Минковскис екінші теорема - Minkowskis second theorem - Wikipedia

Математикада, Минковскийдің екінші теоремасы нәтижесі болып табылады сандардың геометриясы а қабылдаған мәндер туралы норма торда және оның іргелі ұяшығының көлемі.

Параметр

Келіңіздер Қ болуы а жабық дөңес орталықтан симметриялы оң шекті көлемнің денесі n-өлшемді Евклид кеңістігі ℝⁿ. The өлшеуіш^[1] немесе қашықтық^[2][3] Минковский функционалды ж қоса беріледі Қ арқылы анықталады

${ displaystyle g (x) = inf left { lambda in mathbb {R}: x in lambda K right }.}$

Керісінше, норма берілген ж қосулы ℝⁿ біз анықтаймыз Қ болу

${ textstyle K = left {x in mathbb {R} ^ {n}: g (x) leq 1 right }.}$

Келіңіздер Γ болуы а тор жылы ℝⁿ. The дәйекті минимумдар туралы Қ немесе ж қосулы Γ орнату арқылы анықталады ккезекті минимум λ_к болу шексіз сандардың λ осындай К қамтиды к сызықты тәуелсіз векторлары Γ. Бізде бар 0 < λ₁ ≤ λ₂ ≤ ... ≤ λ_n < ∞.

Мәлімдеме

Келесі минимумдар қанағаттандырады^[4][5][6]

${ displaystyle { frac {2 ^ {n}} {n!}} operatorname {vol} left ( mathbb {R} ^ {n} / Gamma right) leq lambda _ {1} lambda _ {2} cdots lambda _ {n} operatorname {vol} (K) leq 2 ^ {n} operatorname {vol} left ( mathbb {R} ^ {n} / Gamma right ).}$

Дәлел

Сызықтық тәуелсіз векторлардың негізі б₁ , б₂ , ... б_n арқылы анықтауға болады g (b_j) = λ_j .

Төменгі деңгей дөңесті қарастыру арқылы дәлелденеді политоп 2n шыңдарымен ± b_j/ λ_jинтерьерімен қоршалған Қ және көлем 2ⁿ/ n! λ₁ λ₂... λ_n а-ның бүтін еселігі қарабайыр жасуша тордың политопын масштабтау арқылы көрінеді λ_j алу үшін әрбір негіз векторы бойынша 2ⁿ n- қарапайым торлы нүктелік векторлармен).

Жоғарғы шекті дәлелдеу үшін функцияларды қарастырыңыз f_j(х) жіберу ұпайлары х жылы ${ textstyle K}$ тармағының центроидына ${ textstyle K}$ деп жазуға болады ${ textstyle x + sum _ {i = 1} ^ {j-1} a_ {i} b_ {i}}$ кейбір нақты сандар үшін ${ textstyle a_ {i}}$. Сонда координат түрлендіреді ${ textstyle x '= h (x) = sum _ {i = 1} ^ {n} ( lambda _ {i} - lambda _ {i-1}) f_ {i} (x) / 2}$ Якобиялық детерминанты бар ${ textstyle J = lambda _ {1} lambda _ {2} ldots lambda _ {n} / 2 ^ {n}}$. Егер ${ textstyle p}$ және ${ textstyle q}$ ішінде интерьер туралы ${ textstyle K}$ және ${ textstyle p-q = sum _ {i = 1} ^ {k} a_ {i} b_ {i}}$(бірге ${ textstyle a_ {k} neq 0}$) содан кейін ${ textstyle (h (p) -h (q)) = sum _ {i = 0} ^ {k} c_ {i} b_ {i} in lambda _ {k} K}$ бірге ${ textstyle c_ {k} = lambda _ {k} a_ {k} / 2}$ , мұнда енгізу ${ textstyle lambda _ {k} K}$ (атап айтқанда интерьер ${ textstyle lambda _ {k} K}$) дөңес пен симметрияға байланысты. Бірақ интерьердегі торлы нүктелер ${ textstyle lambda _ {k} K}$ анықтамасына сәйкес ${ textstyle lambda _ {k}}$, әрқашан сызықтық тіркесімі ретінде көрінеді ${ textstyle b_ {1}, b_ {2}, ldots b_ {k-1}}$, сондықтан кез-келген екі нақты нүкте ${ textstyle K '= h (K) = lbrace x' | h (x) = x ' rbrace}$ тор векторымен бөлуге болмайды. Сондықтан, ${ textstyle K '}$ тордың қарабайыр ұяшығына салынуы керек (оның көлемі бар ${ textstyle { text {vol}} ( mathbb {R} ^ {n} / Gamma)}$), демек ${ textstyle { text {vol}} (K) / J = { text {vol}} (K ') leq { text {vol}} ( mathbb {R} ^ {n} / Gamma) }$.

Әдебиеттер тізімі

• Кассельдер, Дж. (1957). Диофантинге жуықтау туралы кіріспе. Математика және математикалық физикадағы Кембридж трактаттары. 45. Кембридж университетінің баспасы. Zbl  0077.04801.
• Кассельдер, Дж. (1997). Сандар геометриясына кіріспе. Математикадағы классиктер (1971 жылғы қайта басылым). Шпрингер-Верлаг. ISBN  978-3-540-61788-4.
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Қосымша сандар теориясы: кері есептер және сумсетс геометриясы. Математика бойынша магистратура мәтіндері. 165. Шпрингер-Верлаг. 180–185 бб. ISBN  0-387-94655-1. Zbl  0859.11003.
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантиннің жуықтаулары және диофантиндік теңдеулер. Математикадан дәрістер. 1467 (2-ші басылым). Шпрингер-Верлаг. б. 6. ISBN  3-540-54058-X. Zbl  0754.11020.
• Зигель, Карл Людвиг (1989). Komaravolu S. Chandrasekharan (ред.). Сандар геометриясы бойынша дәрістер. Шпрингер-Верлаг. ISBN  3-540-50629-2. Zbl  0691.10021.