіне дейін х. Уақытқа тәуелді көздің таралуын кірістіліктен жоғары интеграциялау

${ displaystyle phi ( mathbf {x}, t) = { frac {1} {4 pi epsilon _ {0}}} e ^ {- i omega t} int d ^ {3} mathbf {x '} rho ( mathbf {x'}) { frac {e ^ {ik | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}} { | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}}}$

${ displaystyle mathbf {A} ( mathbf {x}, t) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} e ^ {- i omega t} int d ^ {3 } mathbf {x '} mathbf {J} ( mathbf {x'}) { frac {e ^ {ik | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}} { | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}}}$

қайда к= ω /в. Бұл формулалар мультиполды сәулеленуді талдауға негіз болады.

Жақын өрісте бірнеше кеңейту

Жақын өріс - бұл электромагниттік өрісті квазистатикалық бағалауға болатын көздің айналасындағы аймақ. Егер көп нүктелі көзден мақсатты қашықтық болса ${ displaystyle r = | mathbf {x} | _ {2}}$ радиациялық толқын ұзындығынан әлдеқайда аз ${ displaystyle lambda = 2 pi / k}$, содан кейін ${ displaystyle kr ll 1}$. Нәтижесінде экспоненциалды осы аймақта келесідей шамада анықтауға болады:

${ displaystyle e ^ {ik | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}} = 1 + O (kr)}$

Қараңыз Тейлордың кеңеюі. Осы жуықтауды қолдану арқылы қалған х′ Тәуелділік статикалық жүйе үшін қандай болса, сол талдау қолданылады.^[4][5] Негізінде, потенциалды белгілі бір сәтте жүйенің суретін түсіріп, оны статикалық күйде ұстау арқылы бағалауға болады - демек, оны квазистатикалық деп атайды.^[5] Қараңыз жақын және алыс өріс және көппольды кеңейту. Атап айтқанда, кері қашықтық ${ displaystyle 1 / | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}$ қолдану арқылы кеңейтіледі сфералық гармоника олар сфералық мультиполды коэффициенттерді алу үшін бөлек интеграцияланған.

Алыстағы өрістегі мультиполды кеңейту: мультипольді сәулелену

Жоғары жиілікті көзден үлкен қашықтықта, ${ displaystyle lambda ll r}$, келесі шамалар орындалады:

${ displaystyle { frac {1} { | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}} = { frac {1} {r}} + O (1 / r ^ {2})}$

${ displaystyle e ^ {ik | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}} = e ^ {ik (r- mathbf {n} cdot mathbf {x'} + O (1 / r))} = e ^ {ikr-ik mathbf {n} cdot mathbf {x '}} (1 + O (1 / r))}$

Тек бірінші ретті термин болғандықтан ${ displaystyle 1 / r}$ үлкен қашықтықта маңызды, кеңейтуді біріктіреді

${ displaystyle { frac {e ^ {ik | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}} { | mathbf {x} - mathbf {x'} | _ {2}}} = { frac {e ^ {ikr}} {r}} (1-ik ( mathbf {n} cdot mathbf {x '}) + { frac {(-ik) ^ {2}} {2}} ( mathbf {n} cdot mathbf {x '}) ^ {2} + ...) + O (1 / r ^ {2})}$

Әр қуат ${ displaystyle mathbf {n} cdot mathbf {x '}}$ басқа мультиполды моментке сәйкес келеді. Алғашқы сәттер тікелей төменде бағаланады.

Электрлік монопольдік сәулелену, жоқтық

Нөлдік тапсырыс мерзімі, ${ displaystyle { frac {e ^ {ik | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}} { | mathbf {x} - mathbf {x'} | _ {2}}} rightarrow { frac {e ^ {ikr}} {r}}}$, скалярлық потенциалға қолданылады

${ displaystyle phi _ { text {Электр монополиясы}} ( mathbf {x}, t) = { frac {1} {4 pi epsilon _ {0}}} { frac {e ^ {ikr -i omega t}} {r}} int d ^ {3} mathbf {x '} rho ( mathbf {x'}) = { frac {e ^ {ikr-i omega t}} {4 pi epsilon _ {0} r}} q}$

жалпы төлем ${ displaystyle q = int d ^ {3} mathbf {x '} rho ( mathbf {x'})}$ - ω жиілігінде тербелетін электр монополиялық моменті. Зарядтың сақталуы талап етеді q= 0 бері

${ displaystyle q (t) = int d ^ {3} mathbf {x '} rho ( mathbf {x'}, t) = int d ^ {3} mathbf {x '} rho ( mathbf {x '}) e ^ {- i omega t} = qe ^ {- i omega t}}$.

