Ming Antus тригонометриялық функцияларды шексіз кеңейту - Ming Antus infinite series expansion of trigonometric functions - Wikipedia

1-сурет: Мин Анту моделі

3-сурет: Мин Анту каталон сандарын өз бетінше ашты.

Мин Анту тригонометриялық функциялардың шексіз сериялы кеңеюі. Мин Анту, сот математигі Цин әулеті шексіз кең жұмыс жасады серияларды кеңейту туралы тригонометриялық функциялар оның шедеврінде Геюань Милю Джифа (Шеңберді бөлшектеудің жылдам әдісі және шеңбердің нақты қатынасын анықтау). Мин Анту шеңбердің үлкен доғасына және үлкен доғаның н-ші диссекциясына негізделген геометриялық модельдер жасады. 1 суретте, AE доғаның негізгі аккорды ABCDE, және AB, Б.з.д., CD, DE оның n-ші тең сегменттері. Егер аккорд болса AE = ж, аккорд AB = Б.з.д. = CD = DE = х, аккордты табу тапсырмасы болды ж аккордтың шексіз кеңеюі ретіндех. Ол жағдайларды зерттеді n = 3, 4-томдарда 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 және 10000 Geyuan Milü Jiefa.

Тарихи негіздер

1701 жылы Қытайға француз иезуиттік миссионері Пьер Джарту келді (1668-1720) және ол тригонометриялық функциялардың үш шексіз кеңеюін алып келді. Исаак Ньютон және Дж. Грегори:^[1]

${ displaystyle pi = 3 left (1 + { frac {1} {4 cdot 3!}} + { frac {3 ^ {2}} {4 ^ {2} cdot 5!}} + { frac {3 ^ {2} cdot 5 ^ {2}} {4 ^ {3} cdot 7!}} + cdots right)}$

${ displaystyle sin x = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7} } {7!}} + Cdots}$

${ displaystyle operatorname {vers} x = { frac {x ^ {2}} {2!}} - { frac {x ^ {4}} {4!}} + { frac {x ^ {6 }} {6!}} + Cdots.}$

Бұл шексіз сериялар қытай математиктерінің арасында үлкен қызығушылық тудырды π бұл «жылдам әдістермен» көбейту, қосу немесе азайту ғана қарастырылған, бұл классикалыққа қарағанда әлдеқайда жылдам Лю Хуй π алгоритмі шаршы түбірлерді алуды көздейді. Алайда Джарту осы шексіз қатарларды шығару әдісін қолданбады. Мин Анту еуропалықтар өздерінің құпияларымен бөліскісі келмейді деп күдіктенді, сондықтан ол осы жұмысты қолға алды. Ол отыз жыл бойы жұмыс істеді және қолжазбаны аяқтады Geyuan Milü Jiefa. Ол тригонометриялық шексіз қатарларды алудың геометриялық модельдерін жасады және жоғарыдағы үш шексіз қатарларды шығару әдісін тауып қана қоймай, тағы алты шексіз қатарларды ашты. Бұл процесте ол ашты және қолданды Каталон нөмірлері.

Екі сегментті аккорд

2-сурет: Мин Антудың 2 сегментті аккорданың геометриялық моделі

2-сурет Мин Антудың 2 сегментті аккорд моделі. Доға BCD бірлігі бар шеңбердің бөлігі болып табылады (r = 1) радиус. AD негізгі аккорд, доға BCD екіге бөлінеді C, BC, CD сызықтарын салыңыз, BC = CD = болсынх және радиусы AC = 1 болсын.

Шамасы, ${ displaystyle BD = 2x-GH}$ ^[2]

EJ = EF, FK = FJ болсын; BE-ді L-ге дейін созыңыз, ал EL = BE болсын; BF = BE жасаңыз, сондықтан F AE қатарына кіреді. BF-ге M дейін кеңейтілген, BF = MF болсын; LM-ді қосыңыз, LM С нүктесін өткізеді, БМ осі бойымен аударылған BLM үшбұрышы BMN үшбұрышына, мысалы C G-мен, L нүктесі N нүктесімен сәйкес келеді. BN осі бойындағы NGB төңкерілген үшбұрышы үшбұрышқа; BI = BC.

