Миллер индексі - Miller index

Кубтық кристалдардағы Миллердің әртүрлі индекстері бар жазықтықтар
Бағыттардың мысалдары

Миллер индекстері белгілер жүйесін құру кристаллография ұшақтар үшін кристалды торлар (Bravais).

Атап айтқанда, отбасы торлы ұшақтар үшімен анықталады бүтін сандар сағ, к, және, Миллер индекстері. Олар (hkℓ) жазылған және ортогоналды жазықтықтар тобын білдіреді , қайда болып табылады негіз туралы өзара тор векторлар (жазықтық әрдайым тікелей торлы векторлардың сызықтық комбинациясына ортогональды бола бермейтіндігін ескеріңіз өйткені торлы векторлар өзара ортогонал болмауы керек). Шарт бойынша, теріс бүтін сандар сияқты жолақпен жазылады 3 −3 үшін. Бүтін сандар әдетте ең төменгі мәндерде жазылады, яғни олардың ең үлкен ортақ бөлгіш болуы керек. Миллер индекстері in-де шағылыстыру үшін қолданылады Рентгендік кристаллография. Бұл жағдайда бүтін сандар міндетті түрде ең төменгі мәндерде емес және оларды көршілес жазықтықтардың шағылыстары фазалардың айырмашылығы толығымен бір толқын ұзындығына тең болатындай етіп орналастырылған жазықтықтарға сәйкес келеді деп санауға болады (2π). бұл ұшақтар немесе жоқ.

Бірнеше байланысты белгілер бар:[1]

  • {hkℓ} жазбасы тордың симметриясымен (hkℓ) -ке тең болатын барлық жазықтықтардың жиынын білдіреді.

Кристалл контекстінде бағыттар (жазықтық емес), тиісті белгілер:

  • [hkℓ], дөңгелек жақшалардың орнына квадратпен, негізінің бағытын білдіреді тікелей өзара тордың орнына торлы векторлар; және
  • сол сияқты белгісі симметрия бойынша [hkℓ] -ге эквивалентті барлық бағыттардың жиынын білдіреді.

Миллер индексін 1839 жылы британдық минералог енгізген Уильям Халлоус Миллер дегенмен, бірдей жүйе (Вайс параметрлері) неміс минералогы қолданған болатын Христиан Сэмюэль Вайсс 1817 жылдан бастап.[2] Бұл әдіс сонымен қатар Миллерия жүйесі деп, ал индекстер Миллерян деп аталады,[3] дегенмен бұл қазір сирек кездеседі.

Миллер индекстері, кейде айтылғандай, қарабайыр базистік векторларға ғана емес, бірлік ұяшықтарының кез-келген таңдауына қатысты анықталады.

Анықтама

Осьтермен кесінділерді пайдаланып жазықтық үшін индекстерді анықтау мысалдары; солға (111), оңға (221)

Миллер индексінің мағынасын анықтаудың екі баламалы әдісі бар:[1] нүктесі арқылы өзара тор, немесе торлы векторлар бойымен кері кесінді ретінде. Екі анықтама да төменде келтірілген. Кез-келген жағдайда үш торлы векторды таңдау керек а1, а2, және а3 бірлік ұяшықты анықтайтын (шартты бірлік ұяшықтың қарабайыр ұяшыққа қарағанда үлкенірек болатынын ескеріңіз Bravais торы ретінде төменде келтірілген мысалдар көрсету). Оларды ескере отырып, үш қарабайыр өзара торлы векторлар да анықталады (белгіленеді) б1, б2, және б3).

Содан кейін үш Миллер индексі берілген h, k, ℓ, (hkℓ) өзара торлы векторға ортогоналды жазықтықтарды білдіреді:

Яғни, (hkℓ) жай жазықтықтағы қалыпты жағдайды көрсетеді негіз алғашқы векторлық торлы векторлар. Координаттар бүтін сандар болғандықтан, бұл нормаль әрқашан өзара торлы вектор болып табылады. Төменгі терминдердің талабы оның екенін білдіреді ең қысқа берілген бағыттағы өзара торлы вектор.

Эквивалентті, (hkℓ) үш нүктені ұстап тұрған жазықтықты білдіреді а1/сағ, а2/к, және а3/немесе оның бірнеше еселігі. Яғни, Миллер индекстері пропорционалды инверстер тор векторлары негізінде жазықтықтың кесінділерінің. Егер индекстердің біреуі нөлге тең болса, бұл жазықтықтар сол осьпен қиылыспайды дегенді білдіреді (кесіп алу «шексіздікте»).