Егер жүйе жабық болса, онда жалпы заряд тербеліс жасай алмайды, бұл тербеліс амплитудасын білдіреді q нөлге тең болуы керек. Демек, ${ displaystyle phi _ { text {Электр монополиясы}} ( mathbf {x}, t) = 0}$. Сәйкес өрістер мен сәулелік қуат нөлге тең болуы керек.^[5]

Электр дипольдік сәулелену

Электрлік дипольдік потенциал

Электрлік дипольдік сәулеленуді векторлық потенциалға нөлдік ретті мүшені қолдану арқылы алуға болады.^[5]

${ displaystyle mathbf {A} _ { text {Электрлік диполь}} ( mathbf {x}, t) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} { frac {e ^ {ikr-i omega t}} {r}} int d ^ {3} mathbf {x '} mathbf {J} ( mathbf {x'})}$

Бөлшектер бойынша интеграциялау өнімділік^[7]

${ displaystyle int d ^ {3} mathbf {x '} mathbf {J} ( mathbf {x'}) = - int d ^ {3} mathbf {x '} mathbf {x'} ( mathbf { nabla} cdot mathbf {J} ( mathbf {x '}))}$.

және төлем үздіксіздік теңдеуі көрсетеді

${ displaystyle { frac { жарым-жартылай rho ( mathbf {x}, t)} { жартылай t}} + mathbf { nabla} cdot mathbf {J} ( mathbf {x}, t) = left (-i omega rho ( mathbf {x}) + mathbf { nabla} cdot mathbf {J} ( mathbf {x}) right) e ^ {- i omega t} = 0}$.

Бұдан шығатыны

${ displaystyle mathbf {A} _ { text {Электрлік диполь}} ( mathbf {x}, t) = { frac {-i omega mu _ {0}} {4 pi}} { frac {e ^ {ikr-i omega t}} {r}} int d ^ {3} mathbf {x '} mathbf {x'} rho ( mathbf {x '})}$

Ұқсас нәтижелерді бірінші ретті мерзімді қолдану арқылы алуға болады, ${ displaystyle { frac {e ^ {ik | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}} { | mathbf {x} - mathbf {x'} | _ {2}}} rightarrow { frac {e ^ {ikr}} {r}} (- ik) ( mathbf {n} cdot mathbf {x '})}$ скалярлық потенциалға. Жүйенің электр диполь моментінің амплитудасы мынада ${ displaystyle mathbf {p} = int d ^ {3} mathbf {x '} mathbf {x'} rho ( mathbf {x '})}$, бұл потенциалды көрсетуге мүмкіндік береді

${ displaystyle phi _ { text {Электрлік диполь}} ( mathbf {x}, t) = { frac {-ik} {4 pi epsilon _ {0}}} { frac {e ^ { ikr-i omega t}} {r}} mathbf {n} cdot mathbf {p}}$

${ displaystyle mathbf {A} _ { text {Электрлік диполь}} ( mathbf {x}, t) = { frac {-i omega mu _ {0}} {4 pi}} { frac {e ^ {ikr-i omega t}} {r}} mathbf {p}}$

Электр дипольді өрістер

Уақытқа тәуелді потенциалдарды түсінгеннен кейін, уақытқа тәуелді электр өрісі және магнит өрісі әдеттегі әдіспен есептелуі мүмкін. Атап айтқанда,

${ displaystyle mathbf {E} ( mathbf {x}, t) = - mathbf { nabla} phi ( mathbf {x}, t) - { frac { толук mathbf {A} ( mathbf {x}, t)} { ішінара t}}}$

${ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {x}, t) = mathbf { nabla} times mathbf {A} ( mathbf {x}, t)}$,

немесе кеңістіктің көзі жоқ аймақта магнит өрісі мен электр өрісі арасындағы байланысты алуға болады

${ displaystyle mathbf {H} ( mathbf {x}, t) = { frac {1} { mu _ {0}}} mathbf { nabla} times mathbf {A} ( mathbf { х}, т)}$

${ displaystyle mathbf {E} ( mathbf {x}, t) = { frac {iZ_ {0}} {k}} mathbf { nabla} times mathbf {H} ( mathbf {x} , т)}$

қайда ${ displaystyle Z_ {0} = { sqrt { mu _ {0} / epsilon _ {0}}}}$ болып табылады бос кеңістіктің кедергісі. Жоғарыдағы потенциалдарға сәйкес келетін электр және магнит өрістері

${ displaystyle mathbf {H} _ { text {Электрлік диполь}} ( mathbf {x}, t) = { frac {ck ^ {2}} {4 pi}} ( mathbf {n} times mathbf {p}) { frac {e ^ {ikr-i omega t}} {r}}}$

${ displaystyle mathbf {E} _ { text {Электрлік диполь}} ( mathbf {x}, t) = Z_ {0} ( mathbf {H} _ { text {Electric dipole}} times mathbf {n})}$