${ displaystyle AB: BC: CI = 1: x: x ^ {2}}$

БМ CG-ны екіге бөліп, BM = BC-ге жол береді; GM, CM-ге қосылыңыз; БМ-ны О-да ұстап қалу үшін CO = CM салыңыз; MP = MO жасаңыз; NQ = NR жасаңыз, R - BN мен AC-нің қиылысы. ∠EBC = 1/2 ∠CAE = 1/2 ∠EAB; ${ displaystyle Сондықтан}$ ∠EBM = ∠EAB; осылайша біз ұқсас үшбұрыштардың қатарын жасаймыз: ABE, BEF, FJK, BLM, CMO, MOP, CGH және CMO үшбұрышы = EFJ үшбұрышы;^[3]

${ displaystyle AB: BE: EF: FJ: JK = 1: p: p ^ {2}: p ^ {3}: p ^ {4}}$

${ displaystyle 1: BE = BE: EF;}$ атап айтқанда ${ displaystyle EF = BE ^ {2}}$

${ displaystyle 1: BE ^ {2} = x: GH}$

Сонымен ${ displaystyle GH = x cdot BE ^ {2} = xp ^ {2}}$,

және ${ displaystyle BD = 2x-xp ^ {2}}$

Себебі батпырауық тәрізді ABEC пен BLIN ұқсас,.^[3]

${ displaystyle EF = LC = CM = MG = NG = IN}$

${ displaystyle LM + MN = CM + MN + IN = CI + OP = JK + CI}$

${ displaystyle сондықтан AB: (BE + EC) = BL: (LM + MN)}$ және ${ displaystyle AB: BL = BL: (CI + JK)}$

Келіңіздер ${ displaystyle BL = q}$

${ displaystyle AB: BL: (CI + JK) = 1: q: q ^ {2}}$

${ displaystyle JK = p ^ {4}}$

${ displaystyle CI = y ^ {2}}$

${ displaystyle CI + JK = q ^ {2} = BL ^ {2} = (2BE) ^ {2} = (2p) ^ {2} = 4p ^ {2}}$

Осылайша ${ displaystyle q ^ {2} = 4p ^ {2}}$ немесе ${ displaystyle p = { frac {q} {2}}}$

Әрі қарай: ${ displaystyle CI + JK = x ^ {2} + p ^ {4} = q ^ {2}}$.

${ displaystyle x ^ {2} + { frac {q ^ {4}} {16}} = q ^ {2},}$

содан кейін

${ displaystyle x ^ {2} = q ^ {2} - { frac {q ^ {4}} {16}}}$

Жоғарыдағы теңдеуді екі жағына теңестіріп, 16-ға бөліңіз:^[4]

${ displaystyle { frac {(x ^ {2}) ^ {2}} {16}} = { frac {(q ^ {2} - { frac {q ^ {4}} {16}}) ^ {2}} {16}} = sum _ {j = 0} ^ {2} (- 1) ^ {j} {2 j} { frac {q ^ {2 (2 + j)} таңдаңыз } {16 ^ {j}}}}$

${ displaystyle { frac {x ^ {4}} {16}} = { frac {q ^ {4}} {16}} - { frac {q ^ {6}} {128}} + { frac {q ^ {8}} {4096}} {16}}$

Және тағы басқа

${ displaystyle { frac {x ^ {2n}} {16 ^ {n-1}}} = sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} {n j таңдаңыз { frac {q ^ {2 (n + j)}} {16 ^ {n + j-1}}}}$.^[5]

Жою үшін келесі екі теңдеуді қосыңыз ${ displaystyle q ^ {4}}$ заттар:

${ displaystyle x ^ {2} = q ^ {2} - { frac {q ^ {4}} {16}}}$

${ displaystyle { frac {x ^ {4}} {16}} = {{ frac {q ^ {4}} {16}} - { frac {2q ^ {6}} {16 ^ {2} }} + { frac {q ^ {8}} {4096}}} {16}}$

${ displaystyle x ^ {2} + { frac {x ^ {4}} {16}} = q ^ {2} - { frac {q ^ {6}} {128}} + { frac {q ^ {8}} {4096}}}$

${ displaystyle x ^ {2} + { frac {x ^ {4}} {16}} + { frac {2x ^ {6}} {16 ^ {2}}} = q ^ {2} - { frac {5q ^ {8}} {4096}} + { frac {3q ^ {10}} {32768}} - { frac {q ^ {12}} {524288}},}$(жойылғаннан кейін ${ displaystyle q ^ {6}}$ тармақ).

