Мертенстің болжамдары - Mertens conjecture

Графикте Мертенс функциясы ${ displaystyle M (n)}$ және шаршы түбірлер ${ displaystyle pm { sqrt {n}}}$ үшін ${ displaystyle n leq 10,000$. Осы мәндерді есептегеннен кейін, Мертенс -ның абсолюттік мәні деп болжады ${ displaystyle M (n)}$ әрқашан шектеледі ${ displaystyle { sqrt {n}}}$. Мертенстің гипотезасы деп аталатын бұл болжамды 1985 жылы теріске шығарды Эндрю Одлизко және Герман те Риеле.

Жылы математика, Мертенстің болжамдары деген тұжырым Мертенс функциясы ${ displaystyle M (n)}$ шектелген ${ displaystyle pm { sqrt {n}}}$. Қазір жоққа шығарылғанымен, бұл оны білдіретіні дәлелденді Риман гипотезасы. Ол болжам жасады Томас Джоаннес Стильтес, 1885 жылғы хатта Чарльз Эрмит (қайта басылған Stieltjes  (1905 )), және қайтадан баспаға шығарады Франц Мертенс  (1897 ) және жоққа шығарылды Эндрю Одлизко және Герман те Риеле  (1985 Бұл өте жақсы математикалық болжамның пайдасына дәлелденген мысал.

Анықтама

Жылы сандар теориясы, біз анықтаймыз Мертенс функциясы сияқты

${ displaystyle M (n) = sum _ {1 leq k leq n} mu (k)}$

Мұндағы μ (k) - Мебиус функциясы; The Мертенстің болжамдары бұл бәріне арналған n > 1,

${ displaystyle left | M (n) right | <{ sqrt {n}}. ,}$

Болжамға төзімді емес

Stieltjes 1885 жылы әлсіз нәтижені дәлелдеді деп дәлелдеді ${ displaystyle m (n) equiv M (n) / { sqrt {n}}}$ болды шектелген, бірақ дәлелдеме жарияламады.^[1] (Жөнінде ${ displaystyle m (n)}$, Мертенстің болжамы ${ displaystyle -1$.)

1985 жылы, Эндрю Одлизко және Герман те Риеле көмегімен Мертенстің болжамының жалған екенін дәлелдеді Ленстра – Ленстра – Ловас торының негізін азайту алгоритмі:^[2][3]

${ displaystyle liminf ~ m (n) <- 1.009 quad}$ және ${ displaystyle quad limsup ~ m (n)> 1.06 ~}$.

Кейінірек бірінші болып көрсетілді қарсы мысал төменде пайда болады ${ displaystyle ~ e ^ {3.21 times 10 ^ {64}} шамамен 10 ^ {1.39 times 10 ^ {64}} ~}$^[4] бірақ 10-нан жоғары¹⁶.^[5] Жоғарғы шекара содан бері төмендетілді ${ displaystyle ~ e ^ {1.59 times 10 ^ {40}} ~}$^[6] немесе шамамен ${ displaystyle ~ 10 ^ {6.91 times 10 ^ {39}} ~,}$ бірақ жоқ айқын қарсы мысал белгілі.

The қайталанатын логарифм заңы егер болса μ +1s және −1s кездейсоқ реттілікпен ауыстырылады, содан кейін біріншісінің ішінара қосындысының өсу реті n терминдер (1 ықтималдықпен) туралы √ n журнал журналы n, өсу тәртібі туралы айтады м(n) бір жерде болуы мүмкін √журнал журналы n. Өсудің нақты тәртібі біршама аз болуы мүмкін; 1990 жылдардың басында Гонек болжам жасады^[7] өсу тәртібі м(n) болды ${ displaystyle ( log { log { log {n}}}) ^ {5/4}}$, бұл Риман гипотезасын және Риман дзета функциясының нөлдерінің орташа мінез-құлқы туралы белгілі бір болжамдарды болжаған эвристикалық дәлелге негізделген Нг (2004) растады.^[8]

1979 жылы Коэн мен Дресс ең үлкен мәнді тапты ${ displaystyle ~ m (n) шамамен 0,570591 ~}$ үшін М(7766842813) = 50286,^{[дәйексөз қажет ]} және 2011 жылы Кузнецов белгілі ең үлкен теріс мәнді тапты ${ displaystyle m (n) шамамен -0.585768}$ үшін М(11609864264058592345) = −1995900927.^[9] 2016 жылы Херст есептелді М(n) әрқайсысы үшін n ≤ 10¹⁶ дегенмен одан үлкен мәндерді таппады м(n).^[10]

2006 жылы Котник пен те Риеле жоғарғы шекараны жақсартып, мәндерінің шексіз көп екенін көрсетті n ол үшін м(n) > 1.2184, бірақ мұндай үшін нақты мән бермей n.^[11] 2016 жылы Херст көрсету арқылы одан әрі жетілдірулер жасады

${ displaystyle liminf ~ m (n) <- 1.837625 quad}$ және ${ displaystyle quad limsup ~ m (n)> 1.826054 ~}$.