бұл сфералық радиациялық толқындарға сәйкес келеді.^[5]

Таза электр диполь күші

Қуат тығыздығы, уақыт бірлігіндегі аудан бірлігіне келетін энергия, арқылы өрнектеледі Пойнтинг векторы ${ displaystyle mathbf {S} = mathbf {E} times mathbf {H}}$. Бұдан шығатыны, уақыт бірлігі үшін орташа қуат тығыздығы қатты бұрыш арқылы беріледі

${ displaystyle { frac {dP ( mathbf {x})} {d Omega}} = { frac {r ^ {2}} {2}} Re ( mathbf {n} cdot mathbf { E} times mathbf {H})}$.

Нүктелік өнім ${ displaystyle mathbf {n}}$ шығарынды шамасын бөліп алады және 1/2 коэффициенті уақыт бойынша орташаланудан туындайды. Жоғарыда түсіндірілгендей ${ displaystyle r ^ {2}}$ радиациялық энергия тығыздығының радиалды тәуелділігін жояды. Таза электр диполына қолдану береді

${ Displaystyle { frac {dP _ { text {Электрлік диполь}} ( mathbf {x})} {d Omega}} = { frac {c ^ {2} Z_ {0}} {32 pi ^ {2}}} k ^ {4} | mathbf {p} | _ {2} ^ {2} sin ^ {2} theta}$

мұндағы θ қатысты өлшенеді ${ displaystyle mathbf {p}}$.^[5] Сфераға интеграция сәулеленудің жалпы қуатын береді:

${ displaystyle P _ { text {Electric dipole}} = { frac {c ^ {2} Z_ {0}} {12 pi}} k ^ {4} | mathbf {p} | _ {2 } ^ {2}}$

Магниттік дипольдік сәулелену

Магниттік дипольдік потенциал

Бірінші реттік мерзім, ${ displaystyle { frac {e ^ {ik | mathbf {x} - mathbf {x '} | _ {2}}} { | mathbf {x} - mathbf {x'} | _ {2}}} rightarrow { frac {e ^ {ikr}} {r}} (- ik) ( mathbf {n} cdot mathbf {x '})}$, векторлық потенциалға қолданылса, магниттік дипольдік сәулелену және электрлік квадруполды сәулелену пайда болады.^[5]

${ displaystyle mathbf {A} _ { text {Магниттік диполь / Электр квадруполы}} ( mathbf {x}, t) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} { frac {e ^ {ikr-i omega t}} {r}} (- ik) int d ^ {3} mathbf {x '} ( mathbf {n} cdot mathbf {x'}) mathbf {J} ( mathbf {x '})}$

Интегралды симметриялы және анти-симметриялы бөліктерге бөлуге болады n және х′

${ displaystyle ( mathbf {n} cdot mathbf {x '}) mathbf {J} ( mathbf {x'}) = { frac {1} {2}} left (( mathbf {n) } cdot mathbf {x '}) mathbf {J} ( mathbf {x'}) + ( mathbf {n} cdot mathbf {J} ( mathbf {x '})) mathbf {x '} right) + { frac {1} {2}} ( mathbf {x'} times mathbf {J} ( mathbf {x '})) times mathbf {n}}$

Екінші термин токтың әсерінен тиімді магниттелуді қамтиды ${ displaystyle mathbf {M} _ { text {тиімді}} ( mathbf {x '}) = 1/2 ( mathbf {x'} times mathbf {J} ( mathbf {x '}) )}$ ал интеграция магниттік диполь моментін береді.

${ displaystyle int d ^ {3} mathbf {x '} mathbf {M} _ { text {тиімді}} ( mathbf {x'}) = mathbf {m}}$

${ displaystyle mathbf {A} _ { text {Магниттік диполь}} ( mathbf {x}, t) = { frac {-ik mu _ {0}} {4 pi}} { frac { e ^ {ikr-i omega t}} {r}} mathbf {m} times mathbf {n}}$

Байқаңыз ${ displaystyle mathbf {A} _ { text {Магниттік диполь}}}$ ұқсас формасы бар ${ displaystyle mathbf {H} _ { text {Электрлік диполь}}}$. Бұл дегеніміз, магниттік дипольдан шыққан магнит өрісі электрлік дипольдан электр өрісіне ұқсас әрекет етеді. Сол сияқты, магниттік дипольдан шыққан электр өрісі де электрлік дипольдан шыққан магнит өрісі сияқты әрекет етеді. Өзгерістерді қабылдау

${ displaystyle mathbf {E} _ { text {Electric dipole}} rightarrow Z_ {0} mathbf {H} _ { text {Magnetic dipole}}}$