......................................

${ displaystyle { begin {aligned} & x ^ {2} + { frac {x ^ {4}} {16}} + { frac {2x ^ {6}} {16 ^ {2}}} + { frac {5x ^ {8}} {16 ^ {3}}} + { frac {14x ^ {10}} {16 ^ {4}}} + { frac {42x ^ {12}} {16 ^ {5}}} [10pt] {} & + { frac {132x ^ {14}} {16 ^ {6}}} + { frac {429x ^ {16}} {16 ^ {7}} } + { frac {1430x ^ {18}} {16 ^ {8}}} + { frac {4862x ^ {20}} {16 ^ {9}}} [10pt] & {} + { frac {16796x ^ {22}} {16 ^ {10}}} + { frac {58786x ^ {24}} {16 ^ {11}}} + { frac {208012x ^ {26}} {16 ^ { 12}}} [10pt] & {} + { frac {742900x ^ {28}} {16 ^ {13}}} + { frac {2674440x ^ {30}} {16 ^ {14}}} + { frac {9694845x ^ {32}} {16 ^ {15}}} [10pt] & {} + { frac {35357670x ^ {34}} {16 ^ {16}}} + { frac {129644790x ^ {36}} {16 ^ {17}}} [10pt] & {} + { frac {477638700x ^ {38}} {16 ^ {18}}} + { frac {1767263190x ^ { 40}} {16 ^ {19}}} + { frac {6564120420x ^ {42}} {16 ^ {20}}} [10pt] & = q ^ {2} + { frac {62985} { 8796093022208}} q ^ {24} end {aligned}}}$

Нуматорлардың кеңею коэффициенттері: 1,1,2,5,14,42,132 ...... (II суретті қараңыз Ming Antu түпнұсқа фигураның төменгі сызығы, оңнан солға қарай оқыңыз) Каталон нөмірлері , Мин Анту - каталон нөмірін ашқан тарихтағы алғашқы адам.^[6][7]

Осылайша:

${ displaystyle q ^ {2} = sum _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {x ^ {2n}} {4 ^ {2n-2}}}}$ ^[8][9]

онда ${ displaystyle C_ {n} = { frac {1} {n + 1}} {2n n}} таңдаңыз$ болып табылады Каталон нөмірі. Мин Анту рекурсиялық қатынастарды қытай математикасында қолдануға алғашқы жол ашты^[10]

${ displaystyle C_ {n} = sum _ {k} (- 1) ^ {k} {nk select k + 1} C_ {nk}}$

${ displaystyle өйткені BC: CG: GH = AB: BE: EF = 1: p: p ^ {2} = x: px: p ^ {2} x}$

${ displaystyle сондықтан GH: = p ^ {2} x = ({ frac {q} {2}}) ^ {2} x = { frac {q ^ {2} x} {4}}}$

ауыстырылды ${ displaystyle BD = 2x-GH}$

Ақыры ол алды^[11]

${ displaystyle BD = 2x - { frac {x} {4}} q ^ {2}}$

${ displaystyle = 2x- sum _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {x ^ {2n + 1}} {4 ^ {2n-1}}}}$

1-суретте ВАЕ бұрышы = α, BAC бұрышы = 2α × x = BC = sinα × q = BL = 2BE = 4sin (α / 2) × BD = 2sin (2α) Мин Анту алынған ${ displaystyle BD = 2x-x cdot BE ^ {2}}$

Бұл

${ displaystyle sin (2 alpha) = 2 sin alpha - sum _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {( sin alpha) ^ {2n + 1} } {4 ^ {n-1}}}}$

${ displaystyle = 2 sin ( alpha) - { frac {2 sin ( alpha) ^ {3}} {1+ cos ( alpha)}}}$

