Mertons портфолиосы мәселесі - Mertons portfolio problem - Wikipedia

Мертонның портфолиосы проблемасы үздіксіз белгілі проблема болып табылады қаржы және, атап айтқанда портфолионы уақытша таңдау. Инвестор қанша тұтыну керектігін таңдап алуы керек және өз байлығын акциялар мен тәуекелсіз активтер арасында бөліп, күтілетін жағдайды барынша арттыруы керек. утилита. Мәселе тұжырымдалды және шешілді Роберт С. Мертон 1969 ж. шекті өмір үшін де, шексіз жағдай үшін де.[1] Зерттеулер модельді кеңейту және жалпылауды жалғастырды, оған ұқсас факторларды қосу керек транзакциялық шығындар және банкроттық.

Проблеманы шешу

Инвестор 0-ден бірнеше уақытқа дейін өмір сүредіТ; уақытта оның байлығы т деп белгіленеді Wт. Ол белгілі бастапқы байлықтан басталады W0 (ол жалақы кірісінің дисконтталған құнын қамтуы мүмкін). Уақытында т ол өзінің байлығының қандай мөлшерін тұтынатынын таңдау керек, втжәне байлықтың қандай үлесін акциялар портфолиосына салу керек, πт (қалған бөлшек 1 -πт тәуекелсіз активке салынған).

Мақсаты

қайда E күту операторы, сен белгілі утилита функциясы (бұл тұтынуға да, байлыққа да, мұраға қалдыруға да қатысты, WТ), ε қалаудың қалаған деңгейін параметрлейді, және ρ дисконттаудың субъективті ставкасы болып табылады.

Байлық сәйкесінше дамиды стохастикалық дифференциалдық теңдеу

қайда р тәуекелсіз мөлшерлеме, (μσ) - бұл қор нарығының күтілетін кірістілігі мен құбылмалылығы және дБт - өсімшесі Wiener процесі, яғни SDE-нің стохастикалық мерзімі.

Утилита функциясы тұрақты салыстырмалы қауіптен аулақ болу (CRRA) нысаны:

қайда инвестордың тәуекелден аулақ болуын білдіретін тұрақты болып табылады: гамма неғұрлым жоғары болса, акцияларды иемденуге деген құлшыныс соғұрлым көп болады.

Тұтыну теріс болмауы мүмкін: вт ≥ 0, ал πт шектеусіз (бұл қарыз алуға немесе қысқа мерзімді акцияларға рұқсат етіледі).

Инвестициялық мүмкіндіктер үнемі қабылданады, яғни рμσ модельдің осы (1969 ж.) нұсқасында белгілі және тұрақты, дегенмен Мертон олардың өздерін өзгертуге мүмкіндік берді уақыт аралық CAPM (1973).

Шешім

Біршама таңқаларлық оңтайлы бақылау мәселе, жабық түрдегі шешім бар. Оңтайлы тұтыну мен қорларды бөлу байлық пен уақытқа байланысты:

(Бұл өрнек әдетте Мертонның бөлшегі деп аталады. Назар аударыңыз W және т оң жақта көрінбеңіз; бұл байлықтың тұрақты бөлігі инвестордың жасына немесе өркендеуіне қарамастан акцияларға салынатындығын білдіреді).

қайда және

Айнымалы субъективті утилиталық жеңілдік ставкасы болып табылады.[2]:401)

Кеңейтімдер

Мәселенің көптеген нұсқалары зерттелді, бірақ көпшілігі қарапайым жабық түрдегі шешімге әкелмейді.

  • Икемді зейнет жасын ескеруге болады.[3]
  • CRRA-дан басқа утилита функциясын қолдануға болады.
  • Транзакциялық шығындар енгізілуі мүмкін. Үшін пропорционалды трансакциялық шығындар мәселені 1990 жылы Дэвис пен Норман шешті.[4] Бұл бірнеше жағдайлардың бірі стохастикалық сингулярлық бақылау шешім белгілі болатын жерде. Графикалық көрініс үшін екі активтің әрқайсысына салынған соманы келесі графикке салуға болады х- және ж-салық; басынан үш қиғаш сызық жүргізуге болады: жоғарғы шекара, Мертон сызығы және төменгі шекара. The Мертон сызығы операциялық шығындар болмаған кезде Мертон шығарған акциялар / облигациялар пропорциясы бар портфолионы білдіреді. Ағымдағы портфолионы көрсететін нүкте Мертон сызығының жанында болғанша, яғни жоғарғы және төменгі шекара арасында ешқандай әрекет қажет емес. Портфолио жоғарғы немесе төменгі шекарадан асқанда, портфолионы сол шекараға қайта келтіру үшін оны қайта теңестіру керек. 1994 жылы Шрев пен Сонер проблеманы талдау арқылы ұсынды Гамильтон-Якоби-Беллман теңдеуі және оның тұтқырлық шешімдері.[5]
Болған кезде тұрақты транзакциялық шығындар проблеманы Истмэн мен Хастингс 1988 жылы шешкен.[6] Шредердің сандық шешімі 1995 жылы ұсынылған.[7]
Соңында Мортон мен Плиска[8] логарифмдік утилита үшін инвестордың байлығына пропорционалды сауда шығындарын қарастырды. Бұл шығын құрылымы нақты өмірдегі транзакциялық шығындардың өкілі емес болып көрінгенімен, оны қосымша активтері бар жағдайларда шамамен шешімдер табуға пайдалануға болады,[9] мысалы, мәселе бойынша нақты шешімдер беру қиынға соғатын немесе шешілмейтін жеке қорлар.
  • Тұрақты инвестициялық мүмкіндіктерді болжауға болады. Бұл үшін модель қажет уақыт өте келе өзгереді. Пайыздық мөлшерлеме моделін қосуға болады және әр түрлі өтеу мерзімі бар облигациялардан тұратын портфельге әкелуі мүмкін. Кейбір авторлар қор нарығының кірісінің стохастикалық құбылмалылық моделін қосты.
  • Банкроттықты енгізуге болады. Бұл мәселені 1986 жылы Каратзас, Лехоцки, Сети және Шрев шешті.[10] Банкроттықты қамтитын көптеген модельдер Sethi (1997) жинағында жинақталған.[11]