${ displaystyle mathbf {H} _ { text {Electric dipole}} rightarrow { frac {-1} {Z_ {0}}} mathbf {E} _ { text {Magnetic dipole}}}$

${ displaystyle mathbf {p} rightarrow mathbf {m} / c}$

алдыңғы нәтижелер бойынша магниттік дипольді нәтижелер береді.^[5]

Магниттік диполь өрістері

${ displaystyle mathbf {E} _ { text {Магниттік дипол}} ( mathbf {x}, t) = { frac {-k ^ {2} Z_ {0}} {4 pi}} ( mathbf {n} times mathbf {m}) { frac {e ^ {ikr-i omega t}} {r}}}$

${ displaystyle mathbf {H} _ { text {Магниттік диполь}} ( mathbf {x}, t) = { frac {-1} {Z_ {0}}} ( mathbf {E} _ { мәтін {Магниттік диполь}} times mathbf {n})}$^[5]

Таза магниттік диполь күші

Қатты бұрыштың бірлігіне магниттік дипольмен сәулеленетін орташа қуат

${ displaystyle { frac {dP _ { text {Магниттік диполь}} ( mathbf {x})} {d Omega}} = { frac {Z_ {0}} {32 pi ^ {2}}} k ^ {4} | mathbf {m} | _ {2} ^ {2} sin ^ {2} theta}$

мұндағы θ магниттік дипольге қатысты өлшенеді ${ displaystyle mathbf {m}}$. Жалпы сәулелену қуаты:

${ displaystyle P _ { text {Magnetic dipole}} = { frac {Z_ {0}} {12 pi}} k ^ {4} | mathbf {m} | _ {2} ^ {2} }$^[5]

Электр квадруполды сәулелену

Электр квадруполды потенциалы

Алдыңғы бөлімнен интегралдың симметриялы бөлігін қолдану арқылы шешуге болады бөліктер бойынша интеграциялау және төлем үздіксіздік теңдеуі электр дипольдік сәулелену үшін жасалған сияқты.

${ displaystyle { frac {1} {2}} int d ^ {3} mathbf {x} left (( mathbf {n} cdot mathbf {x '}) mathbf {J} ( mathbf {x '}) + ( mathbf {n} cdot mathbf {J} ( mathbf {x'})) mathbf {x '} right) = { frac {-i omega} {2 }} int d ^ {3} mathbf {x '} mathbf {x'} ( mathbf {n} cdot mathbf {x '}) rho ( mathbf {x'})}$

${ displaystyle mathbf {A} _ { text {Electric quadrupole}} ( mathbf {x}, t) = { frac {-k omega mu _ {0}} {8 pi}} { frac {e ^ {ikr-i omega t}} {r}} int d ^ {3} mathbf {x '} mathbf {x'} ( mathbf {n} cdot mathbf {x '} ) rho ( mathbf {x '})}$

Бұл ізсіз электрге сәйкес келеді квадрупол момент тензоры ${ displaystyle Q _ { alpha beta} = int d ^ {3} mathbf {x '} (3x' _ { alpha} x '_ { beta} - | mathbf {x'} | _ {2} ^ {2} delta _ { alpha beta}) rho ( mathbf {x '})}$. Екінші индексті қалыпты вектормен жасасу ${ displaystyle [Q ( mathbf {n})] _ { alpha} = sum _ { beta} Q _ { alpha beta} n _ { beta}}$ векторлық потенциалды өрнектеуге мүмкіндік береді

${ displaystyle mathbf {A} _ { text {Electric quadrupole}} ( mathbf {x}, t) = { frac {-k omega mu _ {0}} {8 pi}} { frac {e ^ {ikr-i omega t}} {r}} { frac {1} {3}} mathbf {Q (n)}}$^[5]

Электр квадруполды өрістер

Алынған магниттік және электр өрістері:

${ displaystyle mathbf {H} _ { text {Electric quadrupole}} ( mathbf {x}, t) = { frac {-ick ^ {3}} {24 pi}} { frac {e ^ {ikr-i omega t}} {r}} mathbf {n} times mathbf {Q (n)}}$

${ displaystyle mathbf {E} _ { text {Electric quadrupole}} ( mathbf {x}, t) = Z_ {0} ( mathbf {H} _ { text {Electric quadrupole}} times mathbf {n})}$^[5]

Таза электрлік квадрупольды қуат

Қатты бұрыштың бірлігіне электр квадруполы арқылы шығарылатын орташа қуат

${ displaystyle { frac {dP _ { text {Electric quadrupole}} ( mathbf {x})} {d Omega}} = { frac {c ^ {2} Z_ {0}} {1152 pi ^ {2}}} k ^ {6} | ( mathbf {n} times mathbf {Q (n)}) times mathbf {n} | _ {2} ^ {2}}$