${ displaystyle q ^ {2} = BL ^ {2} = sum _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {x ^ {2n}} {4 ^ {2n-2} }}}$

Яғни ${ displaystyle sin ({ frac { alpha} {2}}) ^ {2} = sum _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {(sin alpha) ^ {2n}} {4 ^ {2n}}}}$

Үш сегментті аккорд

Сурет 3. Мин сегіздік аккордқа арналған геометриялық модель

3-суретте көрсетілгендей, BE - бүтін доға аккорды, BC = CE = DE = an - тең бөліктердің үш доғасы. Radii AB = AC = AD = AE = 1. BC, CD, DE, BD, EC сызықтарын салыңыз; BG = EH = BC, Bδ = Eα = BD, содан кейін Cαβ = Dδγ үшбұрышы болсын; ал Cαβ үшбұрышы BδD үшбұрышына ұқсас.

Тап мұндай:

${ displaystyle AB: BC = BC: CG = CG: GF}$, ${ displaystyle BC: FG = BD: delta gamma}$

${ displaystyle 2BD = BE + delta alpha}$

${ displaystyle 2BD- delta gamma = BE + BC}$

${ displaystyle сондықтан 2 рет BD- delta gamma -BC = BE}$

Ақырында ол алды

${ displaystyle BE = 3 рет a-a ^ {3}}$^[12][13]

Төрт сегментті аккорд

Ming Antu 4 сегменттік аккорд моделі

Келіңіздер ${ displaystyle y_ {4}}$ негізгі аккордтың ұзындығын білдіреді және төрт тең сегменттің ұзындығы = x,

${ displaystyle y_ {4} = 4 рет a - { frac {10 рет a ^ {3}} {4}} + { frac {14 рет a ^ {5}} {4 ^ {3} }} - { frac {12 times a ^ {7}} {4 ^ {5}}}}$+......

${ displaystyle 4a-10 times a ^ {3} / 4 + sum _ {n = 1} ^ { infty} (16C_ {n} -2C_ {n + 1}) times { frac {a ^ {2n + 1}} {4 ^ {2n-1}}}}$.^[14]

Тригонометрия мағынасы:

${ displaystyle sin (4 times alpha) = 4 times sin ( alpha) -10 times sin ^ {3} alpha}$${ displaystyle + sum _ {n = 1} ^ { infty} (16 рет C_ {n} -2C_ {n + 1}) есе { frac { sin ^ {2n + 3} ( альфа )} {4 ^ {n}}}}$.^[14]

Бес сегментті аккорд

Ming Antu 5 сегменттік аккорд моделі

${ displaystyle y_ {5} = 5a-5a ^ {3} + a ^ {5}}$

Бұл

${ displaystyle sin (5 alpha) = 5 sin ( alpha) -20 sin ^ {3} ( alpha) +16 sin ^ {5} ( alpha)}$^[15]。

Он сегментті аккорд

Ming Antu 10 сегментінің аккордтық диаграммасы

Осы кезден бастап Мин Анту геометриялық модель құруды тоқтатты, ол өзінің есептеуін шексіз қатарларды таза алгебралық манипуляциялау арқылы жүзеге асырды.

Шамасы, он сегменттерді құрамдас 5 сегмент деп санауға болады, әр сегмент өз кезегінде екі ішкі бөлімнен тұрады.

${ displaystyle сондықтан y_ {10} = y_ {5} (y_ {2})}$

${ displaystyle y_ {10} (a) = 5 times y_ {2} -5 times (y_ {2}) ^ {3} + (y_ {2}) ^ {5}}$,

Ол шексіз қатардың үшінші және бесінші қуатын есептеді ${ displaystyle y_ {2}}$ жоғарыда келтірілген теңдеуде және алынған:

${ displaystyle y_ {10} (a) = 10 есе a - { frac {165 times a ^ {3}} {4}} + { frac {3003 times a ^ {5}} {4 ^ {3}}} - { frac {21450 times a ^ {7}} {4 ^ {5}}}}$+......^[16][17]