Риман гипотезасына қосылу

Риман гипотезасымен байланысы Дирихле сериясы үшін өзара Riemann zeta функциясы,

${ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {s}}}, }$

аймақта жарамды ${ displaystyle { mathcal {Re}} (-лер)> 1}$. Мұны а ретінде қайта жаза аламыз Интегралды

${ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = int _ {0} ^ { infty} x ^ {- s} operatorname {d} M (x)}$

және бөліктермен интегралданғаннан кейін дзета функцияларының өзара өзара әрекеттесуін ал Меллин түрленуі

${ displaystyle { frac {1} {s zeta (s)}} = left {{ mathcal {M}} M right } (- s) = int _ {0} ^ { infty } x ^ {- s} M (x) , { frac { оператор аты {d} x} {x}}.}$

Пайдалану Меллин инверсия теоремасы біз енді білдіре аламыз М тұрғысынан¹⁄_ζ сияқты

${ displaystyle M (x) = { frac {1} {2 pi i}} int _ { sigma -i infty} ^ { sigma + i infty} { frac {x ^ {s} } {s zeta (s)}} operatorname {d} s}$

ол үшін жарамды 1 <σ <2, және жарамды ​¹⁄₂ <σ <2 Риман гипотезасы бойынша. Осыдан Меллин түрлендіру интегралы конвергентті болуы керек, демекМ(х) болуы тиіс O(х^e) әрбір көрсеткіш үшін e қарағанда үлкен 1/2. Бұдан шығатыны:

${ displaystyle M (x) = O (x ^ {{ tfrac {1} {2}} + epsilon})}$

барлығы үшін оң ε Риман гипотезасына тең, сондықтан ол күшті Мертенс гипотезасынан туындаған болар еді және Стильтестің гипотезасынан шығады.

${ displaystyle M (x) = O (x ^ { tfrac {1} {2}}) ~}$.

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

• Котник, Тадей; te Riele, Герман (2006). «Мертенстің болжамдары қайта қаралды». Гесс, Флориан (ред.) Алгоритмдік сандар теориясы. 7 халықаралық симпозиум, ANTS-VII, Берлин, Германия, 2006 ж. 23-28 шілде. Хабарлама. Информатика пәнінен дәрістер. 4076. Берлин: Шпрингер-Верлаг. 156–167 беттер. дои:10.1007/11792086_12. ISBN  3-540-36075-1. Zbl  1143.11345.
• Котник, Т .; ван де Люн, Дж. (2004). «Мертенс функциясының тәртібі туралы» (PDF). Тәжірибелік математика. 13: 473-481. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2007-04-03.
• Мертенс, Ф. (1897). «Über eine zahlentheoretische Funktion». Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2а. 106: 761–830.
• Одлызко, А.М.; te Riele, H. J. J. (1985), «Мертенстің болжамына төзбеушілік» (PDF), Mathematik журналы жазылады, 357: 138–160, дои:10.1515 / crll.1985.357.138, ISSN  0075-4102, МЫРЗА  0783538, Zbl  0544.10047
• Пинц, Дж. (1987). «Мертенстің болжамдарын тиімді жоққа шығару» (PDF). Astérisque. 147–148: 325–333. Zbl  0623.10031.
• Шандор, Йозеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, редакция. (2006), Сандар теориясының анықтамалығы I, Дордрехт: Шпрингер-Верлаг, 187–189 б., ISBN  1-4020-4215-9, Zbl  1151.11300
• Stieltjes, T. J. (1905), «Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre # 79», Baillaud, B .; Бурджет, Х. (ред.), Correspondance d'Hermite et Stieltjes, Париж: Готье — Вильярс, 160–164 бб

• Вайсштейн, Эрик В. «Мертенстің болжамдары». MathWorld.