мұндағы θ магниттік дипольге қатысты өлшенеді ${ displaystyle mathbf {m}}$. Жалпы сәулелену қуаты:

${ displaystyle P _ { text {Electric quadrupole}} = { frac {c ^ {2} Z_ {0}} {1440 pi}} k ^ {6} sum _ { альфа, бета} Q_ { альфа бета} ^ {2}}$^[5]

Жалпыланған мультиполды сәулелену

Көздің таралу мультиполиялық моменті өскен сайын, осы уақытқа дейін жүргізілген тікелей есептеулер жалғастыру үшін өте ауыр болып келеді. Жоғары моменттерді талдау жалпы теориялық техниканы қажет етеді. Бұрынғыдай, бір көздің жиілігі ${ displaystyle omega}$ қарастырылады. Осыдан заряд, ток және ішкі магниттелу тығыздығы берілген

${ displaystyle rho ( mathbf {x}, t) = rho ( mathbf {x}) e ^ {- i omega t}}$

${ displaystyle mathbf {J} ( mathbf {x}, t) = mathbf {J} ( mathbf {x}) e ^ {- i omega t}}$

${ displaystyle mathbf {M} ( mathbf {x}, t) = mathbf {M} ( mathbf {x}) e ^ {- i omega t}}$

сәйкесінше. Алынған электрлік және магниттік өрістер көздермен бірдей уақытқа тәуелді болады.

${ displaystyle mathbf {E} ( mathbf {x}, t) = mathbf {E} ( mathbf {x}) e ^ {- i omega t}}$

${ displaystyle mathbf {H} ( mathbf {x}, t) = mathbf {H} ( mathbf {x}) e ^ {- i omega t}}$

Осы анықтамалар мен үздіксіздік теңдеуін қолдану Максвелл теңдеулерін былай жазуға мүмкіндік береді

${ displaystyle mathbf { nabla} cdot mathbf {E} ( mathbf {x}) = - { frac {iZ_ {0}} {k}} mathbf { nabla} cdot mathbf {J } ( mathbf {x})}$

${ displaystyle mathbf { nabla} cdot mathbf {H} ( mathbf {x}) = - mathbf { nabla} cdot mathbf {M} ( mathbf {x})}$

${ displaystyle mathbf { nabla} times mathbf {E} ( mathbf {x}) = ikZ_ {0} left ( mathbf {H} ( mathbf {x}) + mathbf {M} ( mathbf {x}) right)}$

${ displaystyle mathbf { nabla} times mathbf {H} ( mathbf {x}) = - { frac {ik} {Z_ {0}}} mathbf {E} ( mathbf {x}) + mathbf {J} ( mathbf {x})}$

Бұл теңдеулерді соңғы теңдеулердің қисық сызығын алып, сәйкестікті қолдану арқылы біріктіруге болады ${ displaystyle mathbf { nabla} times ( mathbf { nabla} times mathbf {V}) = mathbf { nabla} ( mathbf { nabla} cdot mathbf {V}) - mathbf { nabla} ^ {2} mathbf {V}}$. Бұл біртектес емес Гельмгольц теңдеуінің векторлық формаларын береді.

${ displaystyle ( nabla ^ {2} + k ^ {2}) mathbf {E} ( mathbf {x}) = - left [ikZ_ {0} mathbf {J} ( mathbf {x}) + ikZ_ {0} mathbf { nabla} times mathbf {M} ( mathbf {x}) + { frac {iZ_ {0}} {k}} mathbf { nabla} ( mathbf { nabla} cdot mathbf {J} ( mathbf {x})) right]}$

${ displaystyle ( nabla ^ {2} + k ^ {2}) mathbf {H} ( mathbf {x}) = - left [k ^ {2} mathbf {M} ( mathbf {x} ) + mathbf { nabla} times mathbf {J} ( mathbf {x}) + mathbf { nabla} ( mathbf { nabla} cdot mathbf {M} ( mathbf {x}) ) оң]}$

Толқындық теңдеудің шешімдері

Электромагниттік сәулеленуді жиілікпен сипаттайтын біртекті толқындық теңдеулер ${ displaystyle omega}$ дереккөзсіз аймақта формасы болады.