Жүз сегменттік аккорд

Ming Antu 100 сегментінің аккорд диаграммасы

Мин Антудың 100 сегменттік аккордты есептеу факсимилесі

Жүз сегменттік доғаның хордасын композиттік 10 сегмент-10 ішкі сегменттері деп санауға болады, thussustutde ${ displaystyle a = y_ {10}}$ ішіне ${ displaystyle y_ {10}}$, шексіз сериямен манипуляциядан кейін ол алды:

${ displaystyle y_ {100} = y_ {10} (a = y_ {10})}$

${ displaystyle { begin {aligned} y_ {100} (a) = & 100 times a-166650 times { frac {a ^ {3}} {4}} + 333000030 times { frac {a ^ { 5}} {4 times 16}} & - 316350028500 times { frac {a ^ {7}} {4 times 16 ^ {2}}} + 17488840755750 times { frac {a ^ {9 }} {4 times 16 ^ {3}}} + ldots end {aligned}}}$^[17][18]

Мың сегменттік аккорд

${ displaystyle y_ {1000} = y_ {100} (y_ {10})}$

${ displaystyle y_ {1000} (a) = 1000 times a-1666666500 times { frac {a ^ {3}} {4}} + 33333000000300 times { frac {a ^ {5}} {4 рет 16}} - 3174492064314285000 { frac {a ^ {7}} {4 times 16 ^ {2}}} +}$......^[17][19]

Он мың сегменттік аккорд

${ displaystyle y_ {10000} = 10000 рет a - { frac {166666665000 рет a ^ {3}} {4}} + { frac {33333330000000300 рет a ^ {5}} {4 ^ {3} }} +}$............^[12]

Сегменттер саны шексіздікке жақындағанда

N = 2,3,5,10,100,1000,10000 сегменттері үшін шексіз қатарды алғаннан кейін Мин Анту n шексіздікке жақындаған кезде істі қарауға көшті.

y100, y1000 және y10000 келесі түрде жазылуы мүмкін:

${ displaystyle y100 = 100a - { frac {(100a) ^ {3}} {24.002400240024002400}} + { frac {(100a) ^ {5}} {24.024021859697730358 times 80}} +}$..........

${ displaystyle y1000: = 1000a - { frac {(1000a) ^ {3}} {24.000024000024000024}} + { frac {(1000a) ^ {5}} {24.000240002184019680 times 80}} +}$..............

${ displaystyle y10000: = 10000a - { frac {(10000a) ^ {3}} {24.000000240000002400}} + { frac {(10000a) ^ {5}} {24.000002400000218400 times 80}} +}$..................

Ол n шексіздікке жақындағанда бөлгіштер 24.000000240000002400, 24.000002400000218400 × 80 сәйкесінше 24 және 24 × 80 жақындайтынын, ал n -> шексіздік болғанда, nа (100a, 1000a, 1000a) доғаның ұзындығына айналатынын атап өтті. демек^[20]

${ displaystyle chord = arc - { frac {arc ^ {3}} {4 times 3!}} + { frac {arc ^ {5}} {4 ^ {2} times 5!}} - { frac {arc ^ {7}} {4 ^ {3} times 7!}} +}$.....

${ displaystyle = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1} times arc ^ {2 times n-1}} {(4 ^ {n) -1} рет (2 рет n-1)!)}}}$

Содан кейін Мин Анту шексіз сериялық реверсия жасап, доғаны өзінің аккорды арқылы өрнектеді

^[20]

${ displaystyle arc: = chord + { frac {chord ^ {3}} {24}} + { frac {3 times chord ^ {5}} {640}} + { frac {5 times chord ^ { 7}} {7168}} +}$............

Әдебиеттер тізімі

• Луо Мин Антудың Гейуан Милв Джифаның қазіргі қытай аудармасы, аудармасы мен түсіндірмесін Луо Цзяньцзинь, Ішкі Моңғолия Білім Баспасы 1998 (明安 图 原著 罗 见 今 译注 《割 圆 密 率 捷 法》 内蒙古 教育 出版社) Бұл Мин Анту кітабының жалғыз қытайша аудармасы, оның толық аннотациясымен қазіргі заманғы математикалық белгілер). ISBN  7-5311-3584-1
• Йосио Миками Қытай мен Жапониядағы математиканың дамуы, Лейпциг, 1912 ж