Меандр (математика) - Meander (mathematics)

Жылы математика, а меандр немесе жабық меандр өздігінен аулақ болу жабық қисық ол сызықты бірнеше рет қиып өтеді. Интуитивті түрде меандрды көптеген көпірлер арқылы өзенді кесіп өтетін жол ретінде қарастыруға болады.

Meander

Бекітілген бағдарланған сызық берілген L ішінде Евклидтік жазықтық R², а меандр тәртіп n Бұл өздігінен қиылыспайтын тұйық қисық жылы R² сызықты көлденеңінен 2-де қиып өтедіn натурал санның нүктелері n. Түзу мен қисық бірге а түзеді меандрикалық жүйе. Егер бар болса, екі меандр эквивалентті болады гомеоморфизм барлық жазықтықты алады L өзіне және бір меандрды екіншісіне апарады.

Мысалдар

1 ретті меандр сызықты екі рет қиып өтеді:

2 ретті меандрлар сызықты төрт рет қиып өтеді.

Мандралық сандар

Тапсырыстың айқын меандрларының саны n болып табылады меандриялық нөмір М_n. Алғашқы он бес меандриялық сандар төменде келтірілген (реттік) A005315 ішінде OEIS ).

М₁ = 1

М₂ = 1

М₃ = 2

М₄ = 8

М₅ = 42

М₆ = 262

М₇ = 1828

М₈ = 13820

М₉ = 110954

М₁₀ = 933458

М₁₁ = 8152860

М₁₂ = 73424650

М₁₃ = 678390116

М₁₄ = 6405031050

М₁₅ = 61606881612

Мандрикалық ауыстырулар

A meandric permutation тәртіп n {1, 2, ..., 2 жиынтығында анықталғанn} және келесі жолмен меандрикалық жүйемен анықталады:

• Сызықты солдан оңға қарай бағыттап, меандрдың әр қиылысы 1-ден басталатын бүтін сандармен қатарынан белгіленеді.
• Қисық 1 деп белгіленген қиылыста жоғары қарай бағытталған.
• The циклдық ауыстыру белгіленген нүктелері жоқ, белгіленген қиылысу нүктелері арқылы бағытталған қисықты орындау арқылы алынады.

Оң жақтағы диаграммада 4 меандрикалық ауыстыру реті (1 8 5 4 3 6 7 2) арқылы берілген. Бұл ауыстыру жазылған циклдік белгілеу және шатастыруға болмайды бір жолды белгілеу.

Егер π мандриялық ауыстыру болса, онда π² екіден тұрады циклдар, бірінде барлық жұп таңбалар, екіншісінде барлық тақ белгілер бар. Осы қасиетке ие рұқсаттар деп аталады ауыспалы ауыстырулар, өйткені бастапқы ауыстырудағы таңбалар тақ және жұп сандар арасында ауысады. Алайда, кез-келген ауыспалы ауыстырулар мэндрикалық емес, өйткені қисықта өзіндік қиылысуды енгізбестен оларды салу мүмкін емес. Мысалы, кезектесетін 3 кезектегі ауыстыру, (1 4 3 6 5 2) мәнерлі емес.

Ашық меандр

Бекітілген бағдарланған сызық берілген L ішінде Евклидтік жазықтық R², an ашық меандр тәртіп n - өзара қиылыспайтын бағытталған қисық R² сызықты көлденеңінен қиып өтетін n натурал санның нүктелері n. Екі ашық меандр егер олар тең болса деп аталады гомеоморфты жазықтықта.

Мысалдар

1 ретті ашық меандр сызықты бір рет қиып өтеді:

2 ретті ашық меандр сызықты екі рет қиып өтеді:

Мандриялық сандарды ашыңыз

Тапсырыстың айқын меандрларының саны n болып табылады meandric нөмірін ашыңыз м_n. Алғашқы он бес ашық меандриялық сандар төменде келтірілген (реттілік) A005316 ішінде OEIS ).

м₁ = 1

м₂ = 1

м₃ = 2

м₄ = 3

м₅ = 8

м₆ = 14

м₇ = 42

м₈ = 81

м₉ = 262

м₁₀ = 538

м₁₁ = 1828

м₁₂ = 3926

м₁₃ = 13820

м₁₄ = 30694

м₁₅ = 110954

Жартылай меандр

Берілген бағдарланған сәуле R ішінде Евклидтік жазықтық R², а жартылай меандр тәртіп n - өзара қиылыспайтын тұйық қисық R² көлденеңінен сәулені қиып өтеді n натурал санның нүктелері n. Екі жартылай меандр егер олар тең болса деп аталады гомеоморфты жазықтықта.

Мысалдар

1 ретті жартылай меандр сәулені бір рет қиып өтеді:

2 ретті жартылай меандр сәулені екі рет қиып өтеді:

Жартылай меандриялық сандар

Тапсырыстың нақты жартылай меандрларының саны n болып табылады жартылай меандрикалық нөмір М_n (әдетте астын сызудың орнына сызықшамен белгіленеді). Алғашқы он бес жартылай меандрикалық сандар төменде келтірілген (реттілік) A000682 ішінде OEIS ).

М₁ = 1

М₂ = 1

М₃ = 2

М₄ = 4

М₅ = 10

М₆ = 24

М₇ = 66

М₈ = 174

М₉ = 504

М₁₀ = 1406

М₁₁ = 4210

М₁₂ = 12198

М₁₃ = 37378

М₁₄ = 111278

М₁₅ = 346846

Мандриялық сандардың қасиеттері

Бар инъекциялық функция meandric-тен meandric нөмірлерін ашуға:

М_n = м_2n−1

Әрбір мандрикалық нөмір болуы мүмкін шектелген жартылай меандрикалық сандар бойынша:

М_n ≤ М_n ≤ М_2n

Үшін n > 1, мандрикалық сандар тіпті:

М_n ≡ 0 (мод 2)

Сыртқы сілтемелер

• Майкл Ла Кройстың «Санақ теориясының тәсілдері»