Бір немесе бірнеше тор нүктелерін қиып өтетін тек (hkℓ) жазықтықтарды ескеру керек торлы ұшақтар), перпендикуляр қашықтық г. іргелес торлы жазықтықтар арасындағы жазықтықтарға ортогоналды (ең қысқа) өзара торлы векторға формула бойынша байланысты: .[1]

Байланысты [hkℓ] белгісі бағыт:

Яғни, ол өзара тордың орнына тікелей торлы негізді қолданады. [Hkℓ] мәні екенін ескеріңіз емес Төменде сипатталғандай текше тордан басқа, (hkℓ) жазықтыққа әдетте қалыпты.

Текше құрылымдардың корпусы

Қарапайым кубтық кристалдардың ерекше жағдайы үшін торлы векторлар ортогоналды және ұзындығы тең (әдетте белгіленеді) а), өзара тор сияқты. Осылайша, бұл жалпы жағдайда Миллер индекстері (hkℓ) және [hkℓ] екеуі де жай нормаларды / бағыттарды белгілейді Декарттық координаттар.

Кубтық кристалдар үшін тор тұрақты а, аралық г. (hkℓ) торлы жазықтықтар арасында (жоғарыдан)

.

Текше кристалдардың симметриясына байланысты бүтін сандардың орнын және таңбасын өзгертуге болады, олардың эквивалентті бағыттары мен жазықтықтары болады:

  • Индекстер бұрыштық жақшалар мысалы, ⟨100⟩ а отбасы [100], [010], [001] сияқты симметрия операцияларына байланысты эквивалентті бағыттар немесе осы бағыттардың кез келгенінің терісі.
  • Индекстер бұйра жақшалар немесе жақша мысалы, {100} симметрия операцияларының арқасында эквивалентті болатын жазықтықтағы нормалдың жанұясын, бұрыштық жақша бағыттар тобын білдіреді.

Үшін бетіне бағытталған куб және денеге бағытталған куб торлар, қарабайыр торлы векторлар ортогоналды емес. Алайда, бұл жағдайларда Миллер индекстері шартты түрде кубтың торлы векторларына қатысты анықталады суперцелл демек, декарттық бағыттар.

Алты бұрышты және ромбоведралық құрылымдардың жағдайы

Миллер-Брава индекстері

Бірге алты бұрышты және ромбоведральды торлы жүйелер, қолдануға болады Бравайс-Миллер төрт индексті қолданатын жүйе (сағ к мен ) шектеулерге бағынатындар

сағ + к + мен = 0.

Мұнда сағ, к және сәйкес Миллер индексімен бірдей, және мен бұл артық индекс.

Алты бұрышты тордағы жазықтықты таңбалаудың төрт индексі схемасы орын ауыстыру симметрияларын айқын етеді. Мысалы, (110) ≡ (11) арасындағы ұқсастық20) және (120) ≡ (1120) артық индекс көрсетілген кезде айқынырақ болады.

Оң жақтағы суретте (001) жазықтығы 3 есе симметрияға ие: ол 1/3 (2π / 3 рад, 120 °) айналуымен өзгеріссіз қалады. [100], [010] және [110] бағыттары шынымен ұқсас. Егер S - бұл жазықтықтың [110] осі, содан кейін

мен = 1/S.

Сондай-ақ бар осы жағдай үшін схемалар (мысалы электронды микроскопия алтыбұрышты индекстеу үшін) торлы векторлар (өзара торлы векторлардан немесе жазықтықтардан гөрі) төрт индексі бар. Алайда олар әдеттегі үш индекс жиынтығына артық индексті қосу арқылы жұмыс істемейді.

Мысалы, жоғарыда көрсетілген өзара байланыс торының векторын (hkℓ) кері тор векторлары түрінде былай жазуға болады. . Алты қырлы кристалдар үшін бұл тікелей торлы базис-векторлар арқылы көрсетілуі мүмкін а1, а2 және а3 сияқты

Демек, жазықтыққа перпендикуляр бағыттың аймақтық индекстері (hkℓ), жай қалыпқа келтірілген үштік түрінде, жай . Қашан төрт индекс қалыптыдан жазықтыққа дейінгі аймақ үшін қолданылады (hkℓ), бірақ әдебиеттер жиі қолданады орнына.[4] Көріп отырғаныңыздай, квадрат немесе бұрыштық жақшалардағы төрт индексті аймақ индекстері кейде оң жақтағы бір тікелей торлы индексті сол жақтағы өзара-торлы индекстермен (әдетте дөңгелек немесе бұйра жақшаларда) араластырады.