${ displaystyle ( mathbf { nabla} ^ {2} + k ^ {2}) mathbf { Psi} ( mathbf {x}) = 0}$

Толқындық функция ${ displaystyle mathbf { Psi} ( mathbf {x})}$ қосындысы түрінде көрсетілуі мүмкін векторлық сфералық гармоника

${ displaystyle mathbf { Psi} ( mathbf {x}) = sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell} f _ { ell m} (kr) mathbf {X} _ { ell m} ( theta, phi)}$

${ displaystyle f _ { ell m} (kr) = A _ { ell m} ^ {(1)} h _ { ell} ^ {(1)} (kr) + A _ { ell m} ^ {(2) )} h _ { ell} ^ {(2)} (kr)}$

Қайда ${ displaystyle mathbf {X} _ { ell m} ( theta, phi) = mathbf {L} Y _ { ell m} ( theta, phi) / { sqrt { ell ( ell +1)}}}$ - бұл нормаланған векторлық сфералық гармониктер және ${ displaystyle h _ { ell} ^ {(1)}}$ және ${ displaystyle h _ { ell} ^ {(2)}}$ бұл сфералық Hankel функциялары. Қараңыз сфералық Bessel функциялары. Дифференциалдық оператор ${ displaystyle mathbf {L} = -i mathbf {x} times mathbf { nabla}}$ қасиеті бар бұрыштық импульс операторы болып табылады ${ displaystyle L ^ {2} Y _ { ell m} = ell ( ell +1) Y _ { ell m}}$. Коэффициенттер ${ displaystyle A _ { ell m} ^ {(1)}}$ және ${ displaystyle A _ { ell m} ^ {(2)}}$ толқындарға сәйкесінше кеңею және жиырылу сәйкес келеді. Сонымен ${ displaystyle A _ { ell m} ^ {(2)} = 0}$ радиация үшін. Басқа коэффициенттерді анықтау үшін Жасыл функция толқындық теңдеу қолданылады. Егер бастапқы теңдеу болса

${ displaystyle ( mathbf { nabla} ^ {2} + k ^ {2}) mathbf { Psi} ( mathbf {x}) = - mathbf {V} ( mathbf {x})}$

онда шешім:

${ displaystyle Psi _ { alpha} ( mathbf {x}) = sum _ { beta} int d ^ {3} mathbf {x '} G _ { alpha beta} ( mathbf {x }, mathbf {x '}) V _ { beta} ( mathbf {x'})}$

Жасыл функцияны векторлық сфералық гармоникада көрсетуге болады.

${ displaystyle G _ { alpha beta} ( mathbf {x}, mathbf {x '}) = sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell} ikh _ { ell} ^ {(1)} (kr) j _ { ell} (kr ') X _ { ell m alpha} ( theta, phi) X _ { ell m beta} ^ {*} ( theta ', phi')}$

Ескертіп қой ${ displaystyle mathbf {X} _ { ell m} ^ {*} = Y _ { ell m} ^ {*} mathbf {L} / { sqrt { ell ( ell +1)}}}$ - бұл бастапқы функцияға әсер ететін дифференциалды оператор ${ displaystyle mathbf {V}}$. Сонымен, толқындық теңдеудің шешімі мынада:

${ displaystyle mathbf { Psi} ( mathbf {x}) = sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell} { frac { ik} { sqrt { ell ( ell +1)}}} h _ { ell} ^ {(1)} (kr) mathbf {X} _ { ell m} ( theta, phi) int d ^ {3} mathbf {x '} j _ { ell} (kr') Y _ { ell m} ^ {*} ( theta ', phi') mathbf {L '} cdot mathbf {V} ( mathbf {x '})}$

Электрлік көппольді өрістер

Жоғарыдағы шешімді электрлік мультиполды толқын теңдеуіне қолдану

${ displaystyle ( nabla ^ {2} + k ^ {2}) mathbf {H} ( mathbf {x}) = - left [k ^ {2} mathbf {M} ( mathbf {x} ) + mathbf { nabla} times mathbf {J} ( mathbf {x}) + mathbf { nabla} ( mathbf { nabla} cdot mathbf {M} ( mathbf {x}) ) оң]}$

магнит өрісі үшін шешім береді:^[5]

${ displaystyle mathbf {H} ^ {(E)} ( mathbf {x}) = sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell } a _ { ell m} ^ {(E)} h _ { ell} ^ {(1)} (kr) mathbf {X} _ { ell m} ( theta, phi)}$

${ displaystyle a _ { ell m} ^ {(E)} = { frac {ik} { sqrt { ell ( ell +1)}}} int d ^ {3} mathbf {x '} j _ { ell} (kr ') Y _ { ell m} ^ {*} ( theta', phi ') mathbf {L'} cdot left [k ^ {2} mathbf {M} ( mathbf {x '}) + mathbf { nabla'} times mathbf {J} ( mathbf {x '}) + mathbf { nabla'} ( mathbf { nabla '} cdot mathbf {M} ( mathbf {x '})) оң]}$

Электр өрісі:

${ displaystyle mathbf {E} ^ {(E)} ( mathbf {x}) = { frac {iZ_ {0}} {k}} mathbf { nabla} times mathbf {H} ^ { (E)} ( mathbf {x})}$

