Мидис теоремасы - Midys theorem - Wikipedia

Жылы математика, Миди теоремасы, атындағы Француз математик Э. Меди,[1][2] туралы мәлімдеме болып табылады ондық кеңейту туралы фракциялар а/б қайда б Бұл қарапайым және а/б бар ондықты қайталау кеңейту тіпті кезең (реттілік A028416 ішінде OEIS ). Егер ондық кескіннің периоды болса а/б 2.n, сондай-ақ

онда қайталанатын ондық нүктенің екінші жартысындағы цифрлар болып табылады 9s толықтырушы оның бірінші жартысындағы сәйкес цифрлар. Басқа сөздермен айтқанда,

Мысалға,

Кеңейтілген Миди теоремасы

Егер к ондық кеңейту периодының кез келген бөлгіші болып табылады а/б (қайда б қайтадан қарапайым), онда Миди теоремасын келесідей қорытуға болады. The Миди теоремасын кеңейтті[3] егер ондық кеңеюдің қайталанатын бөлігі болса а/б бөлінеді к-сандық сандар, содан кейін олардың қосындысы 10-ға еселік боладык − 1.

Мысалға,

периоды бар. Қайталанатын бөлікті 6 таңбалы сандарға бөліп, оларды қосқанда шығады

Сол сияқты қайталанатын бөлікті 3 таңбалы сандарға бөлу және оларды қорытындылау нәтижесі береді

Мидидің басқа негіздердегі теоремасы

Миди теоремасы және оның кеңеюі ондық кеңейтудің ерекше қасиеттеріне тәуелді емес, бірақ кез-келгенінде бірдей жақсы жұмыс істейді негіз б, егер біз 10-ды ауыстырсақк - 1 бірге бк - 1 және негізде қосуды жүзеге асырыңыз б.

Мысалы, in сегіздік

Жылы он екі ондық (сәйкесінше он және он бірге төңкерілген екі және үшеуін қолдану)

Миди теоремасының дәлелі

Медиа теоремасының қысқаша дәлелдемелерін алынған нәтижелер арқылы келтіруге болады топтық теория. Сонымен бірге Миди теоремасын пайдаланып дәлелдеуге болады қарапайым алгебра және модульдік арифметика:

Келіңіздер б қарапайым және а/б 0 мен 1 арасындағы бөлшек болсын. -ның кеңеюін алайық а/б негізде б кезеңі бар , сондықтан

қайда N - кеңеюі негізі болатын бүтін сан б бұл жіп а1а2...а.

Ескертіп қой б  - 1-нің еселігі б өйткені (б  − 1)а/б бүтін сан. Сондай-ақ бn−1 болып табылады емес -ның еселігі б кез келген мәні үшін n одан азырақ , өйткені әйтпесе қайталанатын кезеңі а/б негізде б қарағанда аз болар еді .

Енді солай делік  = хк. Содан кейін б  - 1-нің еселігі бк - 1. (Мұны көру үшін ауыстырыңыз х үшін бк; содан кейін б = хсағ және х - 1 коэффициенті хсағ - 1.) Айтыңыз б  − 1 = м(бк - 1), сондықтан

Бірақ б  - 1-нің еселігі б; бк - 1 емес -ның еселігі б (өйткені к аз ); және б қарапайым; сондықтан м еселі болуы керек б және

бүтін сан. Басқа сөздермен айтқанда,

Енді жіпті бөліңіз а1а2...а ішіне сағ ұзындықтың тең бөліктері к, және бұл бүтін сандарды көрсетсін N0...Nсағ − 1 негізде б, сондай-ақ

Мидидің кеңейтілген теоремасын негіздеу үшін б қосындысын көрсету керек сағ бүтін сандар Nмен -ның еселігі бк − 1.

Бастап бк 1 модульге сәйкес келеді бк - 1, кез келген қуаты бк сонымен қатар 1 модульге сәйкес келеді бк - Сонымен

бұл Мидидің кеңейтілген теоремасын дәлелдейді б.

Мидидің түпнұсқа теоремасын дәлелдеу үшін қайда арнайы жағдайды қарастырыңыз сағ = 2. Назар аударыңыз N0 және N1 екеуі де жолдарымен ұсынылған к цифрлар базада б сондықтан екеуі де қанағаттандырады

N0 және N1 екеуі де 0-ге тең бола алмайды (әйтпесе а/б = 0) және екеуі де тең бола алмайды бк - 1 (басқаша а/б = 1), сондықтан

және содан бері N0 + N1 -ның еселігі бк - 1, бұдан шығады

Қорытынды

Жоғарыда айтылғандардан,

бүтін сан

Осылайша

Осылайша

Үшін және бүтін сан

және тағы басқа.

Ескертулер

  1. ^ Леавитт, Уильям Г. (маусым 1967). «Ондық бөлшектерді қайталау туралы теорема». Американдық математикалық айлық. Американың математикалық қауымдастығы. 74 (6): 669–673. дои:10.2307/2314251.
  2. ^ Кемени, Джон. «Медиа құпия теоремасы = Кастинг тоғыздарда». Алынған 27 қараша 2011.
  3. ^ Бассам Абдул-Баки, Кеңейтілген Миди теоремасы, 2005.

Әдебиеттер тізімі

  • Радемач, H. және Toeplitz, О. Математикадан ләззат алу: әуесқойларға арналған математикадан таңдаулар. Принстон, NJ: Принстон университетінің баспасы, 158–160 б., 1957 ж.
  • Э. Меди, «De Quelques Propriétés des Nombres et des Fraction Décimales Périodiques». Нант колледжі, Франция: 1836 ж.
  • Росс, Кеннет А. «Ондық бөлшектерді қайталау: нүктелік кесінді». Математика. Маг. 83 (2010), жоқ. 1, 33-45.

Сыртқы сілтемелер