Алтыбұрышты жоспарлар аралықтары үшін олар формада болатындығын ескеріңіз

Кристаллографиялық жазықтықтар мен бағыттар

Тығыз кристаллографиялық жазықтықтар

Кристаллографиялық бағыттар сызықтар түйіндерді байланыстыру (атомдар, иондар немесе молекулалар ) кристалдан Сол сияқты, кристаллографиялық ұшақтар болып табылады ұшақтар түйіндерді байланыстыру. Кейбір бағыттар мен жазықтықтарда түйіндердің тығыздығы жоғары; бұл тығыз жазықтықтар кристалдың әрекетіне әсер етеді:

  • оптикалық қасиеттері: қоюландырылған затта, жарық бір атомнан екінші атомға «секіреді» Рэлей шашырау; The жарық жылдамдығы атомдар жақын немесе алыс болса да, нұсқауларға сәйкес өзгереді; бұл береді қос сынық
  • адсорбция және реактивтілік: атомдарда немесе молекулаларда кристалдық беттерде адсорбция және химиялық реакциялар жүруі мүмкін, бұл құбылыстар түйіндердің тығыздығына сезімтал;
  • беттік керілу: материалдың конденсациясы дегеніміз, атомдар, иондар немесе молекулалар басқа ұқсас түрлермен қоршалған болса, олардың тұрақтылығы жоғары; интерфейстің беттік керілуі бетіндегі тығыздыққа байланысты өзгереді
  • дислокация (пластикалық деформация )
    • дислокация өзегі тығыз жазықтықтарға таралуға ұмтылады (серпімді толқу «сұйылтылған»); бұл төмендейді үйкеліс (Пейерлс-Набарро күші ), сырғанау тығыз жазықтықта жиі кездеседі;
    • дислокациямен болатын мазасыздық (Бургерлер векторы ) тығыз бағыт бойымен жүреді: бір түйіннің тығыз бағытқа ауысуы аз бұрмалану болып табылады;
    • дислокациялық сызық тығыз бағыт бойынша жүруге ұмтылады, дислокация сызығы көбінесе түзу, дислокациялық цикл көбінесе а болады көпбұрыш.

Барлық осы себептерге байланысты ұшақтарды анықтау өте маңызды, осылайша белгілеу жүйесі болуы керек.

Бүтін санға қарсы және қисынсыз Миллер индекстері: торлы жазықтықтар мен квазикристалдар

Әдетте, Миллер индекстері әрдайым анықтама бойынша бүтін сандар болып табылады және бұл шектеу физикалық тұрғыдан маңызды. Мұны түсіну үшін біз Миллердің «индекстері» болатын жазықтыққа (abc) жол береміз делік. а, б және c (жоғарыда анықталған) міндетті түрде бүтін сан емес.

Егер а, б және c бар рационалды коэффициенттері, содан кейін бірдей ұшақтар тобын масштабтау арқылы бүтін индекс (hkℓ) түрінде жазуға болады а, б және c сәйкесінше: үш санның ең үлкеніне бөліп, сандарына көбейтіңіз ең кіші ортақ бөлгіш. Осылайша, бүтін Миллер индекстері барлық рационалды коэффициенттері бар индекстерді жанама түрде қамтиды. Компоненттері (өзара-торлы негізде) ұтымды қатынастарға ие болатын ұшақтардың ерекше қызығушылық тудыратын себебі - бұл торлы ұшақтар: олар кристаллмен қиылыстары 2д-периодты болатын жалғыз жазықтық.

Ұшақ үшін (abc) қайда а, б және c бар қисынсыз қатынастар, екінші жағынан жазықтықтың кристаллмен қиылысуы емес мерзімді. Ол а деп аталатын апериодикалық үлгіні құрайды квазикристалл. Бұл конструкция квазикристалды анықтаудың стандартты «кесу-жобалау» әдісіне дәл сәйкес келеді, бұл иррационал-коэффициент Миллер индексі бар жазықтықты қолданады. (Көптеген квазикристалдар болса да, мысалы Пенрозды плитка, үштен артық өлшемді периодты торлардың «қиықтарымен» құрылады, олардың біреуден көп қиылысы гиперплан.)

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б c Эшкрофт, Нил В .; Мермин, Н.Дэвид (1976). Қатты дене физикасы. Нью-Йорк: Холт, Райнхарт және Уинстон. ISBN  0030839939. OCLC  934604.
  2. ^ Вайс, Кристиан Самуил (1817). «Ueber eine verbesserte Methode für die Bezeichnung der verschiedenen Flächen eines Krystallisationssystems, nebst Bemerkungen über den Zustand der Polarisierung der Seiten in in Linien der krystallinischen Structur». Abhandlungen der physikalischen Klasse der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften: 286–336.
  3. ^ Интернеттегі Оксфорд сөздігі (2007 жылдың мамыр айынан кеңес алған)
  4. ^ Дж. В. Эдингтон (1976) Материалтанудағы практикалық электронды микроскопия (N. V. Philips 'Gloeilampenfabrieken, Эйндховен) ISBN  1-878907-35-2, 2-қосымша

Сыртқы сілтемелер