Формуланы сәйкестендіруді қолдану арқылы жеңілдетуге болады

${ displaystyle mathbf {L} cdot mathbf {V} ( mathbf {x}) = i mathbf { nabla} cdot ( mathbf {x} times mathbf {V} ( mathbf {x) }))}$

${ displaystyle mathbf {L} cdot ( mathbf { nabla} times mathbf {V} ( mathbf {x})) = i nabla ^ {2} ( mathbf {x} cdot mathbf {V} ( mathbf {x})) - { frac {i qism}} {r ішінара r}} (r ^ {2} mathbf { nabla} cdot mathbf {V} ( mathbf { х}))}$

${ displaystyle mathbf {L} cdot mathbf { nabla} s ( mathbf {x}) = 0}$

нәтижесінде пайда болатын интегралға^[5]

${ displaystyle a _ { ell m} ^ {(E)} = { frac {-ik ^ {2}} { sqrt { ell ( ell +1)}}}} int d ^ {3} mathbf {x '} j _ { ell} (kr') Y _ { ell m} ^ {*} ( theta ', phi') left [-ik mathbf { nabla} cdot ( mathbf { x '} times mathbf {M} ( mathbf {x'})) - { frac {i} {k}} nabla ^ {2} ( mathbf {x '} cdot mathbf {J} ( mathbf {x '})) - { frac {c qism}} {r' ішінара r '}} (r' ^ {2} rho ( mathbf {x '})) оң]}$

Грин теоремасы және бөліктер бойынша интеграциялау формуланы манипуляциялайды

${ displaystyle a _ { ell m} ^ {(E)} = { frac {-ik ^ {2}} { sqrt { ell ( ell +1)}}}} int d ^ {3} mathbf {x '} j _ { ell} (kr') Y _ { ell m} ^ {*} ( theta ', phi') left [-ik mathbf { nabla} cdot ( mathbf { x '} times mathbf {M} ( mathbf {x'})) + ik mathbf {x '} cdot mathbf {J} ( mathbf {x'}) right] + cY _ { ell m} ^ {*} ( theta ', phi') rho ( mathbf {x '}) { frac { partional} { partional r'}} (r'j _ { ell} (kr ') ))}$

The сфералық бессель функциясы ${ displaystyle j _ { ell} (kr ')}$ сонымен қатар радиациялық ұзындық шкаласы көздің ұзындығының шкаласынан әлдеқайда көп деп болжай отырып, жеңілдетілуі мүмкін, бұл көптеген антенналарға сәйкес келеді.

${ displaystyle j _ { ell} (kr ') = { frac {(kr') ^ { ell}} {(2 ell +1) !!}} + O ((kr ') ^ { ell +2})}$

Ең төменгі реттік шарттарды ғана сақтау электрлік мультиполды коэффициенттердің оңайлатылған түріне әкеледі:^[5]

${ displaystyle a _ { ell m} ^ {(E)} = { frac {-ick ^ { ell +2}} {(2 ell +1) !!}} left ({ frac { ell +1} { ell}} right) ^ {1/2} [Q _ { ell m} + Q _ { ell m} ']}$

${ displaystyle Q _ { ell m} = int d ^ {3} mathbf {x '} r' ^ { ell} Y _ { ell m} ^ {*} ( theta ', phi') rho ( mathbf {x '})}$

${ displaystyle Q _ { ell m} '= - { frac {ik} {c ( ell +1)}} int d ^ {3} mathbf {x'} r '^ { ell} Y_ { ell m} ^ {*} ( theta ', phi') mathbf { nabla} cdot ( mathbf {x '} times mathbf {M} ( mathbf {x'}))}$

${ displaystyle Q _ { ell m}}$ статикалық зарядтың үлестірілуіне қолданылса, статикалық жағдайдағы электрлік мультиполиялық моментпен бірдей ${ displaystyle rho ( mathbf {x})}$ ал ${ displaystyle Q _ { ell m} '}$ бастапқы материалдың ішкі магниттелуінен индукцияланған электрлік мультиполды моментке сәйкес келеді.

Магнитті көппольді өрістер

Жоғарыдағы шешімді магниттік мультиполды толқын теңдеуіне қолдану

${ displaystyle ( nabla ^ {2} + k ^ {2}) mathbf {E} ( mathbf {x}) = - left [ikZ_ {0} mathbf {J} ( mathbf {x}) + ikZ_ {0} mathbf { nabla} times mathbf {M} ( mathbf {x})) + { frac {iZ_ {0}} {k}} mathbf { nabla} ( mathbf { nabla} cdot mathbf {J} ( mathbf {x})) right]}$

электр өрісі үшін шешім береді:^[5]

${ displaystyle mathbf {E} ^ {(M)} ( mathbf {x}) = sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell } a _ { ell m} ^ {(M)} h _ { ell} ^ {(1)} (kr) mathbf {X} _ { ell m} ( theta, phi)}$