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Мертон, Р. (1 тамыз 1969). «Белгісіздік жағдайындағы өмірлік портфолионы таңдау: үздіксіз жағдай». Экономика және статистикаға шолу. 51 (3): 247–257. дои:10.2307/1926560. ISSN  0034-6535. JSTOR  1926560.
  2. ^ Мертон, Р. (1971). «Үздіксіз модельдегі тұтыну және портфолио ережелері» (PDF). Экономикалық теория журналы. 3 (4): 373–413. дои:10.1016 / 0022-0531 (71) 90038-X. hdl:1721.1/63980.
  3. ^ Боди, З .; Мертон, Р.; Samuelson, W. F. (1992). «Өмірлік цикл моделіндегі еңбек ұсынысының икемділігі және портфолионы таңдау» (PDF). Экономикалық динамика және бақылау журналы. 16 (3–4): 427. дои:10.1016 / 0165-1889 (92) 90044-F.
  4. ^ Дэвис, М. Х.; Норман, А.Р (1990). «Транзакция шығындарымен портфолионы таңдау» (PDF). Операцияларды зерттеу математикасы. 15 (4): 676. дои:10.1287 / moor.15.4.676. hdl:10044/1/11848. JSTOR  3689770.
  5. ^ Шрев, С. Е .; Soner, H. M. (1994). «Транзакция шығындарымен оңтайлы инвестиция және тұтыну». Қолданбалы ықтималдық шежіресі. 4 (3): 609. дои:10.1214 / aoap / 1177004966. JSTOR  2245058.
  6. ^ Истхэм, Дж. Ф .; Хастингс, К. Дж. (1988). «Портфолионың оңтайлы импульсті бақылауы». Операцияларды зерттеу математикасы. 13 (4): 588. дои:10.1287 / moor.13.4.588. JSTOR  3689945.
  7. ^ Шродер, М. (1995). «Белгілі бір транзакциялық шығындармен портфолионы оңтайлы таңдау: сандық шешімдер» (PDF). Жұмыс құжаты. Мичиган мемлекеттік университеті.
  8. ^ Мортон, Дж .; Плиска, С.Р (1995). «Транзакциялардың тұрақты шығындарымен портфолионы оңтайлы басқару». Математикалық қаржы. 5 (4): 337. дои:10.1111 / j.1467-9965.1995.tb00071.x.
  9. ^ «Мұрағатталған көшірме» (PDF). Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2014-11-08. Алынған 2014-10-28.CS1 maint: тақырып ретінде мұрағатталған көшірме (сілтеме)
  10. ^ Каратзас, I .; Лехоцкий, Дж. П .; Сети, С.П .; Shreve, S. E. (1985). «Жалпы тұтыну / инвестициялық проблеманың нақты шешімі». Стохастикалық дифференциалдық жүйелер. Бақылау және ақпарат ғылымдарындағы дәрістер. 78. б. 209. дои:10.1007 / BFb0041165. ISBN  3-540-16228-3.
  11. ^ Sethi, S. P. (1997). Банкроттықпен оңтайлы тұтыну және инвестиция. дои:10.1007/978-1-4615-6257-3. ISBN  978-1-4613-7871-6.
  • Каратзас, Иоаннис; Шрев, Стивен Э. (1998). Математикалық қаржы әдістері. Стохастикалық модельдеу және қолданбалы ықтималдылық. 39. дои:10.1007 / b98840. ISBN  978-0-387-94839-3.
  • Мертон РК: Үздіксіз уақыттағы қаржы, Блэквелл (1990).