${ displaystyle a _ { ell m} ^ {(M)} = { frac {ik} { sqrt { ell ( ell +1)}}} int d ^ {3} mathbf {x '} j _ { ell} (kr ') Y _ { ell m} ^ {*} ( theta', phi ') mathbf {L'} cdot left [ikZ_ {0} mathbf {J} ( mathbf {x}) + ikZ_ {0} mathbf { nabla} times mathbf {M} ( mathbf {x})) + { frac {iZ_ {0}} {k}} mathbf { nabla } ( mathbf { nabla} cdot mathbf {J} ( mathbf {x})) right]}$

Магнит өрісі:

${ displaystyle mathbf {H} ^ {(M)} ( mathbf {x}) = - { frac {i} {kZ_ {0}}} mathbf { nabla} times mathbf {E} ^ {(М)} ( mathbf {x})}$

Форум бұрынғыдай жеңілдейді:

${ displaystyle a _ { ell m} ^ {(M)} = { frac {-ik ^ {2}} { sqrt { ell ( ell +1)}}}} int d ^ {3} mathbf {x '} j _ { ell} (kr') Y _ { ell m} ^ {*} ( theta ', phi') left [ mathbf { nabla} cdot ( mathbf {x ' } times mathbf {J} ( mathbf {x '})) - k ^ {2} mathbf {x'} cdot mathbf {M} ( mathbf {x '}) right] + Y_ { ell m} ^ {*} ( theta ', phi') mathbf { nabla} cdot mathbf {M} ( mathbf {x '}) { frac { qismli} { ішінара r' }} (r'j _ { ell} (kr '))}$

Төменгі реттік шарттарды ғана сақтау магниттік мультиполды коэффициенттердің оңайлатылған түріне әкеледі:^[5]

${ displaystyle a _ { ell m} ^ {(M)} = { frac {-ik ^ { ell +2}} {(2 ell +1) !!}} left ({ frac { ell +1} { ell}} right) ^ {1/2} [M _ { ell m} + M _ { ell m} ']}$

${ displaystyle M _ { ell m} = { frac {1} { ell +1}} int d ^ {3} mathbf {x '} r' ^ { ell} Y _ { ell m} ^ {*} ( theta ', phi') mathbf { nabla} cdot ( mathbf {x '} times mathbf {J} ( mathbf {x'}))}}$

${ displaystyle M _ { ell m} '= int d ^ {3} mathbf {x'} r '^ { ell} Y _ { ell m} ^ {*} ( theta', phi ') mathbf { nabla} cdot mathbf {M} ( mathbf {x '})}$

${ displaystyle M _ { ell m}}$ - тиімді магниттелуден шыққан магниттік мультиполдық момент ${ displaystyle mathbf {x} times mathbf {J} ( mathbf {x}) / 2}$ уақыт ${ displaystyle M _ { ell m} '}$ меншікті магниттелуге сәйкес келеді ${ displaystyle mathbf {M} ( mathbf {x})}$.

Жалпы шешім

Электрлік және магниттік мультипольді өрістер қосылып, өрістердің жалпы санын береді:^[5]

${ displaystyle mathbf {E} ( mathbf {x}, t) = Re left ( sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell} left [a _ { ell m} ^ {(M)} h _ { ell} ^ {(1)} (kr) mathbf {X} _ { ell m} ( theta, phi) + { frac {iZ_ {0}} {k}} a _ { ell m} ^ {(E)} mathbf { nabla} times (h _ { ell} ^ {(1)} (kr) mathbf {X} _ { ell m} ( theta, phi)) right] e ^ {- i omega t} right)}$

${ displaystyle mathbf {H} ( mathbf {x}, t) = Re left ( sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell} left [a _ { ell m} ^ {(E)} h _ { ell} ^ {(1)} (kr) mathbf {X} _ { ell m} ( theta, phi) - { frac {i} {kZ_ {0}}} a _ { ell m} ^ {(M)} mathbf { nabla} times (h _ { ell} ^ {(1)} (kr) mathbf {X} _ { ell m} ( theta, phi)) right] e ^ {- i omega t} right)}$

Радиалды функция екенін ескеріңіз ${ displaystyle h _ { ell} ^ {(1)} (kr)}$ can be simplified in the far field limit ${displaystyle 1/rll 1}$.

${displaystyle h_{ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{ell +1}{frac {e^{ikr}}{kr}}+O(1/r^{2})}$

Thus the radial dependence of radiation is recovered.

Сондай-ақ қараңыз

• Бірнеше кеңейту
• Сфералық гармоника
• Vector spherical harmonics
• Жақын және алыс өріс

Әдебиеттер тізімі

^{[1][2][3][4][5][6]}